二次函数中寻找等腰三角形问题.doc

1、试卷第 1 页，总 5 页二次函数中寻找等腰三角形问题1如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且AB=3，BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y 轴于点 G,且AGO=30。3232x(1)点 C、D 的坐标(2)求顶点在直线 y= 上且经过点 C、D 的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为32x点 E。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。3已知两直线 l1，l 2分别经过点 A（1，0） ，点 B（3， 0） ，并且

2、当两直线同时相交试卷第 2 页，总 5 页于 y 正半轴的点 C 时，恰好有 l1l 2，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 l2交于点 K，如图所示（1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线 l1、抛物线、直线 l2和 x 轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线 l2绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，请找出使MCK 为等腰三角形的点 M，简述理由，并写出点 M 的坐标：4如图，已知二次函数的图象经过点 A（3，3） 、B（4， 0）和原点 OP 为二次函数图象上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为

3、 D（m，0） ，并与直线 OA 交于点 C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点 P 在直线 OA 的上方时，用含 m 的代数式表示线段 PC 的长，并求线段 PC 的最大值；（3）当 m0 时，探索是否存在点 P，使得PCO 为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有 P 的坐标；如果不存在，请说明理由5已知抛物线 yax 2bx c（a0）的图象经过点 B（ 14,0）和 C（0，8） ，对称试卷第 3 页，总 5 页轴为 x4（1）求该抛物线的解析式；（2）点 D 在线段 AB 上且 ADAC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点 Q 以

4、某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线 x1 上是否存在点 M 使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标，若不存在，请说明理由6在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，2yaxbB（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；

5、（3）在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；试卷第 4 页，总 5 页7如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点 O，矩形 ABCD 的顶点 A，D 在抛物线上，且 AD 平行 x 轴，交 y 轴于点 F，AB 的中点 E 在 x 轴上，B 点的坐标为（2，1） ，点P（a，b）在抛物线上运动 （点 P 异于点 O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点 P 作 CB 所在直线的垂线，垂足为点 R，求证：PF=PR；是否存在点 P，使得PFR 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；延

6、长 PF 交抛物线于另一点 Q，过 Q 作 BC 所在直线的垂线，垂足为 S，试判断RSF的形状8在平面直角坐标系 xoy 中， 一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（1，0） （1）请直接写出点 B、C 的坐标：B（ ， ） 、C（ ， ） ；并求经过A、B、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF=90，DEF=60） ，把顶点 E 放在线段AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合的动点） ，并使 ED 所在直线经过点 C 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点

7、M 设 AE=x，当 x 为何值时，OCEOBC；在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使PEM 是等腰三角形，若存在，请求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由9如图 1，在 RtAOB 中， AOB=90，AO= ，ABO=30 动点 P 在线段 AB 上38试卷第 5 页，总 5 页从点 A 向终点 B 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 t 秒在直线 OB 上取32两点 M、N 作等边PMN（1）求当等边PMN 的顶点 M 运动到与点 O 重合时 t 的值（2）求等边PMN 的边长（用 t 的代数式表示） ；（3）如果取 OB 的中点 D，以 OD 为边在 RtAOB 内部

8、作如图 2 所示的矩形 ODCE，点C 在线段 AB 上设等边PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为 S，请求出当 0t2 秒时 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值（4）在（3）中，设 PN 与 EC 的交点为 R，是否存在点 R，使ODR 是等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由10如图, 已知抛物线 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 Acbxy21的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，-1） （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点

9、 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为以 AC 为腰的等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由 ABCEDx yo答案第 1 页，总 10 页参考答案1 【解析】（1）根据题意可得点 C 的纵坐标为 3，代入直线解析式可得出点 C 的横坐标，继而也可得出点 D 的坐标；（2）由题意可得点 C 和点 D 关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为 ，再由抛物线的顶点在直线 ，可得出顶点坐标为( )，设出顶点式，代入点 C的坐标即可得出答案（3）分 EF=EG、GF=EG、GF=EF 三种情况分析。解：(1)C(4， )，D(1， )；(2)顶点(

10、 )，解析式 ；(3)EF=EG GF=EG GF=EF 3解：由勾股定理，得（OC 2+OB2）+（OC 2+OA2）=BC 2+AC2=AB2，又OB=3，OA=1，AB=4， ，点 C 的坐标是由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a（x1） （x+3） ，把 C（0， ）代入函数解析式得所以，抛物线的函数解析式为 ；（2）截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF答案第 2 页，总 10 页（3）当点 M 的坐标分别为 时， MCK 为等腰三角形（i）连接 BK，交抛物线于点 G，易知点 G 的坐标为（2， ） ，又点 C 的坐标为（0， ） ，则 GCAB，可求得 AB=BK=4，且A

11、BK=60，即ABK 为正三角形，CGK 为正三角形当 l2与抛物线交于点 G，即 l2AB 时，符合题意，此时点 M1的坐标为（2， ） ，（ii）连接 CD，由 KD= ，CK=CG=2，CKD=30，易知KDC 为等腰三角形，当 l2过抛物线顶点 D 时，符合题意，此时点 M2坐标为（1， ） ，（iii）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点 M 与点 A 重合时，满足 CM=CK，但点 A、C、K 在同一直线上，不能构成三角形，综上所述，当点 M 的坐标分别为 时，MCK 为等腰三角形4 （1）设 y=ax（x4） ，把 A 点坐标（3，3）代入得：a=1，函数的解析式为 y=x 2

12、+4x， 4 分（2）0m3，PC=PDCD=m 2+3m，= + ， 6 分10，开口向下，有最大值，当 D（ ，0）时，PC max= ，8 分（3）P 的坐标是（3 ，1+2 ）或（3+ ，12 ）或（5，5）或（4，0） 12 分（3）简单解答过程如下：当 0m3 时，仅有 OC=PC， ，解得 ， ；当 m3 时，PC=CDPD=m 23m，OC= ，由勾股定理得：OP 2=OD2+DP2=m2+m2（m4） 2，答案第 3 页，总 10 页当 OC=PC 时， ，解得： ， ；当 OC=OP 时， ，解得：m 1=5，m 2=3（舍去） ，P（5，5） ；当 PC=OP 时，m 2

13、（m3） 2=m2+m2（m4） 2，解得：m=4，P（4，0） ，存在 P 的坐标是（3 ，1+2 ）或（3+ ，12 ）或（5，5）或（4，0） 5 （ 1） ； （2）存在，理由如下：综上所述：存在 5 个 M 点，即6 【解析】解：（1）由抛物线 过 A（3，0） ，B （1，0） ，则，解得 。答案第 4 页，总 10 页二次函数的关系解析式为 。（2）设点 P 坐标为（m，n） ，则 。连接 PO，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N。PM = ， ，AO=3。当 时， ，所以 OC=2。111 0， 函数 有最大值，当 时， 有最大值。此时 。存在点 ，使ACP 的面积最大。

14、（3）存在。点 。7 【解析】解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D 关于抛物线的对称轴对称。E 是 AB 的中点，O 是矩形 ABCD 对角线的交点。又B（2，1），A（2，1）、D（2，1）。抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax 2，则有：4a=1，a= 。抛物线的解析式为：y= x2。（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a， a2），而 R（a，1）、F（0，1），答案第 5 页，总 10 页则：PF=PR= ，PF=PR。RF= ，若PFR 为等边三角形，则由 得 RF=PF=PR，得：= ，即：a 48a 248=0，得：a 2=4（舍去），a 2=12。a=2 ，

15、a2=3。存在符合条件的 P 点，坐标为（2 ，3）、（2 ，3）。同可证得：QF=QS。在等腰SQF 中，1= （180SQF）。同理，在等腰 RPF 中，2= （180RPF）。QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=180。1+2= （ 360SQFRPF）=90SFR=18012=90，即SFR 是直角三角形。（1）根据题意能判断出点 O 是矩形 ABCD 的对角线交点，因此 D、B 关于原点对称，A、B 关于x 轴对称，得到 A、D 的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点 P 的坐标，然后表示出 PF、RF 的长，两者进

16、行比较即可得证。首先表示 RF 的长，若PFR 为等边三角形，则满足 PF=PR=FR，列式求解即可。根据的思路，不难看出 QF=QS，若连接 SF、RF，那么QSF、PRF 都是等腰三角形，先用SQF、RPF 表示出DFS、RFP 的和，用 180减去这个和值即可判断出RSF 的形状。8 【解析】解：（1）B（3 ，0 ） ，C（0， ） 。A （1，0）B（3，0）可设过 A、B、C 三点的抛物线为 。答案第 6 页，总 10 页又C（0， ）在抛物线上， ，解得 。经过 A、B、C 三点的抛物线解析式 即 。（2）当OCEOBC 时，则 。OC= ， OE=AEAO=x1 ， OB=3，

17、 。x=2 。当 x=2 时， OCEOBC。存在点 P。由可知 x=2， OE=1。E（ 1，0） 。 此时，CAE 为等边三角形。AEC= A=60。又CEM=60， MEB=60。点 C 与点 M 关于抛物线的对称轴 对称。C（0 ， ） ，M（2 ， ） 。过 M 作 MNx 轴于点 N（2 ，0 ） ，MN= 。 EN=1。 。若PEM 为等腰三角形，则：)当 EP=EM 时, EM=2，且点 P 在直线 x=1 上，P(1 ，2)或 P（1，2） 。）当 EM=PM 时，点 M 在 EP 的垂直平分线上，P(1，2 ) 。 ）当 PE=PM 时，点 P 是线段 EM 的垂直平分线与

18、直线 x=1 的交点，P(1， )综上所述，存在 P 点坐标为（1，2 ）或（1，2 ）或（1， 2 ）或（1， ）时，答案第 7 页，总 10 页EPM 为等腰三角形。（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出 OC 和 AB 的长，从而求得点 B、C 的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。求得 EM 的长，分 EP=EM， EM=PM 和 PE=PM 三种情况求解即可。9解：（1）当等边PMN 的顶点 M 运动到与点 O 重合时，MPAB，A=60，AP=4 ， 。 （2 分）3t（2）AP= ，BP=t3t

19、3216又B=30，PMB=600，BPM=90tanB= 3216tPMB ，即等边PMN 的边长为 .（4 分）tPt216（3）当 时，如图 AP= ，0tAG3 ， ，tOG348tMO48 .N2过 F 作 FQ0B 于 Q，则 QN=4，EF=OQ= .t2等边PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为四边形 EFNO 的面积，设为 S1， 34834)84(1tttS 0，S 1随 t 的增大而增大，38t=1 时， ，S 1的最大值为 .（7 分）2当 t2 时，如图答案第 8 页，总 10 页在EGK 中，GE= ，EK= ，34t4tS GEK = .2)1(38等边PMN

20、 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为四边形 EFNO 的面积与EGK 的面积差，设为S2， .3162438)1(38242 tttt ，对称轴为 ，038a 时， 的最大值为 .（9 分）2t2S当 时， 。3综上可知：当 时，S 的最大值为 .（10 分）t 34（4）过 R 作 RHOB 于 H，RH= ，HN=4，OH= ，OD=12，DH= ，t24t28OR=OD=12 时， ，2ORH ， ， 2，不合题意舍去。221)3()(t 0t496tDR=OD=12 时， ，2D ， 2，或 0，都不合题意舍去。22)4()8(t 8t 2968tOR=DR 时，H 为 CD 中点，O

21、H=6， ， 。64t1t答案第 9 页，总 10 页综上所述， 时，ODR 是等腰三角形。 （12 分）1t10 【解析】（1）二次函数 的图像经过点 A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1 (2 分)二次函数的解析式为 (1 分)（2）设点 D 的坐标为（ m，0）， （0m2） OD= m AD=2- m 由ADEAOC 得， DE= (1 分)CDE 的面积= m= = (2 分)当 m=1 时，CDE 的面积最大，此时点 D 的坐标为（1，0） (1 分)（3）存在. 由(1)知：二次函数的解析式为设 y=0 则 解得：x 1=2 x2=1 ，点 B 的坐标为（1，0） C（

22、0，1）设直线 BC 的解析式为： y=kx b 解得： k=-1 b=-1，直线 BC 的解析式为: y= x1在 RtAOC 中，AOC=90 0 OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=点 B(1,0) 点 C（0，1），OB=OC BCO=45 0. (1 分) 当以点 C 为顶点且 PC=AC= 时，设 P(k, k1),过点 P 作 PHy 轴于 H，答案第 10 页，总 10 页HCP=BCO=45 0，CH=PH=k，在 RtPCH 中k2+k2= 解得 k1= ， k2=P 1（ ， ） P 2（ ， ）(3 分)以 A 为顶点，即 AC=AP=设 P(k, k1),过点 P

23、 作 PGx 轴于 G，AG=2 k GP= k1在 RtAPG 中 AG 2PG 2=AP2，（2 k)2+( k1) 2=5 解得： k1=1,k2=0(舍) P 3(1, 2) (3 分)（3）AP=CP，此时 AP=CP2X-2X+5=2X-2X=-5，X=2.5代入 BC 方程，Y=-3.5 因此 P4（2.5，-3.5）综上所述，存在四点：P 1（ ， ）P 2（- ， ）P 3(1, -2) P4( ,- ).（1）用待定系数法求得二次函数的解析式（2）设点 D 的坐标为（ m，0）， （0m2），由ADEAOC 得，从而求得 DE 的长，通过CDE 的面积公式求得当 m=1 时，CDE 的面积最大，即可求出点 D 的坐标（3）求出直线 BC 的解析式，若三角形为等腰三角形，则有三种可能，利用勾股定理从而求得P 点的坐标