1、1 高考数学 知识框架 思维导图 （ 2019.3.21 整理 ， 14 页 ） 陈永清 第一部分 集合、 算法语言 、 简易逻辑、 复数、推理与证明、排列组合 概念 元 素与 集合之间的关系 ： ， 性质 确定性、互异性、无序性 集合 集合的表示 列举法、描述法、图示法 集合间的关系 子集、相等、真子集： ， ， = ， ， 运算 ：交集 ()、并集 ()、补集 () 集合的分类 有限集、无限集、空集（ ） 含有 个元素的集合 的子集个数是 2，真子集个数是 2 1，非空子集个数为 2 1，非空真子集的个数是 2 2 (， ) 数轴、 Venn 图、函数图象 求解 （ 两个 ） 集合中的参数
2、值 ， 注意检验 ： 1.是否违反互异性； 2.是否违反其他条件 包含关系的各种等价表示： = = () = () = 含参数的集合 满足 或 = 等情形时 ， 要分 = 与 两种情况讨论 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构 条件结构 循环结构 算法语言 算法的特征 程序框图 基本算法语言 算法案例 1.进制数化为十进制数 ： 1 10() = +11 +1 +00 2.十进制数化为 进制数 ：除 取余法 3.() = +11 +1 +0 = = ( +1) +2) +1) +0， 0 = ， = 1 +( = 1， 2， ， )由里向外逐层计算 1， 2， ， ，即可得到 =
3、 () 会执行 、 会补充 辗转相除法、更相减损术（求最大公约数）； 秦九韶算法（求多项式函数值）；进位制（ k 进制与十进制互化） 若 ， 则 是 的充分条件 ， 是 的必要条件 关系 充分条件、必要条件、充要条件 一真便真 一假则假 量词 简易逻辑 命题 真假相对 全称命题： x M， p(x) 特称命题： x0 M， p(x0) 否定 ： p q 否定： p q p：否定 p 的结论 命题的否定 改量词，否结论 复合命题 或： p q 且： p q 非： p 全称量词 存在量词 前充分、后必要 小充分、大必要 小范围推大范围 原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p 否命题：若 p
4、 则 q 逆命题：若 q 则 p 互逆 互逆 互 否 互 否 互 为 逆 否 等价关系 2 两个原理 分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数： = ( 1)( +1) = !()! 组合数： Cmn !()! 性质 Cmn Cn mn C m n 1 Cmn Cm 1n 二项式定理 通项公式 Tr 1 Crnan rbr 首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n 1 C0n C1n Cnn 2n 二项式系数性质 ( +) = 0 +11+ +111 +( N*). 二项式系数最大项、系数最大项 应用 捆绑法 、 插空法 、优先
5、法、隔板法、间接法、建模法、分类法 、树状图 计算原理 求三项式 ( + +)的指定项 ： 利用多项式乘法法则及组合思想求解 赋值法 系数和、二项式系数和 复 数 概念 虚数单位 i（满足 i2 = 1）、复数 +i、实部 、虚部 、实数（ = 0）、虚数（ 0）、 纯虚数（ = 0, 0）、实轴（ 轴）、虚轴（ 轴 ）、模 |、复数集 B； 共轭复数（ = +i、 = i）； 复数相等 的充要条件： +i +i = 且 = (， ， ， R) 运算 加法： ( +i) ( +i) ( c) (b d)i； 减法： ( +i) ( +i) ( c) (b d)i； 乘法： ( +i)( +i)
6、 (c bd) (d bc)i； 除法： +i+i = (+i)(i)(+i)(i) = +2+2 + 2+2 i 几何意义 复数 = +i、复平面内点 Z(,)、向量 = (,)的一一对应关系； 复数模的几何意义： | = | +i| = 2 +2 = | | (1i)2 = 2i； 1+i1i = i； 1i1+i = i； +i = i( i)， 如 3+4i43i = i(43i)43i = i； i的周期性 . 合情推理 演绎推理 归纳 类比 三段论 大前提、小前提、结论 直接证明 综合法 分析法 由因导果 执果索因 间接证明 反证法 推理 证明 推理与证明 猜想 1.验证 = 0（
7、初始值）命题成立； 2.若 = ( 0)时命题成立 ， 证明 = +1时命题也成立 . 反设、归谬、结论 数学归纳法 3 第二部分 函数、导数及微积分 对数的性质与运算性质 1.对数的性质 ： log1 = 0； log = 1； log = ； log = (0 且 1)； 零和负数没有对数 2.对数的运算性质 (0，且 1， 0， 0)： log( ) = log +log； log = log log；【 log = log ./1 = log 】 log = log(n R)【 log 1 = log】 3.对数的重要公式 (， c 均大于零且不等于 1， 0)： 换底公式： log
8、= loglog；推论： log = log； log = log； log = 1log 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 1.函数在某个区间递增 (或减 )与单调区间是某个区间的含义不同；2.证明单调性：作差（商）、导数法； 3.复合函数的单调性 ； 4.快速判断常见函数的单调性（如，取倒数、开方根、乘负数） 二 次函数、基本不等式、双勾 函数、三角函数有界性、数形结合、 单调性、 导数 . 指数函数、对数函数、 幂函数 、三角函数 赋值法、典型的函数 模型 零点 建立函数模型 使解析式有意义 或有实际意义 函数 求解
9、析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法 注意应用函数的单调性求值域 f (x+T) f (T)；两种对称性与周期性的“知二求一” 复合函数的单调性：同增异减 一次、二次函数、反比例函数 、双勾函数 图象、性质 和 应用 1.f (a+x) f (b-x)，对称轴为 = +2 2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为 (+2 ,2) 分段探究，整体考察 平移变换： = () = ( )， = () = ()， , 0 对称变换： = () = ()， = () = ()， = () = () 翻折变换： = () = |()|， = () = (|) 伸缩变换： = () = ()
10、， = () = () 函数图象 及其变换 : ：一对一，或多对一 映射 基本初等函数 抽象函数 复合 函数 函数与方程 函数的应用 分段函数 利用对称性 求函数零点的和，或求两个函数 图象 交点横坐标、纵坐标之和 . 求根法、 二分法、图象法、 二次 及三次方程 根的分布 零点存在性定理 作图与识图：定义域、值域、极值；奇偶性、单调性、周期性；关键点，关键线 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称； 奇函数 ()在 x 0 处有定义 f (0) 0； 偶函数 () (|) 最值 4 第三 部分 三角函数与平面向量 和角、差角公式， 二倍角公式， 降幂公式 ， 辅助角公式 sin( ) = s
11、incos cossin； cos( ) = coscos sinsin； tan( ) = tantan1tantan. sin2 = 2sincos； cos2 = cos2 sin2 = 2cos2 1 = 12sin2； tan2 = 2tan1tan2. sincos = 12sin2； cos2 = 1+cos22 ； sin2 = 1cos22 . sin cos = 2 +2sin( )， 其中 ， 0 其中辅助角 是方程 tan = 在 (0， 2)内的解 . 三角函数 同角三角函数的关系 终边相同的角： *| = + 360， + 三角函数线 同角三角函数的关系 : sin
12、2 +cos2 = 1, sincos tan 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 和角、差角公式，辅助角公式（ sin cos） 二倍角公式，降幂公式（ cos2 = 1+cos22 , sin2 = 1cos22 ） 公式的变形、逆用、 “ 1”的替换 化简、求值、 证明（恒等变形） 0 lnln 2.1+1/ ln 12. 1/( 1). 1 1 = 1 1 = 1 = 1 = ln 1 = ln 1 1 = ln 5 三角函数的 图象与性质 定义域 奇偶性 单调性 周期性 最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函
13、数的对称中心为 (2 ， 0)（ k Z） . 正弦函数 y sin x = 余弦函数 y cos x 正切函数 y tan x y Asin(x ) b 图象 可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法； 研究 的取值范围问题，可根据用五点作图法的图象分析； 最小正周期 = 2|；（带绝对值的三角函数的周期是否减半，需视具体函数而言） 用整体代换求单调区间（注意 的符号）； 给定区间上的单调性可根据极值点回答； 用整体代换求对称轴 = +12 ，对称中心为 ( ， b)（ k Z） ； 若 y Asin(x )具有奇偶性，则 = 或 = +
14、 2（二者必居其一） . 值域 图象（ 五点作图法 ） 对称性 平面向量 概念 线性 运算 平面向量基本定理： = 1 1 +2 2， 1、 2不共线 加、减、数乘 几何意义 坐标表示及运算 数量积 | | |cos =x1x2 y1y2 几何意义 模 共线与垂直 共线（平行） 垂直 a b b a x1y2 x2y1=0 a b a b 0 x1x2 y1y2=0 投影 b 在 a 方向上的投影为 | b |cos | | 设 a 与 b 夹角 ，则 cos | | | | a | (x2 x1)2 (y2 y1)2 夹角公式 三角形中线的向量表示： 中 边的中点为 + = 2 两个常用小结
15、论 已知 1 ， 2 不共线 ，若 = 1 +(1)2 ， 则 1， ， 2三点共线 等和线： 已知 1 ， 2 不共线 ，若 = 1 +2 ， + = ，设 = 1 ， = 2 ， (则 = + ， + = 1)， 则 ， ， 三点共线 .此时直线 也称为等和线 . 极化恒等式： = ( + )2( )24 . 奔驰定理： 设 为 内一点 ， 则 + + = 0 （可推广到四面体中） 解决向量问题的常用方法：基底法，坐标法，平方法，构造法 | |( )的几何意义 表示 ， 共起点时 向量 的终点到向量 所在直线上的点的距离 . 解三角形 余弦定理： 2 = 2 +2 2cos， cos =
16、2+222 正弦定理： sin = sin = sin = 2 应用：解三角形，解的个数的讨论 12ah 12absinC p(p a)(p b)(p c)= 4 = 12( + +) = 12|21 12|，其中 R、 r 分别为外接圆、内切圆半径， p +2 ， = (1,1)、 = (2,2).（如何求 R， r？） sin2 = sin2 +sin2 2sinsincos 面积 实际应用 方法：三角变换、均值不等式 6 第四 部分 数列与不等式 给出递推关系 +1 = ()，或 = ()，或 = ()，求通项公式 问题 混合型 如果给出的是含 ， 的混合关系式，则可利用 = 1，将混合
17、关系式统一为 +1 = ()，或将混合关系式统一为 +1 = g()（此时也就考虑先求 ，再求 ） 如，已知 1 = 1，且 +1 = +1，求 .已知 1 = 1，且 = +23 ，求 . 【 对使用 变量替换、两式相减 (除 )得到的结论，要注意 的适用范围 】 提示型 如果是证明数列 *g()+为等差数列或等比数列，比较简单，按等差或等比的定义去处理即可；有时是 直接 要求 求 数列 *g()+的通项公式，那么则往往意味着 *g()+为等差数列或等比数列 或其他特殊数列，这样就可以直接去探索 g(+1)与 g()的递推关系 . 主动型 如果直接要求通项公式 ，那么就需要自己主动朝等差数列
18、或等比数列转化，即会自己构造新的数列*g()+，使之为等差数列或等比数列，这就需要我们平时积累对 +1 = ()的变形经验 . 如果给出的是关于 +2， +1， 的 三项之间 递推关系 ， 则应先转化为关于 +1， 的两项之间的递推关系 . 概念 数列 表示 等差数列与等比数列性质的类比 通项公式、递推公式 图象法 列表法 通项公式 求和公式 性质 判定 an a1 (n 1)d an am (n m)d an a1qn 1 an amqn m an am ap ar anam apar 前 n 项 和 = (1+)2 前 n 项 积 (an 0) Tn (a1an)n 常见递推类型及方法 累
19、加法、或化常数列 累乘法、或化常数列 构造等比数列 an 1 构造等差数列 an 1 an f (n) an + 1an f (n) an 1 an pan 1an an an 1 化为 +1+1 = 1转为 an + 1 pan qn 等比数列 an 0， q 0 Snna1， q 1a1(1 qn)1 q ， q 1公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法 : = 1 1 错位相加法 : = (+) = (+) 常见求和方法 数列是特殊的函数、增减性、周期性 1. 2(21)(2+11) = 121 12+11 2. +12(+2)2 = 14( 1
20、2 1(+2)2) 3. (1)4(21)(2+1) = (1)( 121 + 12+1). 与 的关系 = 1 ， = 1， 1， 2解析法： an f (n) 1 + (1)2 等差数列 ,2 ,3 2, ，成等差数列 ,2 ,3 2, ，成等比数列 求和型不等式的证明，如 1 +2 + 0)， () = (+1)2。 由于 ()与 ()的符号是一致的 ， 所以可以先 讨论 ()的符号 ，讨论标准同（ 1） 。 在确定 () 0，及 () 0以后，要想确定 ()有零点时 ()的 单调性，则需对 ()的表达式作进一步变形，即 () = 1(+1)2 = 2+(21)+(+1)2 = (1)(
21、2)(+1)2 ， 其中 1 = 12142 ，2 = 12+142 . 3.求导后参数混合型 （ 无限制条件下的直接因式分解型 ）： 如 () = ( 2)e +( 1)2， () = ( 1)( +2)，由 后一个因式有无零点 得讨论标准 0，及有零点 ln(2)时与 1 的大小关系 得讨论标准 e2. 4.求导后参数混合型 （ 有限制条件下的间接 因式分解型 ）： 如 () = ln +1， () = 1(+1)2 = 2+(21)+(+1)2 ( 0)，分两类讨论： （ 1） 0及 0（ 对应 () 0），【一靠观察二靠 变形计算】，（ 2）在（ 1） 中参数取值范围的补集下， 进行因
22、式分解，并 确认 此时 ()的单调性 . 5.定义域人为限制型： 如 () = 2 (2 1) ln 2， ,1， 4-， () = 2 (2 1) 1 = 22(21)1 = (2+1)(1) ，考虑端点是极值点： 12 = 1 = 12， 12 = 4 = 18， 讨论标准为 12 ,18。 z 的几何意义： z 是直线 ax by z 0 在 x 轴上截距的 a 倍， 在 y 轴上截距的 b 倍 . z 的几何意义： 过可行域内一点（ ,）向直线 = ， = 作垂线，它们围成的矩形面积 =| 不等式 不等式的性质 简单的线性规划 基本不等式 +2 借助二次函数的图象 三个二次的关系 可行
23、域 目标函数 z ax by： 构造截距 z ：构造斜率 z (x a)2 (y b)2：构造距离 应用题 最值问题 变形 和定值，积最大；积定值，和最小 应用时注意：一正二定三相等 2+ +2 2+22 z (x-a)(y-b)：构造 面积 比较大小：比较法 绝对值三角不等式 | | | |+|（常用于求最值） 柯西不等式 (2 +2)( 2 +2) ( +)2， = 时等号成立 一元二次不等式及其解法 解绝对值不等式 零点分段讨论法；绝对值几何意义；函数图象法 | |+| | (0)和 | |+| | (0) 不等式证明方法 比较法、综合法、分析法、放缩法、 构造法、换元法、反证法、数学归
24、纳法 8 第五 部分 解析几何 、坐标系与参数方程 相离 、 外切 = +、 相交 、 内切 = 、 包含 .（ )） 两圆的位置关系 圆的方程 相离 0，或 d r 0，或 d r 0，或 d r 弦长公式 | = 22 2 圆的标准方程： ( )2 ( )2 2( 0) 圆的一般方程： 2 +2 + + + = 0 直线与圆的位置关系 阿波罗尼斯圆：满足 | = |( 1)的 点的轨迹 相交 相切 与圆有关的几个最值状态你掌握了吗？ 倾斜角和斜率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化 : = tan， = 2121重合 平行 相交 垂直 A1B2 A2B
25、1 0， C1B2 C2B1 0 A1B2 A2B1 0 A1A2 B1B2 0 点斜式： y y0 k(x x0) 斜截式： y kx b 两点式： 121= 121截距式： + = 1 一般式： Ax By C 0 注意各种形式的转化和运用范围 . 两直线的交点 距离 两点 间的距离公式 |12| = (1 2)2 +(1 2)2 点到线的距离： = |0+0+|2+2 ，平行线间距离： = |21|2+2 截距 注意：截距可正、可负，也可为 0. A1B2 A2B1 0， C1B2 C2B1 0 平行： 1 = 2， 1 2 垂直： 1 2 = 1 1:1 +1 +1 = 0. 2:2
26、+2 +2 = 0. 1: = 1 +1. 2: = 2 +2. 对称性问题 中心对称 轴对称 点 (x1， y1) 关于点 (a， b)对称 点 (2a x1， 2b y1) 曲线 f (x， y)=0 关于点 (a， b)对称 曲线 f (2a x， 2b y)=0 1+22 +1+22 += 02121 ./ =1 特殊对称轴 x y C 0 直接代入法 点 (x1， y1)与点 (x2， y2)关于直线 Ax By C 0 对称 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴
27、）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）、通径 离心率： = = 1./2. 抛物线 2 = 2的焦半径公式 ： | = 0 + 2 = 1cos 直线与圆锥曲线的位置关系 相交时韦达定理法 ， 相切时判别式法 . 9 直线与平面平行的判定定理 ： 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行 ， 则该直线与此平面平行 直线与平面平行的性质定理 ： 一条直线与一个平面平行 ， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 平面与平面平行的判定定理 ： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 ， 则这两个平面平行 平面与平面平行的性质定理 ： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ， 那么它
28、们的交线平行 直线与平面垂直的判定定理 ： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 . 直线与平面垂直的性质定理 ： 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 . 平面 与平面垂直的判定定理 ： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 . 平面与平面垂直的性质定理 ： 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 椭圆、双曲线 中 的垂径定理 （又称椭圆、双曲线的第三定义） 圆的垂径定理 (如图 1)； 直径与端点处的切线垂直 (如图 2)； 直径所对的圆周角是直角 (如图 3)； 它们都含有斜率之积 12 =
29、 1这个关系 。 推广到椭圆、双曲线中 若焦点在 轴上 ，则斜率之积为 2 1 若 焦点在 轴上 ，则斜率之积为 121. 说明：结论可用点差法证明。 图 2 图 1 图 3 弦长公式（两点间的距离公式） | = (1 2)2 +(1 2)2 = 1+2|1 2| = 1+2(1 +2)2 412 = 1+2 |； | = (1 2)2 +(1 2)2 = 1+.1/2|1 2| = 1+.1/2(1 +2)2 412 = 1+.1/2 | 伸缩变换 ： = ， ( 0)， = ， ( 0). 极坐标系 直 角坐标与极坐标互化： = cos = sin， 2 = 2 +2 tan ( 0) |
30、12| = 12 +22 21 2cos(2 1)； 12 = 12|12 sin(2 1)| (， )， = 1， 2 参数方程 椭圆： = cos， = sin ( 为参数 ) 直线 ： = 0 +cos， = 0 +sin(为参数 ) = ()， = g() (为参数 ) 常见曲线的参数方程 坐标系 圆 ： = +cos， = +sin ( 为参数 ) 直线 ： = 0 +， = 0 +(为参数 ) = 0 |2+2 ， = 0 + |2+2 (为参数 ， 的符号确定 ，即正“ +”负“ ” ) 10 第六 部分 立体几何 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的平面角 范围： (
31、0， 90 范围： 0， 90 范围： (0， 180) 点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 cos | | | | sin | | | | cos 1 2 |1 |2 | = | | | 空 间 向 量 空 间 直 角 坐 标 系 空间的距离 空间的角 空间向量基本定理 : ， 其中 ， ， 为 空间的一个基底 若 = + + ( + + = 1)， P， A， B， C 四点共面 . 点与线 空间点、 线、面的 位置关系 点在直线上，或点在直线外， 或 点与面 点在平面内，或点在平面外， 或 线与线 共面直线 异面直线 没有公共点 只有一个公共点 线与面 平
32、行 / 相交 = 只有一个公共点 没有公共点 直线在平面外 直线在平面内 面与面 平行 / 相交 = 垂直关系的相互转化 证明 平行关系的相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 无数个公共点 没有公共点 相交 = 平行 / 综合法、基底法、坐标法 空间几何体 柱体 棱柱 圆柱 设 1， 2分别经过圆心 1， 2， 且 1 圆面 1， 2 圆面 2， 则 1与 2的交点 为球心 . 台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥 球 直观图（斜二测画法）： = 22 侧面积、表面积 三视图： 长对正、高平齐、宽相等 根据 三视图还原几何体的步骤 1.选一个视图扩充成
33、几何体 （通常为直棱柱） ； 2.对照三 个 视图 对该几何体进行 删点 、 补点，再连线 成体 . 柱体： = 体积 结构特征 台体 ： = 13(+ +) 锥体： = 13 球 ： = 433 外接球球心的定位 11 第七 部分 统计与概率 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等 用样本估计总体 样本数字特征估计总体 众数、中位数、平均数 期望、方差 2、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 回归直线 = +过 样本中心点 (,) 正态分布： (,2)， = ()， 2 = ()；对称轴 = ；
34、 3原则 列联表（ 2 2）独立性分析、等高条形图 散点图 样本频率分布估计总体 二项分布： (,) 总体密度曲线 茎叶图 正态分布： (,2) 频率分布表和频率分布直方图 概率 概率的基本性质 互斥事件， P(A B) P(A) P(B) 对立事件， P() 1 P(A) 古典概型： () = 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 = ()() 几何概型： () = 构成事件 的区域长度 (面积或体积或角度 )试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积或角度 ) 事件的独立性 用随机模拟法求概率、求面积 随机变量 两点分布 X B(1， p) E(X) p， D(X) p(1 p) E(X) np， D(X) np(1 p) E(X) n ， D(X) .1 /1 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率为 Pn(k) Ckn pk(1 p)n k 超几何分布 P(A B) P(A) P(B) (|) = ()() P(X=k) Ckn pk(1 p)n k X B(n， p) ( = ) = X H(N， M， n) 性
