1、报告人：张晖 日期：2012年12月3日,几种高程拟合方法比较,关键词：大地高 正常高 二次曲面法 多面函数法,摘要GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数法比较。,目录,GPS高程拟合基本理论,二次曲面法拟合,多面函数法拟合,实例分析,总结分析,GPS高程拟合基本理论,高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面大
2、地水准面，地球的数学表面参考椭球面，还有一个抽象的曲面似大地水准面。高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、大地高高程系统、似大地高高程系统。目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而GPS高程是大地高高程系统。由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高程异常。如下图所示,GPS高程拟合的基本理论,正常高与大地高之间的关系为：因此求出高程异常进而求的正常高，建立似大地水准面的过程就是GPS高程拟合的过程。,二次曲面法高程拟合,曲面拟合法： 当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐
3、标x、y(或大地坐标B、L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常，从而求出待求点的正常高。 多项式曲面拟合： 多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:式中 为模型的待定参数。 当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下方程组矩阵:,二次曲面法高程拟合,其中通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而求出正常高 。,二次曲面法高程拟合,当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最小二乘法拟合。设点的高程异常 与其平面坐标 存在以下关系式：其中 根据最
4、小二乘原理可求： 带入模型公式可求出未知点的高程异常，进而求出正常高。,二次曲面法高程拟合,在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。,多面函数法高程拟合,多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977年提出的，其理论基础是，任何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精度逼近。GPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近，建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地高来计算常规基准下的正常高。一个数学表面上点 的函数值 可表达成,多面函数法高程拟合,式中， 为待定系数
5、； 是x和y的二次核函数，其中核心在 处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x, y为待求点的坐标， 为已知点坐标。其矩阵形式为:根据最小二乘原理可知其模型参数： 将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下： 正双曲面： 其中 称为光滑因子，当其值为0时，正双曲面退化为圆锥面。倒双曲面：,多面函数法高程拟合,高程拟合的精度评定指标内符合精度： 根据参与计算的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常值 用 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度外符合精度： 同样根据参与检核的己知点的高程异常值 和计算后得到的高程异常
6、值 用 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度,多面函数法高程拟合,内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差，所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。水准限差注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）,实例分析,右图为某中型城市的城市控制网，图中共有37个GPSE级控制点。为了研究GPS拟合原理，对以上所有控制点都进行了三等水准测量，并应用稳健估计进行粗差探测，未发现粗差。为了保证试验数据的可靠性，其具体数据见下表。,实例分析,实验数据表（部分）,实例分析,续表,实例分析,使用 1、7、9、10、
7、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、31、33 、34、36 共 20 个均匀分布的控制点应作为已知点，2、3、4、5、6、8、12、14、15作为检核点分别用二次曲面法和多面函数法进行拟合计算，其分析结果如下表： 数据拟合分析,实例分析,当核函数为锥面函数时C取1，当核函数为到双曲面时 取10000，以下是这三种拟合模型的残差图。,实例分析,当选取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36这14个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表：,总结,总结与分析,一,二,三,对于地势比较平坦，或者高程变化比较平缓时，二次曲面法拟合可以满足其精度要求,对于多面函数法拟合 核函数的选取，以及 平滑 因子都会对精度 产生较大影响一定要 多次尝试。,已知点的选取 一定要均匀， 并非已知点越多 精度就越高。,Thank You !,
