1、微博： 范老师要逆天了 1 / 8 第 九 章 计数原理 本章对应大纲考点有： 加法原理、乘法原理 ； 排列与排列数 ； 组合与组合数 ；其中，两个基本原理是学习本章所有内容的基础、核心，其中乘法原理尤为重要，正是根据乘法原理推导出两个工具：排列数和组合数 纵观历年真题，考生需做到如下几点要求 ：（ 1） 能运用加法、乘法原理来分析如何完成一件事情 ；（ 2） 理解最基本工具 “ 组合数 mnC ” 的含义，掌握组合数的计算方法及性质 ；（ 3） 会一些常用的排列组合方法如捆绑法、插空法、隔板法 第一节 加法原理、乘法原理 知识要点 两个原理 1.加法原理 如果完成一件事有 n 类办法，只要选
2、择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事；若第一类办法中有 1m 种不同的方法，第二类办法中有 2m 种不同的方法 第 n 类办法中有 nm 种不同的办法，那么完成这件事共有 12 nN m m m 种不同的方法 .。 例：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ? 分析：从甲地到乙地有 3 类方法：第一类方法，乘火车，有 4 种方法；第二类方法，乘汽车， 有 2 种方法；第三类方法，乘轮船，有 3 种方法；所以，从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法 2.
3、乘法原理 如果完成一件事，必须依次连续地完成 n 个步骤，这件事才能完成；若完成第一个步骤有 1m 种不同的方法，完成第二个步骤有 2m 种不同的方法 完成第 n 个步骤有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 12 nN m m m 种不同的方法 例：如图，由 A 村去 B 村的道路有 2 条，由 B 村去 C 村的道路有 3 条，从 A 村经 B 村去 C村，共有多少种不同的走法？ 分析：从 A 村经 B 村去 C 村有 2 步： 甲地 乙地火车汽车轮船微博： 范老师要逆天了 2 / 8 第一步，由 A 村去 B 村有 2 种方法， 第二步，由 B 村去 C 村有 3 种方法， 所以从
4、A 村经 B 村去 C 村共有 23 = 6 种不同的方法。 【注意】分类计数原理和分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是 “分类 ”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是 “分步 ”问题，各个步骤 中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事 . 解题关键点： 应用两种原理解题： 1.分清要完成的事情是什么； 2.是分类完成还是分步完成， “类 ”间互相独立， “步 ”间互相联系； 3.有无特殊条件的限制 . 另外，考
5、试非常乐于考察“乘法原理”，乘法原理的使用标志有两个：一个是完成事情需要“分步”，一定 要 用乘法原理；另一个是“ 无论上一步选择何种完成方法，下一步的方法数不变 ” ,这是使用乘法原理的一个最基本要求 一个可有可无的工具“排列数” mnP （或 mnA ） 从 n 个不同元素中任选 m 个，放到 m 个不同的位置上的情况数记为 mnP （或 mnA ） ，不难用乘法原理分析出来， 1 2 . . . 1mnP n n n n m 特殊地， m 个不同元素放到 m 个不同位置上，共有 1 2 . 1m m m 种方法，记为 !m 真题实战 【 2008 年 10 月】 某公司员工义务献血，在体
6、检合格的人中， O 型血的有 10 人， A 型血的有 5 人， B 型血的有 8 人， AB 型血的有 3 人 .若从四种血型的人中各选 1 人去献血，则不同的选法种数共有 A.1200 B.600 C.400 D.300 E.26 【 2000 年 1 月】 用五种不同的颜色涂在图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法（ ）种 A.120 B.140 C.160 D.180 【 2007 年 10 月】 有 5 人报名参加 3 项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有 A B C D 微博： 范老师要逆天了 3 / 8 A.243 种 B.125
7、 种 C.81 种 D.60 种 E.以上均不对 【 2008 年 1 月】 公路 AB 上各站之间共有 90 种不同的车票 （ 1）公路 AB 上有 10 个车站，每两站之间都有往返车票 （ 2）公路 AB 上有 9 个车站，每两站之间都有往返车票 小结： 排列数这个工具从本质上讲就是乘法原理，它可有可无，没有排列数，我们利用乘法原理一步步分析题目同样能够解题，特殊地， m 个元素的全排列记为 !m 【 1997 年 10 月】 某公司电话号码有 5 位，若第一位数字必须是 5，其余各位可以是 0 到 9的任意个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是 A.126 B.1260 C.302
8、4 D.5040 E.30240 【 1999 年 1 月】 加工某产品需要经过 5 个工种，其中某一工种不能最后加工，试问可安排（ ）种工序 A.96 B.102 C.112 D.92 E.86 【 2011 年 1 月】 现有 3 名男生和 2 名女生参加面试，则面试的排序法有 24 种 （ 1）第一位面试的是女生 （ 2）第二位面试的是指定的某位男生 【 2012 年 1 月】在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出 3 男 2 女 共 5 名运动员进行 5 局单打比赛，如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有 A.12 种 B.10 种 C.8 种 D.6 种 E.4
9、 种 小结： 用乘法原理分析问题时。如果遇到有特殊要求的元素或位置，通常先处理有要求的特殊元素或位置，再分析无要求的一般元素或位置 【 2013 年 1 月】 确定两人从 A 地出发经过 B,C 沿逆时针方向行走一圈回到 A 地的方案（如图） .若 A 地出发时，每人均可选大路或山道，经过 B,C 时，至多有一人可以更改道路，则不同的方案有 A.16 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 E.64 种 微博： 范老师要逆天了 4 / 8 【 2014 年 1 月】 某单位决定对 4 个部门的经理进行轮岗，要求每个经理必须轮换到 4 个部门中的其他部门任职，则不同的轮岗方案有 A.3 种
10、 B.6 种 C.8 种 D.9 种 E.10 种 小结： 在分步过程中，“无论上一步选择何种完成方法，下一步的方法数是不变的”，这是在分步分析问题时之所以用“乘”的根本原因 第二节 组合数及其性质 、二项式定理 知识要点 组合数 的概念： 从 n 个不同元素中任选 m 个的所有情况数，记为 mnC 组合数 mnC 是排列数 mnP 中的第一步，即 !mmnnP C m，那么组合数可以这样计算 1 . . . 1!mm nn n n n mPC mm 组合数的 性质： 0 1nnnCC， m n mnnCC ； xynnC C x y 或 x y n 二项式定理 ： 0 0 1 1 1 1 2
11、 2 2 2 1 1 1 1 01 2 1.n n n n n n n n n nn n n n n n na b C a b C C a b C C a b C C a b C a b 当 1ab时 ， 0 1 22 .nnn n n nC C C C ； 当 1, 1ab 时， 0 1 20 .n n n nC C C ； 两式相加可得 022 2 2 .n nnCC ，故有 0 2 4 1. 2 nn n nC C C ；同理可得1 3 5 1. 2 nn n nC C C 解题关键点： 理解 组合数 的概念；熟练掌握 组合数的计算公式 及运算性质 ；理解二项式定理 真题实战 微博： 范
12、老师要逆天了 5 / 8 【 2002 年 1 月】 方程5 6 71 1 710x x xC C C 的解是 A.4 B.3 C.2 D.1 【 2010 年 10 月】 4 1 731 31nnCC （ 1） 2 7 12 0nn （ 2） 2 10 24 0nn 【 2008 年 10 月】 46nnCC （ 1） 10n （ 2） 9n 【 2001 年 10 月】若 22113 1mnCCn ，则 A. 2mn B. 2mn C. 1nkmkD. 11nkmk【 2013 年 1 月】 在 25( 3 1)xx的展开式中， 2x 的系数为 A.5 B.10 C.45 D.90 E.9
13、5 小结： 考生应熟练掌握组合数的计算公式，熟记常用的组合数，并能灵活运用组合数的性质“ m n mnnCC ”对一些表达式进行化简 【 2012 年 1 月】 某商店经营 15 种商品，每次在橱窗内陈列 5 种，若每两次陈列的商品不完全相同，则最多可陈列 A.3000 次 B.3003 次 C.4000 次 D.4003 次 E.4300 次 【 2013 年 1 月】 三个科室的人数分别为 6、 3 和 2，因工作需要，每晚需要排 3 人值班，则在两个月中以便每晚的值班人员不完全相同 . （ 1）值班人员不能来自同一科室 （ 2）值班人员来自三个不同科室 小结： 排列组合真题的特点是：“不
14、考察复杂的分类方法，也不考察繁琐的分步过程”而是考察考生“能否读懂题目，正确理解题意” .一些难以理解的说法“不完全相同”就是指“方案是不同的方案”，而组合数 mnC 的定义本身就是指“从 n 个元素中任选 m 个的方案数”，这 mnC 种方案本身就是不同的方案！ 微博： 范老师要逆天了 6 / 8 【 2015 年 1 月】 平面上有 5 条平行直线，与另一组 n 条平行直线垂直，若两组平行线共构成 280 个矩形，则 n （ A） 5 （ B） 6 （ C） 7 （ D） 8 （ E） 9 【 2002 年 1 月】 两线段 MN 和 PQ 不相交，线段 MN 上有 6 个点 1 2 6,
15、 , ,A A A，线段 PQ上有 7 个点 1 2 7, , ,B B B.若将每一个 iA 和每一个 jB 连成不作延长线的线段 1, 2 , , 6 ; 1, 2 , , 7ijA B i j，则由这些线段 ijAB 相交而得到的交点最多有 A.315 个 B.316 个 C.317 个 D.318 个 【 2009 年 1 月】 湖中有四个小岛 ， 它们的位置恰好近似构成正方形的四个项点 ， 若要修建起三座桥将这四个小岛连接起来 ， 则不同的建桥方案有 ( )种 . A.12 B.16 C.18 D.20 E.24 小结： 真题中，排列组合的真正难点在于一些难以建模的题目，尤其是几何问
16、题，这需要考生平时多练习多积累 【 1999 年 10 月】 从 0,1,2,3,5,7,11 七个数字中每次取两个相乘，不同的积有（ ）种 A.15 B.16 C.19 D.23 E.21 【 2012 年 10 月】 某次乒乓球单打比赛中，先将 8 名选手等分为 2 组进行小组单循环赛 .若一位选手只打了 1 场比赛后因故退赛，则小组赛的实际比赛场数是 A.24 B.19 C.12 D.11 E.10 【 2010 年 10 月】 12 支篮球队进行单循环比赛，完成全部比赛共需 11 天 . （ 1）每天每队只比赛 1 场 （ 2）每天每队只比赛 2 场 【 2014 年 10 月】 在一
17、次足球预选赛中有 5 个球队进行双循环赛（每两个球队之间赛两场） .规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，赛完后一个球队的积分不同情况的种数为 A.25 B.24 C.23 D.22 E.21 小结： 排列数 mnP 的本质是乘法原理，不用排列数这个工具用乘法同样能够解题，而组合数mnC 的推导计算过程比较复杂，可是概念却简单实用，在解决问题的过程中面临“选择”时，要用到组合数 mnC ，考生必须牢牢把握组合数的概念 【 2002 年 10 月】某办公室有男职工 5 人，女职工 4 人，欲从中抽调 3 人支援其他工作，但至少有两位是男士，问抽调方案有（ ）种 微博： 范老师
18、要逆天了 7 / 8 A.50 B.40 C.30 D.20 【 2011 年 10 月】 在 8 名志愿者中 ， 只能做英语翻译的有 4 人 ， 只能做法语翻译的有 3 人 ，既能做英语翻译又能做法语翻译的有 1 人 .现从这些志愿者中选取 3 人做翻译工作 ， 确保英语和法语都有翻译的不同选法共有 ( )种 A.12 B.18 C.21 D.30 E.51 小结： 面临“选择”用“组合”，当正面分类超过 3 类以上时，真题一定可以从反面求解！ 【 2001 年 10 月】一个班里有 5 名男工和 4 名女工，若要安排 3 名男工和 2 名女工分别担任不同的工作，则不同的安排方法有（ ）种
19、A.300 B.720 C.1440 D.7200 【 2014 年 10 月】 用 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数，其中千位数字大于百位数字且百位数字大于十位数字的四位数的个数是 A.36 B.40 C.48 D.60 E.72 【 2013 年 10 月】 在某次比赛中有 6 名选后进入决赛 .若决赛设有 1 个一等奖， 2 个二等奖，3 个三等奖，则可能的结果共有 (A) 16 种 (B) 30 种 (C) 45 种 (D) 60 种 (E) 120 种 【 2000 年 10 月】 三位教师分配到 6 个班级任教，若其中一人教一个班，一人教两个班，一人教三个班，则共有
20、分配方法（ ） 种 A.720 B.360 C.120 D.60 【 2001 年 1 月】将 4 封信投入 3 个不同的邮筒，若 4 封信全部投完，且每个邮筒至少投入一封信，则共有投法（ ）种 A.12 B.21 C.36 D.42 【 2010 年 1 月】 某大学 派出 5 名志愿者到西部 4 所中学指支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的 分配 方案共有 A.240 种 B.144 种 C.120 种 D.60 种 E.24 种 小结： 对于元素分配问题，首先分清元素和位置是否是“相同”的，对于不同元素分配到不同位置的题目，如果指定了每个具体位置的元素个数，可以按照乘法原理直接分配
21、，如果没有指定每个具体位置的元素个数，只是规定了每一堆的元素个数，要采取“先分堆，再分配”的方法 ，更进一步，如果连具体每一堆的元素个数都没有给出，那么要根据每堆的元素个数分类讨论 微博： 范老师要逆天了 8 / 8 第三节 排列组合中的一些常用方法：打包、插空、隔板 知识要点 打包法 ： 用于处理有“相邻”要求的元素排列问题 ； 具体方法是先将有“相邻”要求的元素排序（包内排序），再将“相邻”元素看成一个整体（包外排序），与其它元素排序 插空法： 用于处理“不相邻”要求的元素排列问题； 具体方法是先将无要求元素排序，再将有“不相邻”要求的元素插到无要求元素的空隙中 隔板法： 用于处理“相同元
22、素”分“不同组”问题； n 个相同元素分到 m 个不同组，每组至少一个的方案数为： 11mnC 真题实战 【 2011 年 1 月 】 3 个 3 口之家一起观看演出，他们购买了同一排的 9 张连座票，则每一家的人都坐在一起的不同坐法有（ ）种 A. 23! B. 33! C. 333! D. 43! E. 9! 【 2008 年 1 月】 有两排座位，前排 6 个座，后排 7 个座 .若安排 2 人就坐 .规定前排中间 2 个座位不能坐 .且此两人始终不能相邻而坐，则不同的坐法种数为 A.92 B.93 C.94 D.95 E.96 【 2009 年 10 月】若将 10 只相同的球随机放入编号其 1、 2、 3、 4 的四个盒子中，则每个盒子不空的投放方法有 A.72 B.84 C.96 D.108 E.120 小结 ： 打包法、插空法、隔板法的使用条件和使用方法都是非常固定的，考生只要按照步骤要求套用模板即可 .
