1、（） （），（） （面， ），丁 ， （） ， （）一。， 一 （）。， （ ）是非减 。 。摘要随着科学技术的进步与发展，在物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和经济学等许多套然科学程边缘学科领域中提出了大量的凼微分方程季霾差分方程描述麴具体数学模型尽管微分方程中的很多结果能很容易的对应到差分方程中，但也有一些结果微分和差分有着本质的不圊，近年来螯受关注的时标理论统一了连续与离散这两种情形，为同时处理连续系统和离散系统提出了基本方法而时标上动力方程的研究有助于在研究微分方程与差分方程时避免出现重复性的结果。本文根据内容分为以下五个部分：弓富，分绍时标上动力方程的研究背景翻国内夕卜发展概
2、况。第一节，预备知识与相关引理，介绍时标上的基本定义、函数运算法则及相关的一些弓理。第二节，时标上高阶动力方程解的振动性，讨论了时标上的高阶动力方程（雾（舌）一 ）鬈（，（妻）众 “鼙）（扩（亡） （王。）有界解振动的条件其中佗为偶数， 亡，。）霄，并且有下列条件成立：（）（），（考） （誊，窿） 的我们对 （）冬，（） ，（亡）一三种情况分别进行讨论，得到了方程（王王）有界解振动的条件。第三节，时标上二阶自共轭中立型动力方程非振动解的分类，讨论了时标 上二阶蜜共辘中立型动力方程（）（髫（亡）一（）（） 礼（。（）一（）（丁（ ） ） ，（，（王，（孟）非振动解的分类。其中是正常数， ，。）坩
3、，并且有下列条件成立：（） ） 丁；， （季） （嚣，虿），（舌）君， （ ） ，掇丁 ）。，坚扩（主）。，丁（ ）是非减的（）爹 ），穆（ ） （譬，）， 爹（） （泖） 赤 。（掣）掣；其中 ，珏 ，且对于每个固定的， “）关于钮是非减且连续的。我们将方程（）的非振动解分为三种渐近类型，并通过构造适当的映射，利用不动点定理得到不网类型非振动解存在的充分必要条件。结论，介绍了本文的主要研究成果和存在的局限性。关键词：时标高阶动力方程自共轭中立型项振动解非振动解 弘 印 ， ， ， ， ，母 锄 ， 仟 ， ：， 仃 ， 伊 锄 ， 仃 ， （）一（）（） “口（）（王（） ， ，。）丌， （
4、）（），口（） （，）（） （），丁（） （， ， ），（）亡， （亡） 亡， （ ） ， （亡）， （） 色 ： （ ） ， （亡） ， （）， （） ， 啦 巴 （ ） ， （亡） （）（）一（）（ ） 夕礼（）一（）（） ） 厂（，（，（） （） ， ， ）， ：（） （），王（） （ ， ），（），工（）， （） ， 。 （丢） （），（） （ ：）， （ ） （捌）（）赤 。（） 掣， ， ，（屯） 蓁载班。圳掣 ：妻 眵年 月伽日扩学位论文原创性声明本人所提交的学位论文 时标上动力方程解的振动性与非振动解的分类 ，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明
5、引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中标明。本声明的法律后果由本人承担。论文作者（签名）：蒂知匆薇俩年月伽日 譬麓裂：舻嘲学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在 年解密后适用本授权书）论文作者（签名）唪侑狂缈留年，月卅日 叭蚴：伊淞硼年月勿日引 言随着科学技术的进步与发展，在
6、经济学、物理学、化学、天文学、生物学和医学、统计学、概率、组合分析等自然科学与社会科学领域中，许多问题必须通过建立连续的或离散的动力学模型来实现。而微分方程和差分方程是描述连续或离散动力系统的有力工具由于求其通解非常困难，故从理论上探讨解的性态一直是近年来研究的热点。尽管微分方程中的很多结果能很容易的对应到差分方程中，但也有一些结果微分和差分有着本质的不同为了统一离散和连续这两种情形，年在他的博士论文 】 中首次提出时标理论时标理论提出了同时处理连续系统与离散系统的基本方法，而时标上的动力方程有助于在研究微分方程和差分方程时避免重复性的证明因此，我们要得到的更普遍的理论就是建立在时标上的动力方
7、程的结果，这里的时标为实数集的任意非空子集，记为 若取时标为实数集，就得到传统的微分方程的结果。若取时标为整数集，就得到传统的差分方程中相应的结果，当然也有一些特殊的时标，例如一个具有电阻、电容和电感器的简单电路，如果电容按照周期不断变化，那么电流就可以用时标一，七 七，七一卅来模拟可见，统一与推广是时标理论的两大特性，它不仅将连续与离散的情形统一起来，而且将它们推广为更普遍的理论。因此，在时标理论中，公式、法则、复合函数求导的链式法则及换元积分法等都具有了更普遍适用的形式，这些在本文中都有体现为了统一的描述时标这种理论，和建立了时标上导数和微分的定义并对基本的函数演算在时标上作了推广 【 ，
8、在此基础上，人们对这一理论的各个方面进行了详细的阐述，本文所用的关于时标的导数和积分的运算及一些记号均来自于和所著的（ 【 】 一书中最近对时标上动力方程的振动性有很多研究，但大多是关于各种低阶形式方程的结果 【 ，引，关于时标上高阶动力方程的研究还比较少本文考虑时标， 上的高阶动力方程有界解振动的条件（ ）一（）（亡） “（亡）（ （） （）皇共轭方程向来是数学工作者研究的热点，随着时标理论的兴起，二阶宣共辘方程在时标上的讨论也有涉及降，文本考虑时标上二阶自共轭中立型动力方程（） 。（考）一（丢）（亡） 搿夕（主）一）。（ ）盎） ，（ ，耋（扩） （王。）非振动勰的分类及不同类型非振动解的
9、存在性定理其中理是正常数，甚 ， ）霉，并且有下列条件成立：（） 丁（圣），（亡） （， ），丁）棼，三，（） ，墨恶） ，墨恶 （莒）。，（亡）是非减的（） （），口（芒） （ ，）， ） （施）（）铲赤 。（切）毪产，其中 亡，珏 ，且对于每个固定的舌，（亡，缸）是关链是非减且连续的魏果一个实值函数（够满足方程，我们就称 考）为方程的一个解如果一个菲平凡解（亡）既不最终为正也不最终为负，则称髫（）是振动的如果方程的所有解是振动的则称这个方程是振动的这里我嬲把方程的解限制在秘，。）虿，（ ）上，且满足对任意亡 考，（亡）：亡亡）预备知识及相关引理本节我们给出时标上的一些基本定义及运算法则，并
10、且给出了文章证明中所需要的相关引理时标， 为实数集的任意非空子集，所以酞，即实数集，整数集，自然数集都是时标当然也有一些特殊形式的时标如： ：七：七 ，九），：七，七 ，），百云： 定义设 为时标，对 ，定义前跳算子盯： 一面盯（ ）（ ：后移算子： （） ：）梯度函数： ，。）肛（）盯（芒）一我们规定， ，仍。如果口（），则称，是右疏的，而如果（）厶则称是左疏的如果亡 ，口（），则称是右稠的而如果， ，（亡），则称是左稠的定义俨如下：如果存在最大左疏点，则矿 一），否则矿 如果 ，则俨 定义设口， 定义 中的区间，【 ，： ： ）其它形式区间可类似定义。定义设厂（）： 风 ，如果存在厂 （
11、）满足对任意 ，存在的一个邻域（一，） ，其中，使得对所有 ，有厂（盯（）一，（）一厂 （）（仃（）一） 口（）一那么称厂 （）为厂在点的 导数。如果对所有 ，厂 （）存在则称，在上是 可导的（简称可导）归学（）（弘）盥辨，其州咖 ） 引理设，： 矿，有下列结论成立：（）如果，在点可导，则厂在 点连续（）如果厂在点连续，且是右疏的，则，在点可导且（）如果是右稠的，则，在亡点可导当且仅当型二型 亡一存在且为有限值，这时 烛等掣（）如果，在芒点可导，则，（盯（），（）肛（）， （亡）引理如果，夕： 在 俨上可导则（）（，夕） （亡）， （亡）夕 （亡）（）（，） （亡）， （亡）（）（厂夕） （）厂： （亡）夕（） 厂（盯（） （亡）厂（）夕 （ ）， （ ）夕（盯（）引理如果， （） ， ，则，（亡）是非减的；反之，如果厂 ， ，则厂（亡）是非增的定义设，： 如果厂在 的右稠点连续，在左稠点左极限存在，那么称，是连续的，把所有连续的函数组成的集合记做（ ）（ ，）如果厂： 是咒阶可导的，且它的各阶导数是是连续的，那么称，是以阶连续可导的，把所有的咒阶连续可导的函数构成的集合记做（， ）（，）引理设，： （）如果，是连续的，则，是连续的（）前跳算子盯是连续的（）如果，是连续的，则，盯也是连续的
