1、数理方程论文班号：06111005姓名：魏中夏学号：1120101640数理方程在自动化中的运用拉普拉斯变化与自动控制理数理方程这门课开始学习的时候感觉运算起来很麻烦，不过经过季节可得学习，了解到数理方程这门课就是运用数学模型来求解物理问题的一种工具学科，对于我所学的专业自动化，我也没有过多的学习，不过通过查阅相关资料，了解到自动控制理论是建立在拉普拉斯变换的基础上的一门课程。拉普拉斯变换及其反变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论它在应用数学中占有很重要的地位.拉普拉斯变换和傅里叶 (Fourier)变换都是积分变换，函数 f(t)的拉普拉斯变换，就是对于函数的傅里叶变换，没有本质上
2、的不同. 它们都是解微分方程和积()()atFef分方程的有力工具，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更为广泛的应用.一个定义在区间 的函数 f(t)，它的拉普拉斯变换式 F(s)定义为 0,)（1）0()()stFsfed式中 为复数，F(s)称为 f(t)的原函数 f(t)。这种由 F(s)到 f(t)j的变换称为拉普拉斯反变换，其定义为 （2）1()(),2cjstftFed式中 c 为正的有限常数.在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型一一微分方程，然后求解方程便可得到系统的动态过程，其常用的求解方法就是拉普拉斯变换.传递函数是在应用拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程中构造出来的，是
3、一个派生的概念，但对控制理论而言是极为重要的概念. 传递函数定义为:零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比.设线性定常系统的微分方程为11()()()nno ndctctdctaa, (3)11()()()()mmno mmdrtrtrtactbbt式中：c(t)为输出量，r(t)为输入量， 均为由系0101,;,nmab 统结构参数决定的常系数。设初始值均为零，对式(3)两端进行拉普拉斯变换，得系统方程则系统传1 10101( )( )(,n nn nmasasCbsbsR 递函数为 (4)0()mnnbGR式中:分了为象方程的输入端算了多项式，分母为输出端算子多
4、项式亦即微分方程的特征式.传递函数是系统的 s 域动态数学模型，而且是更具有实际意义的模型.在不需要求解微分方程的情况下，直接利用传递函数便可对系统的动态过程进行分析和研究.应该指出，传递函数是由于拉普拉斯变换导出的，而拉普拉斯变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统.传递函数取决于系统内部的结构参数，它仅表明一个特定的输入、输出关系.同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数将各不相同.传递函数是在零初始条件下进行的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特征.动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提.模型一旦建立，便可运用适当的方法对系统的控制性能作全面的分析和计算.对线性定常系统，用的方法有时域分析法、根轨迹法和频率法，现在我们仅讨论时域分析法.时域分析法根据系统微分方程，用拉普拉斯变换直接解出动态过程，并依据过程曲线及表达式，分析系统的性能，方便、快捷、准确参考文献1.王元明 数学物理方程与特殊函数 高等教育出版社2. 姚寿文，陈漫 自动控制理论基础 北京理工大学出版社
