1、时规阶方程的极限点型，极限圆型分类及判别 ， 学科专业：应用数学研究生：聂江娜指导教师：史国良副教授天津大学理学院二零零八年五月 中文摘要本文主要研究时规上二阶奇异方程的极限点型和极限圆型的分类及判别准则构造一列圆族，使这些圆族收敛到一个有限集，由不同的极限集情况，对时规上的二阶方程进行极限点型和极限圆型的分类，并给出判别准则全文共分为五章来详细论述上述问题第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些背景，及本文所要研究的问题第二章主要介绍时规上的概念以及一些有关求导和积分的结论第三章在时规上给出二阶奇异方程一 （）让口入盯， 极限点型和极限圆型的分类第四章在时规上给出二阶奇异方程几个极限点型和极限
2、圆型的判别准则第五章总括全文的工作关键词：时规；二阶方程；极限点型；极限圆型 ， ， ， ， 一心 （）盯 ， ：； ； ； 独创性声明本人声明所呈交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意学位论文作者签名：礁活 一翊户签字日期：刃寥年石月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定特授权墨鲞查堂可以将学位论文的全部或部
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4、理论的蛛网模型传统的蛛网模型，时间变量要么是离散的，要么是连续的，无法确切描述某一季节性产品的供求关系当我们引入时规的蛛网模型后，就能较好的解决这一问题时规动力学理论能揭示连续与离散系统的共同点，使我们能够更清楚的理解连续与离散系统中的本质问题连续情况和离散情况是时规的两种极端情况，在文章（ 】 中给出了连续系统与离散系统统一的方法对于微分方程，首先开创了奇异微分算子谱理论的研究，发现了奇异二阶对称微分算子可分为极限点型与极限圆型两大类，考虑定义在【 ，。）上的二阶自伴微分算式：（）一（ ）影）（）究竟属于极限点型或极限圆型，完全由系数，决定，这就是亏指数理论中的所谓的系数问题对于差分方程，
5、】 首先研究了二阶奇异差分方程在无穷区间上的谱问题以及极限点型与极限圆型的分类及判别，并考虑定义在自然数集上的二阶自伴差分方程： （竹入） 一锄一鲰一究竟属于极限点型或极限圆型，也是由其系数，来决定的本篇文章我们主要考虑时规上二阶奇异方程一 （）盯盯， 面 （）的分类及判别准则其中，是时规 上的实值连续函数，入是谱参数，并且（）， 微分算子与差分算子的谱问题都可以分为两类：一类是定第一章前言义在有限闭区间上，且算子系数具有较好的性质，如可积性，这类称为正则谱问题；否则称为奇异谱问题年， 【 】 给出了二阶奇异线性方程的极限点型与极限圆型的分类随后，（ 】等改进了一些结果并且创建了 理论， 】
6、， 【 】 ， 】 等给出了一些二阶微分方程极限点型和极限圆型的判别准则研究了二阶奇异差分方程在无穷区间上的谱问题，在工作以后，关于奇异差分算子的研究，有了很大的推广与发展，著名的有 】 ，史玉明和陈绍著 】 ，陈景年 】 等因为奇异二阶微分方程与差分方程都可以分为两种类型：极限点型与极限圆型，并且对于微分方程与差分方程都存在极限点型，极限圆型的分类及判别准则，它们分别是将函数定义在连续区间或离散点集上，但是对于连续与离散统一的系统，尚未见什么结论。本文将利用类似于分析的方法，将方程（）分为极限点型与极限圆型，建立几个极限点型与极限圆型的判定定理通过这些定理可以使微分方程，差分方程在极限点型和
7、极限圆的判别上实现统一，这将是本文的主要工作而微分算子，差分算子在无穷远点处为极限点型或极限圆型问题的研究是谱问题研究的前提和基础，同时又是亏指数理论的一个重要方面在判别时规上的方程为极限点型或极限圆型的基础之上，可以给方程加相应的边值条件，使问题的研究得到简化下面我们先来介绍一下本文需要用到的一些基本定义和基本定理第二章时规上的基础知识第二章时规上的基础知识时规上的基本定义在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本定义，对于更多的结果，见参考文献 】 ， 】 ， 【 定义 时规（测度链的一种特例）是实数集上的非空闭子集，并且是实数空间的子拓朴令： 耐，： 面），定义两个跳跃算子矾： ，
8、使盯（）： ：，（）： ：）， （由此定义可知若 ，则（）和盯（）若时规上的点满足（），称点在时规上是左稠密的若时规上的点满足（），称点在时规上是左分散的若时规上的点满足（），称点在时规上是右稠密的若时规上的点满足盯（）称点在时规上是右分散的例如：实数集，整数集，自然数集， 】 ， 】 ， 】 ，集均是时规而，（，），有理数集，无理数集等都不是时规定义 设： ，若对于，当 ，一引时，有乱（ ）一（），称在 处是连续的若对于 ，牡在处均是连续的，则称乱是上的连续函数，将 上所有连续函数组成的空间记为口）函数 ：称作在 上是连续的，若对于 ，当盯（）时，乱在处连续；当（）处极限存在且有限将 上所有
9、连续函数全体组成的空间记为铭（）易得：（）嚷（ ），同理可以定义时规上的空间僻（）， 定义铭的范数为缸，：（）：亡 ），钍 征），由此范数所定义的。空间（丌）是空间定义 将函数弘：一 【 ，。）定义为（）盯（）一第二章时规上的基础知识假设（）口，由此可知时规上至少包含三个点定义集合一：，（）【 ，（）此时的廿仍然是一个时规（当在中孤立时，俨无非是将时规中的最大点去掉，因此仍为闭集）可以将时规上的相关定义应用到畔上，同样的方法还可以定义吼定义 函数仳： 一称作在 畔处是（）可导的，若存在数牡 （）具有性质：对于 存在，使得 ， 争 （仃（）一（）（）（盯（）一） 口（）一如果对于任意 俨，珏在处
10、均是可导的，则称牡是上的可导函数记（） 【 缸 （ ），仳 （ 知）由如上导数的定义易知：（）当时规时，对于可导函数让，有 牡 （）当时规 时，对于可导函数乱，有 ，即求导算子等于向前差分算子（）若口（），则让在处存在导数，且（）阻（盯（）一（） 】 （）一司（）若（），则珏在处不存在导数；若（），则牡在处只要考虑单侧导数即可另外，还可以得到空间之间的关系（ ）伊口）同理可以定义 （ ）， ，关于仳的二阶导数，记时规俨：（），让在 廿处的二阶导数记为 （）：（也 ） （）定义 对于函数乱： 一，定义移位函数盯： 盯： 上的积分见】首先定义函数：口，酞，（）： ： 砖， ， 】 设 ：畔一是时规
11、畔上的函数，则复合函数铭 ：，）是函数乱在区间 【 ，）上的延拓，在的 ”间隙（无定义）处值为常数，此常数等于札在间隙 ”处左端的值若乱是普通意义下的可测函数（或可积函数），则称 第二章时规上的基础知识是上的可测函数（或可积函数）记（ ）为 上的工可积函数的全体组成的空间，对于任意的 （ ），定义积分 一 ： （）， ， 其中上式右侧积分是普通意义下的勒贝格积分， 【 陋， 】 由时规上的积分可以定义时规上的测度，对于 ，表示集合的特征函数，若是上的可测函数，则称是可测的若 （），则将 在可测集上的积分定义为， 厶：厶， ，由此定义，可得卫（）：厶 有了如上积分与测度的定义，需要注意以下几点：
12、（）由测度定义，可以得到时规上 ”区间 “的测度，灯（，） ） 一， （）（）若也 嘞（面），则如上定义的积分与 【 】 节所定义的积分一致，但 【 】中需要像类似于黎曼积分那样重新定义原函数但当牡 （）时，两种积分结果是相同的，相对而言，如上定义的积分方法要简单一些（）在闭区间 【 ，叫上一般意义下的积分结果可以用到时规上如 不等式，不等式，控制收敛定理等（）因加（耐），则肛在上的可积性（或可测性）与在点有无定义无关即使在点有定义，（）对于积分乱也是没有贡献的，这就是为什么要将牡定义在畔上的原因尽管钍 （），定义在 七，但是并不采用记号（畔），因为积分的上限可以为，钍 与点有关（特别是 （）
13、（）对亡 ，加（）盯（）一，加（ ） 由此结论可知：当盯（）时，加（）；当（）时，枷（料）（）对于任意的 ，口 （），如果是匹上的零测度集，在上，有（）口（），则与，在（）意义下认为是等同的特别的，对于珏 工（），即便在 的零测度集上无定义都可以（）当盯（）， “ （）时，贝 （盯（亡） ）牡）、当（）， （）时，则厶 ） 一（）（ ）（三） 幻一高第二章时规上的基础知识有了前面空间工口）的定义，很自然地可以定义空间妒（ ）， ，以及范数护（ ）：牡 （）：正 （），忆叩）：（舢 ）；雕即）由空间及范数的定义可知，它们均为空间（，）空间在实分析中起着非常重要的作用，本文主要使用时规上的（面）空间，对于 不予考虑，为了方便起见，记范数为 ：（），内积为（上，口）：伽 ， “， （面）由此内积的定义可知（）是空间，范数 ”是由此内积引导出来的定义 函数：称作是回归的，若（功（） ， 记贸 （）（）， （）， ）时规上的基本定理定理 函数让，： ， 七在处可导，则：（）两函数之和钍，：，在处均可导，且（钍） ）铲（） （ （）对于任意的常数口，：在处可导，且（） （）舭 （）（）函数乘积让口： 在处可导，且（ ） （）正 （）（）钍（仃（ ）移 （）（） （） （）钉（盯（）（）若（）（口（） ，则在处可导，且
