1、 第十一章全等三角形一、知识点：本章主要内容：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角的平分线的性质. 本章重点：探究三角形全等的条件和角的平分线的性质.难点：三角形全等的判定方法及应用；角的平分线的性质及应用.基础知识梳理 1 全等三角形：1.全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。表示：ABCDEF教材 P3 一句话：2.三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。全等三角形的周长、面积相等。3.
2、全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）特别提醒: “有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?由于没有“对应”二字，结论不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等.4.尺规作图：（1）作一个角等于已知角（教材 P7_8）：步骤（2）作已知角的平分线（教材 P19）：步骤3角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形三个内角平分线的性质：三
3、角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。二、经验与提示1寻找全等三角形对应边、对应角的规律： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边一定是对应边 有公共角的，公共角一定是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)2找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一
4、同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。3角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。4证明线段相等的方法： （1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证 a=b,只需证 a=c,c=b 即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。5证明角相等的方法： （1） 对顶角相等；（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3） 两直线平行，同位角、内错角相等；（4） 角的平分线定义；（5） 等式的性质；（6） 垂直的定义；（7） 全等三角形的对应角相等；（8） 三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今
5、后还有其它的方法。6证垂直的常用方法（1） 证明两直线的夹角等于 90；（2） 证明邻补角相等；（3） 若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4） 垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5） 证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6） 邻补角的平分线互相垂直。7全等三角形中几个重要结论（1） 全等三角形对应角的平分线相等；（2） 全等三角形对应边上的中线相等；（3） 全等三角形对应边上的高相等。三、典型例题题型一 运用全等三角形的性质解决角度和边的长度问题例 1（基础题）已知ABCDEF，且A=52，B=7131，DE=8.5 cm，求F 的大小与 AB 的长.分析:由三
6、角形的内角和可求出C 的度数，根据两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，即可求出F 的大小和 AB 的长. 解: 在ABC 中，A+B+C=180（三角形的内角和等于 180）， C=180-（A+B）=180-（52+7131）=5629. ABCDEF，DE=8.5 cm， F=C=5629，AB=DE=8.5 cm.小结：本题是全等三角形的性质与三角形内角和定理的综合题，要求F 和 AB，可先找F 的对应角C 和 AB 的对应边 DE，再根据全等三角形的性质求值. 题型二 利用全等变换解决几何问题例 2 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿 BC 方向
7、平移得到DEF.如果 AB8 cm，BE=4 cm，DH3 cm，则图中阴影部分面积为 。即时练习 如图 1 所示，长方形 ABCD 沿 DE 折叠，使点 C 恰好落在 BA 边上，得点 C，使CEB40，求EDC的度数.1. （2009 海南中考）5. 已知图 2 中的两个三角形全等，则 的度数是A72 B60 C58 D502. 图 2c58ba7250caMFECBA3.2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。例题 1、如图：AB=AC，MEAB ，MFAC ，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC例题 2、已知，ABC 和 ECD 都是等边三角形，且点 B，
8、C，D 在一条直线上求证：BE=AD3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题 3、已知B=E=90，CE=CB，ABCD.求证：ADC 是等腰三角形例题 4、已知：如图，AD 平分BAC ，DEAB 于 E，DFAC 于 F，DB=DC，求证：EB=FCEDCABEDCBA4321EDCBAGFEDCBA4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长” 、 “补短”等方法例题 5、如图,已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB 和DBA，CD 过点 E，求证 AB=AC+BD 提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的
9、两种方法：（1） 、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。 （割）（2） 、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。 （补） ）三、你能用尺规进行下面几种作图吗？1、已知三边作三角形2、作一个角等于已知角3、已知两边和它们的夹角作三角形4、已知两角和它们的夹边作三角形5、已知斜边和一直角边作直角三角形6、作角的平分线四、学以致用1、如图：在ABC 中， C =90，AD 平分 BAC，DEAB 交 AB 于 E，BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 。2、如图，已知 E 在 AB 上，1= 2， 3=4，那么 AC
10、等于 AD 吗？为什么？3、如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF已知：EGAF，_，_求证：_4、如图，在 RABC 中， ACB=45 ，BAC=90，AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AFCD 于 H 交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE.一.选择题(每题 3 分,共 39 分)1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边2
11、. 能使两个直角三角形全等的条件是( )ACEBDA. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两直角边对应相等3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等4. 如图，ABCBAD，点 A 和点 B，点 C 和点 D 是对应点，假如 AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么 BC 的长是( )A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定5. 如图， ABEACD，AB=AC，BE=CD，B=500，AEC=1200，则DAC 的度数等于( )A. 12
12、00 B. 700 C. 600 D.5006. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 都带去7. 在ABC 和ABC中，已知A=A，AB= AB，在下面判定中错误的是( )A. 若添加条件 AC=AC，则ABC ABCB. 若添加条件 BC=BC，则ABC ABCC. 若添加条件B=B，则ABC ABCD. 若添加条件C=C，则ABC ABC8. 在ABC 和ABC中，AB= AB,BC= BC,AC= AC，A=A，B=B，C=C，则下列条件组不能保证ABCABC的是( )A. B. C
13、. D.9下列各组条件中，能判定 ABC DEF 的是( )A AB=DE， BC=EF， A= DB A= D， C= F， AC=EFC AB=DE， BC=EF， ABC 的周长= DEF 的周长D A= D， B= E， C= F10. 在ABC 和ABC中, AB= AB, B=B, 补充条件后仍不一定能保证ABCABC, 则补充的这个条件是( )ABC= BC BA=A CAC= AC DC=C11. 如图，已知 AB=DC，AD=BC，E、F 在 DB 上，且 BF=DE，若AEB=1200，ADB=300，则BCF= ( )A. 150 B.40 C.80 D. 9012. 如
14、图，1=2，3=4，那么下列结论中不正确的是( )A. BD=CD B. AB=AC C. BE=CE D. 3=1 213. 如图 ABBC，BEAC，1=2，AD=AB，则 （ ）A. 1=EFD B. BE=EC C. BF=DF=CD D. FDBC二、填空题(每小题 3 分，共 39 分)14. 如图，AC，BD 相交于点 O，AOBCOD，A=C，则其他对应角分别为 ，对应边分别为 .15. 如图，在ABC 中，C=900，AD 平分BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点 D 到 AB 的距离 .16. 如图，1=2，要使ABEACE，还需添加的一个条件是 (填上你认为适当的一
15、个条件即可).17. 如图，ACBD 于 O，BO=OD，图中共有全等三角形 对.18. 如图，沿 AM 折叠，使 D 点落在 BC 上的 N 点处，假如 AD=7cm，DM=5cm，DAM=300，则 AN= cm，NM= cm，NAM= .19. 已知：如图，BDEF，ABDE，要说明ABCDEF，(1) 若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 .(2) 若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 .3) 若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 . 20. 如图，已知在ABC 中，A=900，AB=AC，CD 平分ACB，DEBC 于 E，若 BC15cm，则DEB 的周长为 cm
16、.21. 如图，ABC 中，ADBC 于 D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件 = .22. 如图，若ABCADE，EAC=35，则BAD= 度.23. 如图，AB=CD，AD=BC，O 为 BD 中点，过 O 点作直线与 DA、BC 延长线交于 E、F，若，ADB=600，EO=10，则DBC= ，FO= .24. 如图，DEFABC，且 ACBCAB，则在DEF 中，_ _ _.25. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 900 得到DCF，连接 EF，若BEC=600，则EFD 的度数为 .26. 在不等边ABC 中，APQ=PAQ，PMAB，PNAC，PM=PN。则下列结论：AN=AM；QPAM；BMPANP，其中正确的代号是 .三、解答题(每小题 9 分，共 72 分)27如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.28. 已知:如图，AC=AB，AE=AD，1=2.求证:3=4
