1、(时间 120 分钟， 满分 150 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2011天津南开中学)下列可作为数列 an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是( )Aa n 1 Ba n 1n 12Ca n 2|sin | Da nn2 1n 1 32解析：由 an 2|sin |可得 a11，a 22， a31，a 42，.n2答案：C2(2011杭州模拟)设数列(1) n的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数 n，S n( )A. B.n 1n 12 1n 1 12C. D. 1n 12 1n 12解析：数
2、列(1) n是首项与公比均 为1 的等比数列，故 Sn . 1 1n1 1 1n 12答案：D3(2011江西高考)设a n为等差数列，公差 d2，S n 为其前 n 项和若 S10S 11，则a1( )A18 B20C22 D24解析：由 S10S 11 得 a11S 11S 100， a1a 11(1 11)d0(10)( 2)20.答案：B4(2011银川联考)已知等比数列 an中，a 12，且 a4a64a ，则 a3( )27A. B112C2 D.14解析：设等比数列a n的公比 为 q，由等比数列的性 质并结合已知条件可得a 4 a q4，q4 ，q2 .25 2514 12a3
3、 a1q22 1.12答案：B5(2011天津高考)已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为 an的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为( )A110 B90C90 D110解析：因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，所以 a a 3a9，27又因为公差为2，所以(a 112) 2( a14)(a 116)解得 a120，通项公式为 an20(n 1)( 2)222n，所以 S10 5(202)110.10a1 a102答案：D6在等比数列a n中，a 5a 115，a 4a 26，则公比 q 等于( )A. B212C. 或 2 D 2
4、12解析：a 5a 1a 1q4a 115a4a 2a 1q3a 1q6 a1q4 1a1q3 q q2 1q2 1qq2 1 ，(q210)156 522q22 5q.q 或 2.12又 a5 a1150， q1，q 2.答案：B7在等比数列a n中，已知 an0，那么“a 2a4”是“a 6a8”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由 a2a4 得 a2a2q2，所以 0a8 得 a6a6q2，所以 0a4”是“a6a8”的充要条件答案：C8等差数列a n的首项为 a，公差为 d；等差数列b n的首项为 b，公差为 e，如果cn anb n(n
5、 1)，且 c14， c28，数列 cn的通项公式为 cn( )A2n1 B3n2C4n D4n 3解析：c na(n1)db(n1)e(ab) (n1)( de )c1ab4，c2abde 8a b 4，d e4，cn 4n.答案：C9已知数列a n的前 n 项和 Snq n1( q0，且 q 为常数) ，某同学得出如下三个结论：a n的通项是 an(q1)q n1 ； an是等比数列；当 q1 时，S nSn2 0，则 Sn 一12 nn 12定有最大值其中真命题的序号是_( 写出所有真命题的序号)解析：对于，注意到 ( )an1 a n( )d 是一个非零常数，因此数列( ) an 是1
6、2 an 112 an 12 12 12等比数列，因此正确；对于 ，S13 13，因此 正确；对于，13a1 a132 13a2 a122注意到 Snna 1 d nan(n1) d dna n d，因此 正确；对于nn 12 nn 12 nn 12，当 d0 时， Sn 不存在最大值，因此不正确 综上所述，其中正确命题的序号是.答案：三、解答题(本大题共 5 小题，共 72 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 14 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN *有 anS nn.(1)设 bna n1，求证：数列 bn是等比数列；(2)设 c1
7、a 1 且 cna na n1 (n2) ，求c n的通项公式解：(1)证明：由 a1S 11 及 a1S 1 得 a1 .12又由 anS nn 及 an1 S n 1n 1，得 an1 a na n1 1，2an1 an1.2(an1 1)a n1，即 2bn 1b n.数列 bn是以 b1a 11 为首项， 为公比的等比数列12 12(2)法一：由(1)知 2an1 a n1.2ana n1 1(n2)2an1 2ana na n1 .2cn1 c n(n2) 又 c1a 1 ，a2a 1a 22，a 2 .12 34c2 ，c2 c1.34 12 14 12数列 cn是首项为 ，公比为
8、 的等比数列12 12cn ( )n1 ( )n.12 12 12法二：由(1)b n ( )n1 ( )n，12 12 12an( )n1.12cn( )n1( )n1 112 12( )n1 ( )n( )n1 (1 )( )n(n2) 12 12 12 12 12又 c1a 1 也适合上式， cn( )n.12 1219(本小题满分 14 分)已知正项数列a n中，a 16，且 an1 a n1；数列 bn中，点Bn(n，b n)在过点(0,1)且以(1,2)为方向向量的直线 l 上(1)求数列a n， bn的通项公式；(2)若 f(n)Error! 问是否存在 kN *，使 f(k27
9、)4f (k)成立，若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由解：(1)a n1 a n1， an1 a n1.数列 an是首 项为 6，公差为 1 的等差数列an a1(n1)1n 5.又直线 l 的方程为 y2x1，bn 2n1.(2)假设满足条件的 k 存在由(1)得：f( n) Error!当 k 为偶数时，k27 为奇数，f(k27) 4f(k)，k2754(2 k1)，解得 k4.当 k 为奇数时，k27 为偶数，2(k27)14(k5)，k (舍去)352综上，存在 k4 符合条件20(本小题满分 14 分)设同时满足条件 b n1 (nN *)；bn bn 22b nM( nN
10、 *，M 是与 n 无关的常数) 的无穷数列b n叫 “特界”数列(1)若数列a n是等差数列，S n 是其前 n 项和，a 34，S 318，求 Sn；(2)判断(1)中的数列S n是否为“特界”数列，并说明理由解：(1)设等差数列a n的公差为 d，则a12d4,3a 13d18，解得 a18，d2.Sn na1 dn 29n.nn 12(2) S n1 Sn Sn 22 Sn 2 Sn 1 Sn 1 Sn2 12 2，n 1n 2n 2n 1c1c 2 cn2n.又 cn 2 ，n 1n 2 n 2n 1 1n 1 1n 2c1c 2 cn2n ( )( )( )2n 2n .12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2 122nc1c 2c n2n 成立12
