1、第三章 材料科学研究中的数学模型,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,序言,现代科学技术发展的一个重要特征是各门科学技术与数学的结合越来越紧密。 数学的应用使科学技术日益精确化、定量化，科学的数学化已成为当代科学发展的一个重要趋势，数学模型是数学科学连接其他非数学学科的中介和桥梁，它从定量的角度对实际问题进行数学描述，是对实际问题进行理论分析和科学研究的有力工具。 数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化，抽象为一个数学间题或数学模型，然后采用适当的数学方法求解，并而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。 计算机技术的发展力数学模型的建立和求解提供了新的舞
2、台，极大地推动了数学向其他技术科学的渗透。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,序言,材料科学作为21世纪的重要基础科学之一同样离不开数学，并过建立适当的数学模型对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。 从材料的合成、加工、性能表征到材料的应用都可以建立相应的数学模型。有关材料科学的许多研究论文都涉及到了数学模型的建立和求解；甚至产生了一门新的边缘学科计算材料学（Computation Material。Science） 这些数学手段才使材料研究脱离了原来的试错法（Trial or Error）研究，真正成为一门科学。,2.1 数学模型基础,材料与冶金学院 计算机在材
3、料科学中的应用,一、基本概念,科学的发展离不开数学，数学模型在其中又起着非常重要的作用。 在物理学中，力学中的牛顿三定律。 在物理化学中的热力学定律 在电子学中反映电路理论的基本规律的基尔霍夫定律 马尔萨斯的人口模型 马克思的描述再生产基本规律的数学模型 这些反应某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,数学模型,实体是把客观存在的事物及其运动形态 模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或抽象。 数学模型就是利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,数学模型,数学模型是为一定
4、的目的对客观实际所作的一种抽象模拟，它用数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客观事务的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。 源于实践，却不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。 解释特定事物的各种显示形态， 预侧它将来的形态， 控制某一事物的发展提供最优化策略， 最终目标是解决实际问题。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类1,按照人们对实体的认识过程来分 描述性模型是从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到一个数学模型。客观事物之间量的关系通过数学模型被概括在一个具体的抽象的数学结构之中。 解释性模型是由一般到特殊从一般的公理
5、系统出发借助于数学壳体，对公理系统给出正确解释。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类2,按照建立模型的数学方法分 初等模型指采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。该模型容易被更多的人理解接受和采用，更有价值。该模型包括代数法建模，图解法建模等。 理论模型指的是根据图论的方法，通过由点和边组成的图形为任何一个包含了某种二元关系的系统提供一个数学模型，并根据它的性质进行分析。 物质结构都可用点和边连接起来的图来模拟有机化合物的分子结构同分异构体的计算问题 微分方程模型指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分或差分之间的关系式，从而
6、获得系统的数学模型。 材料中的扩散问题 材料电子显微分析中的衍衬运动学 衍衬动力学理论,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类2,随机模型是根据概率论的方法讨论描述随机现象的数学模型。 描述炮弹的运动轨迹和着弹点的数学模型 描述高分子材料链式化学反应的数学模型 多晶材料晶粒生长模拟中基于 Monte Carlo方法。 模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。 可用电流模拟热流或流体的流动，用流体系统模拟车流等。 采用非牛顿流体力学和流变学来描述高聚物加工过程 建立液晶高分子材料本构方程，已发展的有液晶高分子流体B模型 高聚物熔体由
7、喷丝孔挤出时产生的拉伸共振，挤出物表面畸变、扰动本构理伦模型。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类3,按照模型的应用领域 人口模型 交通模型 环境模型 生态模型 水资源模型 再生资源利用模型 电气系统模型 传染病模型 污染模型,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类4,按照模型的特征 确定性模型和随机模型 离散模型和连续性模型 线性模型和非线性模型,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,确定性模型和随机模型,在系统中由于受到一些复杂且尚未完全搞清楚的因素的影响，使得系统在确定的输入时，得到的输出是不确定的该系统称为随机系统，它的数学模型为随机
8、模型。（骰子） 系统有确定的输入时，系统的输出也是确定的，这样的系统称为确定系统，它的数学模型为确定性模型,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,离散模型和连续性模型,如果系统的有关变量是连续变量，则称其为连续系统，它们的数学模型为连续性模型。 如果系统的有关变量是离散变量，则称该系统为离散系统；其模型为离散模型。 计算机只能对离散数值进行运算，连续性模型有时候也要转化成离散模型。当采用有限单元法和有限差分法研究材料某些性质时（比如材料的稳、瞬态热传导问题）,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,线性模型和非线性模型,如果系统输入和输出呈线性关系，则该系统称为线性系统，线性系统的数学模
9、型称为线性模型。 如果系统输入与输出呈非线性关系，则该系统称为非线性系统，非线性系统的数学模型称为非线性模型。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、数学模型的分类5,按照对模型结构了解的程度 白箱模型 灰箱模型 黑箱模型。 它们分别代表人们对原型的内在机理了解得清楚、不太清楚和不清楚。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,三、数学模型的作用,数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，使于人们来用定量的方法去分析和解决实际问题。 利用数学工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进科学的发展。 在材料研究和应用中，要对有关间题进行计算，就必须先建立该问题的数学模型。 当代计
10、算机科学的发展和广泛应用加速了学科结合 在材料工程领域，实验是非常重要的手段，但现在认为，除了实验方法之外，数学模型是与其同样重要的甚至是更好的一种方法。 从材料设计上来看，要进行理论设计首先要建立正确的数学模型，这样才能设计出具有优良性能、工艺可行的材料。 在生产过程中，为了分析和改进生产中出现的问题，先建立适当的数学模型，然后在计算机上进行模拟计算来代替实验，可以节约人力、物力和财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,2.2 建立数学模型的一般步骤和原则,数学模型的建立，简称数学建模。 数学建模（mathematical m
11、odeling）是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。 数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程。 必须从实际问题出发，紧紧围绕着建模的目的，运用观察力、想象力和逻辑思维，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构建出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,建模基本步骤,建模准备 建模假设 构造模型 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,建模准备,建模准备是确立建模课题的过程，就是要了解问题的实际背景，明确建模
12、的目的。 数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。 找到了需要解决的实际问题，如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题。 应该深入生产和科研实际以及社会生活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数据，弄清问题的实际背景和建模的目的，进行建模筹划。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,建模假设,作为课题的原型往往都是复杂的、具体的 建模的目的是对原型进行适当的抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素、使之摆脱原来的具体复杂形
13、态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。 简化原则 目的性原则 简化那些与建模目的无关的或关系不大的因素 简明性原则 假设条件要简单、准确，有利于构造模型 真实性原则 假设要科学、简化带来的误差应满足实际问题所允许的范围 全面性原则 对原型本身作出假设的同时，还要给出言行所处的环境条件,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,构造模型,在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内容，首先分析那些是常量、那些是变量，哪些是已知的量、那些是未知的量，然后查明各种量所处的地位、作用和他们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。 在构造模型时究竟采用什
14、么数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求及建模人的数学特长而定。可以说数学的任一分支在构造模型时都可能用到，而同一实际问题也可以构造出不同的数学模型。 一般情况下，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型求解,构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型分析,根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析（指分析结果重复获得的可能性）
15、，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就修改或增建建模假设条件，重新建模，直到符合要求。 如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型检验,模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模。循环往复，不断完善，直到获得满意结果。 目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和经费。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型应用,模型应用是数学建模的宗
16、旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,应用举例,金属材料中空位形成能为例研究建模过程 建模准备 建模假设和构造模型 模型求解和模型分析 模型检验 模型应用,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,建模准备,高能粒子对于金属材料性能的影响 反应堆中应用的金属材料就是在强辐照条件下工作的。 辐照对于材料性能所引起的一些特殊效应 电离 蜕变 离位（金属中最主要的辐照效应） 研究空位缺陷的形成能,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,建模
17、假设和构造模型,晶体作为研究对象，假设晶体为面心立方，原子间的交互作用限于最近临原子 空位能：晶体内取一个原子放到晶体表面（但不改变晶体的表面能）所需要的能量。 为了不改变表面能，取出的原子应该放在晶体表面的台阶处。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型求解和模型分析,在面心立方晶体内取出一个原子要割断12个键，而在表面台阶处放置一个原子，要形成6个键，因此净效应为割断6个键，且应和晶体的结合能相等。 结论：空位形成能和结合能之间有密切的关系,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型检验,结论空位形成能和结合能之间有密切的关系是符合实验事实的：结合能越大，熔点越高，则空位的形成
18、能也越大。 空位的形成能大约只为结合能的1/24/1，显然结论中形成能应和晶体结合能相等的观点是非常粗略的，原因在于没有考虑金属键的特征以及空位周围原子的位移。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,重新建模、分析,将点阵中的一个正离子取出，并将所带的正电荷均匀地散布在晶体中以抵消它的价电子，使整个晶体仍保持电中性。 空位的静电效应和一个零价的溶质原子相似，在单价金属中，空位的附加电荷为-Z (Z=-1)，引起导带电子的屏蔽效应。 达到平衡状态后，空位周围只保留局部的干扰电势VP。设导带的电子浓度为n，静电能的增加就等于nVP的体积积分：,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,式中，r
19、表示积分元到空位中心的距离，R表示积分区域的半径。根据电于屏蔽模型，VP与Z应满足下列关系：N0（EM）表示晶体导带在费米能级EM处的能态密度。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,重新建模、分析,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,重新建模、分析,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,重新建模、分析,这样定出的E，大体上与实验的结果相符合，只偏高一些，如果考虑到空位周围的原子略有松弛，可能降低能量，因而有第三项E3，比如对同的估计为-0.3eV。这样E1，E2，E3三项叠加就接近于实验值。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,模型应用,建立空位形成能计算模型后，根据自由
20、能极小的条件，可以求出在热力学平衡状态下的空位浓度：,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,2.3 常用的数学建模方法,理论分析法 模拟方法 类比方法 数据分析法,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,一、理论分析法,理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。 理论分析法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。在工艺比较成熟、对机理比较了解时，可采用此法。根据问题的性质可直接建立模型。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,渗碳过程实例：,通过平衡理论分析找出控制参量与炉气之间的理论关系式。例如,钢在炉气中发生如下反
21、应： CFe+CO2=2CO 可求出,计算中将奥氏体饱和含碳量(Csat%)和平衡常数(K2)的计算式代入上式，可求得碳势与炉气CO、CO2含量及温度的关系式。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,渗碳过程实例,在理论计算的基础上，根据实验数据进行修正，从而得出实用的碳势控制数学模型。这是目前通常使用的方法，简介如下。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,1)、单参量碳势控制的数学模型,甲醇加煤油气氛渗碳中，炉气碳势与CO2含量的关系，实际数据如下表。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,由炉气的化学反应得知：,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,同理可得，,在温度一定
22、时，CA和K2均为常数，如不考虑CO及其他因素的影响，视为常数，可得出：,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,2)、二参量碳势控制的数学模型,以空气加煤油直生式气氛实验数据确定碳势与炉气CO和CO2含量的相关关系。如前述，平衡碳浓度C等于温度T时奥氏体中的饱和碳浓度CA与碳活度aC之积，有下式：两边取对数，当温度一定时CA/K2为常数，用A表示，lgC=lgA+2lg(CO)-lg(CO2) 设lgC=Y, lgA=a, lg(CO)=x1, 其系数为b1, lg(CO2)=x2, 其系数为b2, 则Y=a+b1x1-b2x2,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,用空气加煤油直生式
23、气氛实验数据进行二元回归分析，可得Y=-2.6704+1.5674x1 -0.7486x2 同样可求出相关系数r进行相关性分析，并可对r进行F检验，经计算得出F559.27，查F分布表函数Y和变量x1，x2 线性相关显著，回归方程有意义。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,3)、三参量碳势控制的数学模型,以分析研究碳势与CO、氧浓差电势和温度的相关关系为例。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,（1）理论推导,研究炉内在化学平衡状态下的炉气反应，有：C+0.5O2=COK1=PCO/（P0.5O2ac） 两边取对数，并整理后得：lg aC=lg Pco-0.5 lgPO2-lg
24、K1 又： lg K1=5836/T+4.58 又：其中:E氧探头输入电势；参比气氧分压，实验中选用空气作为参比气， 0.21，PO2炉气氧分压。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,(1.5)(1.6),材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,(2) 用实验数据修正,上面的理论推导公式是建立在化学平衡基础上的，实际炉气达不到化学平衡状态，因而应该用实验数据对理论公式进行修正。求出实测碳势和理论碳势关系散点图图中 表示 C=0.1634+0.7761C理 表示 C=-0.063+1.0175C理,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,从图中
25、可以看出，实测碳势与理论碳势近似呈直线关系。因而，可采用一元线性回归分析方法求出回归方程，然后进行r检验。 由上面回归分析法有： C=0.1634+0.7761C理 相关系数r=0.9985 C=-0.063+1.0175C理 相关系数r=0.9976 查相关系数检验表，自由度N-2=1.5 置信度0.05时r为0.482; 置信度0.01时r为0.606。计算的r值均明显大于上述两个值，因此相关显著，回归方程有意义。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,经计算得：综合分析，可以把建立数学模型的步骤概述如下： A.选择研究体系的变量参数；如碳势，PCO等。 B.实验测定碳势和各参数值；
26、C.利用回归分析法建立数学模型； D.对初步建立的数学模型进行相关检验或F检验； E.将经检验的数学模型在实际生产中进行验证检验。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,二、模拟方法,模型的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦，如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。 例如，研究钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布。可以通过弹塑性力学及断裂力学知识进行分析计算但求解非常麻烦。此时可以借助实验光测力学的手段来完成分析。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,三、类
27、比分析法,若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其它属性或关系也可能相似的一种方法。 在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程。 采用类比分析法，聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,四、数据分析法,当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程叫曲线拟合，而表示曲线的数学式称为回归方程。,材料与冶金学院 计算机在材料科学中的应用,总结,数学模型基础 数学模型就是利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。 常用的数学建模方法 理论分析法 模拟方法 类比方法 数据分析法,建立数学模型的一般步骤和原则 建模准备 建模假设 构造模型 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用,
