1、一、排列组合问题的 通用 解法 “本步法” -叶 笑 考研 管理类联考 (MBA、 EMBA、 MPA、 MPAcc等 )综合测试卷数学之 涵盖近 70%考题的解题 模板 “本步法”用法 绝大多数计数问题会 出现 两种 元素 ：分别记作元素 A、元素 B 第一步 ：问两 个 问题，并回答（ Yes or No）： 1）是不是每个元素 A都要 怎么样 （动词） 元素 B？ 第二步 ：哪一问为肯定回答（ Yes），对应以哪种元素为“本” 1）为肯定回答，以元素“ A”为本； 注 ：（ 1） 每一步搞定对应的一个“本”； 2）是不是每个元素 B都要怎么样 （动词） 元素 A？ 2）为肯定回答， 以元
2、素“ B”为 本； 第三步 ： 以什么 为“本”， 按什么分步，一般几个本分几步。 （ 2）排 列组 合公式有时可将多个“本”合 成一步搞定。 三个补丁： （ 1）若 两问均 为肯定 回答： 理论上 以 哪种元素为 本均 可，实际中按照：哪 种元素 有 特殊要求 ，以 哪种元素为本； （ 2）若存在特殊要求的 “本”： 需 优 先搞 定 该 特殊“本”，且越特殊的本越先搞定 (优 先 法 )； （ 3）若 存在 相同 的“本”： 需把这些“本” 合成一步 优先搞定。 相同 包括“元素相 同”和“元素的要求相同”。 若遇到 某些 特殊情况，按以下补丁操作 示例 1：将 4个人分 到 5节车厢，无
3、其他要求，有几种分法？ 所有计数问题，不加说明，东西均 各不相同 以 人 为本，有 4个 人 分 4步，依次搞定： (1)第 1个人 (2)第 2个人 (3)第 3个人 (4)第 4个人 5 5 5 5 4 两种元素 ： 人 (4个 )， 车厢 (5节 ) 1）是不是 每个 人 都要分入 车厢 ？ 是 * * = （不加说明 ，车厢很大，可以放无数人） 5 * 2）是不是每个 车厢 都要有 人 ？ 不是（或不确定） 两问： 示例 2：运动会上有 4项比赛的冠军在 6个人中产生， 共有几种夺冠 可能 ？ 每人最多拿 1项冠军，共有几种夺冠可能？ 以 冠军 为本，有 4项冠军分 4步，依次搞定：
4、6 6 6 6 4 两种元素 ： 冠军 (4项 )， 人 (6个 ) * * = 6 * 6 5 3 * * = 4 * 6 4 P 注：因选过的 人 不能再选，所以每步的方法数会依次减 1 (1)1号冠军 (2)2号冠军 (3)3号冠军 (4)4号冠军 两问： 1）是不是 每个 冠军 都要有 人 拿？ 是 2）是不是 每个 人 都要拿 冠军 ？ 不是（或不确定） 练 1：从 6个人中选出 4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览。要求每个城市有一个人游览，每人只游览一个城市，且这 6人中甲、乙两人不去巴黎，则不同的选择方案有？ 以 城市 为本，有 4个城市分 4步： (1)巴 黎 (2
5、)伦敦 (3)悉 尼 (4)莫 斯科 人 (6个 ) 城市 (4个 ) 4 5 4 * * 3 * = N正 1）是不是 每个 人 都要去 城市 ？ 不是 2） 是不是 每个 城市 都要有 人 去？ 是 注： 由于 巴黎 有 特殊要求 ，必先搞定，剩下随便哪个先搞定 。 （补 丁二） 两种元素： 练 2： 由 0,1,2,3,4,共 5个 数字 可组成多少个相邻数字不同的三 位 数 ？ 以 位置 为本，有 3个位置分 3步： (1)百位 (2)十位 (3)个位 4 4 两种元素 ： 数字 (5个 )， 位置 (3个 ) * * = 4 64 百 十 个 注： 由于 百 位 非 0，即百 位有特
6、殊要求，必先 搞定 。且百位 搞定后，十位就是特殊的位，再搞定十位。 （ 补丁二） 1）是不是 每个 数字 都要放入 位置 ？ 不是 2）是不是 每个 位置 都要放入 数字 ？ 是 练 3： 由 0,1,2,3,4,共 5个 数字 可组成多少个无 重 复数字的 三位 数奇数 ？ 以 位置 为本，有 3个位置分 3步： (1)个位 (2)百位 (3)十位 2 3 两种元素 ： 数字 （ 5个）， 位置 （ 3个） * * = 注： 由于百非 0，个为奇数，个更 特殊 （可 选择的余地 越 少， 越特殊） ，先搞定个，再百，再十。 （补丁二） 3 18 百 十 个 思考 ：若先搞定百位，再个位，再
7、十位会怎样？ 练 4：电视台连续播放 7个广告，其中商业广告 4个，公益广告3个，要求首尾必须播放公益广告，有几种播放方式？ 以 位 为本 （补丁一） ， 7个位置本该分 7步： (1)首尾 2个位置 (2)其余 5个位置 两种元素 ： 广告 (7个 )， 位置 (7个 ) 3 2 P 5 5 P * = N正 首 2 3 4 5 6 尾 注 ： 除 首尾 两 个特殊位置需 优先搞定 外，其余 5个位置均 无 特 殊 要求 ，可 利用排列公式 合成一步搞定。 （补丁二） 3 （ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ） * (1)首 (2)尾 (3)其余 5个位置 2 * 练 5：要排出某班一天
8、中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6门各一节的课表，数学只能排在前 3节，英语不排在后 2节，不同的排法有 ？ = N正 两种元素 ： 课程 (6门 )， 位置 (6个 ) 以 课程 为本 （补丁一） ,6门课程本应分六步 : (1)数学 (2)英语 (3)其余 4门课 * 3 1 C 1 2 3 4 5 6 3 1 C * 4 4 P 注 ： 除 数学 （ 3种 选择）、 英语 （ 4种选择）特殊外， 数学 更特殊 ，其余均无特殊要求，剩下可合成一步搞定。 （ 补丁二） 练 6： 6个人坐入位于两排的 6个座位，每排 3个座位。要求甲不在前排，乙丙不在后排，共有几种坐法？ = N正 两种
9、元素 ： 人 (6个 )， 位置 (6个 ) 以 人 为本 （补丁一） ，依次帮 6个人找好位置： (1)甲 (2)乙丙 (3)其余 3个人 注：甲乙丙 有特殊要求，优先搞定，其余 3人无要求。 * * 前 1 前 2 前 3 后 1 后 2 后 3 3 2 P 3 3 P 3 1 C 练 7：从 1-20的 20个数中，挑出 3个数，分别赋值给字母 a， b，c，使得 a， b， c恰好组成一个等差数列，则这样的等差数列共有几个？ 以 字母 为本，有 3个字母分 3步： (1)搞定 a和 c (2)搞定 b 两种元素 ： 数字 (20个 )， 字母 (3个 ) a b c 注： 由于等差数列
10、需要满足 a+c=2b，所以字母 a和 c特殊，他 们需满足 和为偶数 ，即必须 同时为奇 或 同时为偶 ，可 以优先搞定，且 a和 c确定 后， b唯一被确定。 （补丁 二） a和 c同为奇 : a和 c同 为偶 : = N1 * 10 2 P 1 = N2 * 10 2 P 1 练 8：用 6种 颜色去涂图 中 5个 区域，要求每个区域 涂 1种 颜色 ，相邻 区域颜色 不相同，共有 几种涂法 ？ 两种元素 ： 区域 (5个 )， 颜色 (6种 ) 以 区域 为本， 5个区域分 5步 : (1)D (2)A (3)B (4)C (5)E 6 5 * * = 4 N正 * 3 注： 其中 D
11、区域最特殊，与其他 4区均相邻， 优先搞定。其次是 A和 B，剩下 C和 E无 特殊，随便谁先搞定。 （补丁 二） 3 * 练 9：从 6名短跑运动员中选出 4个人去参加 4*100米接力赛，甲不能跑第二棒，乙不能跑第四棒，共有几种安排可能？ 两种元素 ： 人 (6个 )， 位置 (4个 ) 以 位置 为本， 4个位置本应分 4步： (1)2号位 (2)4号位 (3)1号和 3号位置 5 (4或 5) 分步计数时，若遇到某一步有多种可能，只需往回跳一步，进行分类。是什么原因造成多种可能，就按什么分为几类。 1 2 3 4 注： 由于 2号、 4号位有特殊要求，优先搞定， 1号和 3号不特 殊，
12、可最后一起搞定。 （补丁 二） 以 位置 为本： 2号 为乙 : 1 * 5 * 4 * 4 * 2号非乙 : 1 2 3 4 (1)2号位 (2)4号位 (3)1号和 3号位置 4 2 P 4 2 P 求和 练 10： 一 辆公交车从起始站开出，上面有 10个乘客，途中经停 6个 站 ， 要 求最后一站下来 3个人，共有几种下法 ？ 5 = 7 N正 两种元素 ： 人 (10个 )， 站 (6个 ) 以 人 为本，依次搞定 10个人： (1)搞定 3个特殊的人 (2)搞定剩下 7个人 10 3 C * 1 * 注： 原本应该分 10步搞定，但其中有 3个人 (没说是哪 3个人， 要先选出来
13、)的 “要求相同” ，均要求最后一站下 ,合成 一步优先搞定 。 （补丁二、补丁三） （挑 3个人 扔到最后一站 ） （实际上 7步，每步 5种下法） 练 11： 一 个学习小组共有 6名同学，则他们恰好有 2名同学在二月份（有 28天）生日的 所有 生日 情况 有多少种 ？ 337 = 4 N正 两种元素 ： 人 (6个 )， 日期 (365个 ) 以 人 为本，依次搞定 6个人： (1)搞定 2个特殊的人 (2)搞定剩下 4个人 6 2 C * 28 * 注： 原本应该分 6步搞定，但其中有 2个人 (没说是哪 2个人， 要先选出来 )均在二月份生日 ,优先搞定 。 （补丁二） （挑 2个
14、人 去二月份生日 ） （实际上 4步，每步 337种情况） 2 练 12：有 3个 白 球， 4个黑球，相同颜色的球无区别。将这 7个球排成一排，共有多少种排法？ = N正 两种元素 ： 球 (7个 )， 位置 (7个 ) 以 球 为本 （补丁一） ， 7个球本应该分 7步： (1)搞定 3个白球 (2)搞定 4个黑球 注： 由于同颜色的球完全相同，故 “相同” 的本必须合成一 步，优先搞定。 （补丁三） * 7 3 C 4 4 C 微信公众号：叶笑考研 1 2 3 4 5 6 7 注：属于定序排列问题，可用除序法（后面专题讲） 练 13：某城市的街道如图，某人要从 A地前往 B地，则路程最短
15、的走法有几种？ = N正 两种元素： 字 (5个 )， 位置 (5个 ) 以 字 为本， 5个字本应分 5步： (1)搞定 3个“右” (2)搞定 2个“下” * 5 3 C 2 2 C 尝试列举： 右右右下下 右下右右下 。 注： 3个 “右”完全相同 ， 2个“下”相同 ，故 “相同” 的本 必须合成一 步优先搞 定。 （补丁三） 等价于 ： 3个右 （相同） ， 2个下 （相同） ，排一排。 练 14： 文艺 团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添加 2个小品节目，则不同的排列方法有几种 ？ = N正 两种元素 ： 节目 (6个 )，
16、 位置 (6个 ) 以 节目 为本，优先搞定 4个特殊的节目： (1)搞定 4个舞蹈节目 (2)搞定剩下 3个节目 * 6 4 C 2 2 P 1 2 3 4 5 6 完全等价于 6个节目排一排，其中 4个歌舞节目先后顺序一定。 练 15：甲乙两人从 4门课程中各选 2门，则甲乙所选的课程恰有一门相同的选法有几种？ = N正 两种元素 ： 人 (2个 )， 课程 (4门 ) 以 人 为本，无特殊的人，随便先搞定哪个人： (1)甲 (2)乙 (选 1门 与甲同，选 1门与甲异 ) * 4 2 C 2 1 C 2 1 C * 练 16： 4封信投入 3个信箱，每个信箱均不空的投法有几种？ = N正 两种元素 ： 信 (4封 )， 信箱 (3个 ) 以 信 为本， 4封信本应分 4步搞定： (1)选 2封信出，搞定它们 (2)搞定剩下 2封信 * 4 2 C 3 1 C 2 2 P * 注：属于分配问题，可用分堆排序法（后面专题讲） 注：有 2封信特殊 (要一起放入同一个信箱 )，但不确定哪 2 封（需要先选出来），剩下 2封 信，每封找一个信箱放 。 （补丁二）
