1、第3章 走向混沌的道路,一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。,混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量 “分子” 的无规则运动。,蝴蝶效应的姊妹效应很多，如“蚁穴效应”、“蹄钉效应”等等，这些效应都是混沌现象的例子。“千里之堤，溃于蚁穴” “蚁穴效应”,控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动描述：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，
2、亡了一个帝国。 “蹄钉效应”,1平方映射的倍周期分岔道路 2费根鲍姆常数 3杜芬方程的倍周期分岔,第一节 由倍周期分岔走向混沌,1. 倍周期分岔道路,对平方映射的计算表明，随着参数的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。但倍周期分岔在一临界点c =3.5699时终止。此后，每次迭代得到的值是随机地出现的。,=3.7时，每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。,临界点以上的迭代计算
3、,平方映射的分岔图,平方映射的分岔序列：分岔是在=1处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动，出现一次霍夫分岔；随后在3处开始了倍周期分岔：3.000 3.4495 ， 二周期循环 ；3.4496 3.5441 ， 四周期循环 ；3.5441 3.5644 ， 八周期循环 ；3.5644 3.5688 ， 十六周期循环 . 如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，直到=c为止。此后迭代得到的值随机地出现，进入混沌。,1.倍周期分岔道路,对方程,进行迭代，今分别取初始值为,迭代结果列表如下。,计算结果清楚地表明，初值的微小差异，经过若干次迭代后就会“失之毫厘，谬以千里”了。其长期行为具有一
4、种概率统计的特征。,1.倍周期分岔道路,倍周期分岔李氏指数,当=c以后，映射迭代的终态值已无周期，进入了混沌状态。进入混沌后，从图象的深浅程度上仍可区分出不同的区域，说明混沌不是混乱一片，而存在着一定层次；倍周期分岔序列与李氏指数密切关联。在=c后，指数便转为正值，但在混沌区的各个窗口中指数值又转为负值，即这里仍是规则运动。展现一幅规则随机规则随机交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。,1.倍周期分岔道路,费根鲍姆常数,七十年代初,在梅（R. May）发现了平方映射的异常复杂的特性后，年轻的费根鲍姆(M. Feigenbum)用一台普通计算器进行计算。他发现
5、每次分岔的值之间的间隔越来越小。他将各个前后间隔相除，发现平方映射是以恒定的速率接近临界值c。,2费根鲍姆常数,此外，他发现2n周期分岔的超稳定点之间的距离dn 之比也趋于一个常数，称为费根鲍姆第二常数。,费根鲍姆常数,2费根鲍姆常数,设n为第n 次分岔的值，则相继两次分岔的间隔之比趋于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。,研究发现，对于所有在0，1区间内的单峰光滑映射，如正弦映射、圆与椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。两个费根鲍姆常数 d 与 a 都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数
6、具有普遍意义。,费根鲍姆常数的意义,2费根鲍姆常数,大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，反映物理量随时间衰变的自然对数e，反映物质微观量度的普朗克常数h，真空中光速c等，但普适常数为数不多，它们代表了大自然运动所遵循的某些规律。 费根鲍姆常数的发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，它所包含的意义还有待进一步去发掘。,杜芬方程的倍周期分岔,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，利布沙伯的液氦证明，在真实的物理学系统中，如LCR振荡、激光振荡等许多系统中都存在，这里分析一下受驱杜芬方程中的分岔现象。一个软弹簧系统杜芬方程可以写成：曾经分析过受驱杜芬方程的幅频特性是倾倒的。并且在 nw
7、 时有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。,3杜芬方程的倍周期分岔,杜芬方程：设=0.4,=1,=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率n。计算表明，在n 0.8时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环呈椭圆形状；当n 0.8时，极限环的反对称性虽然仍存在，但椭圆形状已明显变形。当到达n 0.535处时出现对称性破缺，极限环分裂为两个周期 1 的不对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。在n 0.53杜芬方程的解开始倍周期分岔。由于两个吸引子在n 0.53保持互为反演，可以在观察n 0.53时的分岔特性可以只考虑其中一个极限环。,杜芬方程的倍周期分岔,3杜芬方程的倍周期分岔,
8、倍周期分岔,杜芬方程的倍周期分岔,两个不对称极限环,奇怪吸引子,3杜芬方程的倍周期分岔,第二节 阵发性混沌,1. 阵发性混沌现象2. 阵发性混沌机理,自然界、科学实验乃至社会经济生活中，经常可以遇到突发性现象：太阳黑子、野生动物数量涨落、电子或激光振荡中的冲击现象，社会经济中的例子是股市的涨落。在非线性科学中是否相应的现象呢？动力学系统经过突发性冲击现象进入随机的不规则的运动状态称为阵发性混沌 (Intermittent chaos)。1979年，法国数学家玻木(Pomeau)和曼维尔(Manneville)在计算洛论兹方程的y分量时发现：当瑞利参数r在到达临界值rc附近时y分量的周期性变化被
9、一种随机的、突发性的冲击所打断。当rrc时，系统处于长时间周期运动状态；当 r 刚超过阈值 rc 时，开始偶尔出现一些突发性冲击；随着 r 数值的逐渐增长，这种突发性冲击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状态。,1. 阵发性混沌现象,玻木和曼维尔的发现,x -对流的翻动速率，y -比例于上流与下流液体之间的温差z-是垂直方向的温度梯度，r -相对瑞利数 r = R/RC。,1. 阵发性混沌现象,洛论兹方程 y 分量 rc 附近的四个参数:一个 rrc 计算结果b8/3，s10 时临界值rc166.07,阵发现象(洛论兹方程),阵发现象(平方映射),平方映射在=3.82
10、85附近的 xnn 时间序列。,1. 阵发性混沌现象,平方映射的周期3窗口,在参数3.5699时，平方映射是规则运动，但随发生一系列的倍周期分岔。在3.56994基本上是混沌区，其中有大小不一的窗口，这里仍规则运动，=3.833.85间是一个较大的规则运动窗口。阵发性混沌发生在从混沌回到规则运动的边界附近。,=3.83附近平方映射的周期3窗口,2. 阵发性混沌机理,阵发性发生在 周期3 出现地点，即在 =3.83附近。在=3.84附近出现倍周期分岔，产生出周期6 (32)，周期12(322)，周期轨道，在=3.85附近再次进入混沌。,为解释阵发性混沌机理，需要分析平方映射在=3.83附近特性。
11、类似于周期2，周期 3 可由三次平方映射 f 3(x)产生。f 3(x)有四个不动点，一个由f (x)带来的不稳定不动点，另外三个与迭代线相切。切点处f 3(x)曲线的斜率为+1，是稳定性条件的最大值。,周期 3 轨道,2. 阵发性混沌机理,稍许增大一点， , f 3(x)将越过切点与迭代线相交为两个交点，产生出六个交点。相切点斜率为+1，每对相交的两个交点处斜率一个大于1，另一个小于1。,周期 3 轨道,2. 阵发性混沌机理,根据稳定性条件，斜率大于1的轨道是不稳定的，小于1的是稳定的，即f 3(x)有三个稳定不动点与三个不稳定的不动点。它们分别给出一条稳定的周期3轨道，和一条不稳定的周期3
12、轨道。不稳定的周期3轨道已经退化。,不动点稳定性分析,2. 阵发性混沌机理,由每个切点产生出一对稳定的与不稳定的轨道是切分岔的特征。说明在=3.83附近，平方映射中周期3轨道与切分岔紧密地联系着。,狭窄走廊中的迭代,将略为减小一些，在f 3(x)与对角线的三个切点处，形成一条狭窄走廊。f 3(x)进行迭代成为在走廊中的行走。当某一轨道点落入某一走廊的入口处时，在经过若干次迭代以后走到了走廊出口处，并从这里离开走廊，迭代的次数的多少决定于走廊的狭窄程度，也即与切分岔起点t 之间的距离决定。,2. 阵发性混沌机理,狭窄走廊中的迭代,走廊中的迭代很象是在不动点附近的迭代，因此它相应于周期的运动。走出了走廊后，迭代是无规则的大幅度跳跃。当随机地再进入到某个走廊入口附近时，又会重复出现以上走廊中的迭代过程。由于重复是不可能准确相同的，每次走廊中的迭代次数也不会相同。当- t = 0 时，迭代穿越时间趋向于无穷长，即达到完全周期的状态。,2. 阵发性混沌机理,上面这个例子对从有序(周期)到无序的阵发性混沌道路给出了解释.,2. 阵发性混沌机理,华裔数学家李天岩和约克通过严格的数学分析证明：在任何一维系统中，只要出现规则的周期3，必然会给出任意的规则周期运动和完全混沌运动的循环。,
