函数单调性的判定方法.pdf

1、1函 数 单 调 性 的 判 定 方 法1.判 断 具 体 函 数 单 调 性 的 方 法1.1 定 义 法一 般 地 ， 设 f 为 定 义 在 D上 的 函 数 。 若 对 任 何 1x 、 Dx 2 ， 当 21 xx 时 ， 总 有(1) )()( 21 xfxf ， 则 称 f 为 D上 的 增 函 数 ， 特 别 当 成 立 严 格 不 等 )()( 21 xfxf 时 ， 称 f 为 D上的 严 格 增 函 数 ；(2) )()( 21 xfxf ,则 称 f 为 D上 的 减 函 数 ， 特 别 当 成 立 严 格 不 等 式 )()( 21 xfxf 时 ， 称 f 为 D上

2、 的 严 格 减 函 数 。利 用 定 义 来 证 明 函 数 )(xfy 在 给 定 区 间 D上 的 单 调 性 的 一 般 步 骤 ：（ 1） 设 元 ， 任 取 1x , Dx 2 且 21 xx ；（ 2） 作 差 )()( 21 xfxf ；（ 3） 变 形 （ 普 遍 是 因 式 分 解 和 配 方 ） ；（ 4） 断 号 （ 即 判 断 )()( 21 xfxf 差 与 0的 大 小 ） ；（ 5） 定 论 （ 即 指 出 函 数 )(xf 在 给 定 的 区 间 D上 的 单 调 性 ） 。例 1.用 定 义 证 明 )()( 3 Raaxxf 在 ),( 上 是 减 函 数

3、 。证 明 ： 设1x , ),(2 x ， 且 21 xx ， 则 ).)()()()( 212221123132323121 xxxxxxxxaxaxxfxf 由 于 043)2( 22221212221 xxxxxxx ， 012 xx则 0)()()( 2122211221 xxxxxxxfxf ， 即 )()( 21 xfxf ， 所 以 )(xf 在 , 上 是 减 函 数 。例 2.用 定 义 证 明 函 数 xkxxf )( )0( k 在 ),0( 上 的 单 调 性 。证 明 ： 设 1x 、 ),0(2 x ， 且 21 xx ， 则)()()()(221121 xkxx

4、kxxfxf )()( 2121 xkxkxx 2)()( 21 1221 xx xxkxx )()( 21 2121 xx xxkxx )( 212121 xx kxxxx ，又 210 xx 所 以 021 xx ， 021 xx ，当 1x 、 ,0(2 kx 时 021 kxx 0)()( 21 xfxf ， 此 时 函 数 )(xf 为 减 函 数 ；当 1x 、 ),(2 kx 时 021 kxx 0)()( 21 xfxf ， 此 时 函 数 )(xf 为 增 函 数 。综 上 函 数 xkxxf )( )0( k 在 区 间 ,0( k 内 为 减 函 数 ； 在 区 间 ),

5、( k 内 为 增 函 数 。此 题 函 数 )(xf 是 一 种 特 殊 函 数 （ 对 号 函 数 ） ， 用 定 义 法 证 明 时 通 常 需 要 进 行 因 式 分 解 ， 由 于kxx 21 与 0的 大 小 关 系 )0( k 不 是 明 确 的 ， 因 此 要 分 段 讨 论 。用 定 义 法 判 定 函 数 单 调 性 比 较 适 用 于 那 种 对 于 定 义 域 内 任 意 两 个 数 21,xx 当 21 xx 时 ， 容 易 得 出)( 1xf 与 )( 2xf 大 小 关 系 的 函 数 。 在 解 决 问 题 时 ， 定 义 法 是 最 直 接 的 方 法 ， 也

6、 是 我 们 首 先 考 虑 的 方 法 ，虽 说 这 种 方 法 思 路 比 较 清 晰 ， 但 通 常 过 程 比 较 繁 琐 。1.2 函 数 性 质 法函 数 性 质 法 是 用 单 调 函 数 的 性 质 来 判 断 函 数 单 调 性 的 方 法 。 函 数 性 质 法 通 常 与 我 们 常 见 的 简 单函 数 的 单 调 性 结 合 起 来 使 用 。 对 于 一 些 常 见 的 简 单 函 数 的 单 调 性 如 下 表 ：函 数 函 数 表 达 式 单 调 区 间 特 殊 函 数 图 像一次函数 )0( kbkxy 当 0k 时 ， y 在 R 上 是 增 函 数 ；当

7、0k 时 ， y 在 R 上 是 减 函 数 。二次函数 cbxaxy 2 ),0( Rcbaa 当 0a 时 ， abx 2 时 y 单 调 减 ,abx 2 时 y 单 调 增 ；当 0a 时 ， abx 2 时 y 单 调 增 ，abx 2 时 y 单 调 减 。3反比例函数 xky Rk( 且 0k ) 当 0k 时 , y 在 0x 时 单 调 减 ， 在 0x时 单 调 减 ；当 0k 时 , y 在 0x 时 单 调 增 ， 在 0x时 单 调 增 。指数函数 xay )1,0( aa 当 1a 时 ， y 在 R 上 是 增 函 数 ；当 10 a ， 时 y 在 R 上 是

8、减 函 数 。对数函数 xy alog )1,0( aa 当 1a 时 ， y 在 ),0( 上 是 增 函 数 ；当 10 a 时 ， y 在 ),0( 上 是 减 函 数 。一 些 常 用 的 关 于 函 数 单 调 的 性 质 可 总 结 如 下 几 个 结 论 ： )(xf 与 )(xf +C单 调 性 相 同 。 （ C为 常 数 ） 当 0k 时 ， )(xf 与 )(xkf 具 有 相 同 的 单 调 性 ； 当 0k 时 ， )(xf 与 )(xkf 具 有 相 反 的 单 调 性 。 当 )(xf 恒 不 等 于 零 时 ， )(xf 与 )(1xf 具 有 相 反 的 单

9、调 性 。 当 )(xf 、 )(xg 在 D上 都 是 增 （ 减 ） 函 数 时 ， 则 )(xf )(xg 在 D上 是 增 （ 减 ） 函 数 。 当 )(xf 、 )(xg 在 D上 都 是 增 （ 减 ） 函 数 且 两 者 都 恒 大 于 0 时 ， )(xf )(xg 在 D上 是 增 （ 减 ） 函数 ； 当 )(xf 、 )(xg 在 D上 都 是 增 （ 减 ） 函 数 且 两 者 都 恒 小 于 0时 ， )(xf )(xg 在 D上 是 减 （ 增 ）函 数 。 设 )(xfy , Dx 为 严 格 增 （ 减 ） 函 数 ， 则 f 必 有 反 函 数 1f ， 且

10、 1f 在 其 定 义 域 )(Df 上 也 是 严格 增 （ 减 ） 函 数 。例 3.判 断 5)1(2log)( 21323 xxxxxf x 的 单 调 性 。解 :函 数 )(xf 的 定 义 域 为 ),0( ， 由 简 单 函 数 的 单 调 性 知 在 此 定 义 域 内 323 log, xxx 均 为 增 函数 ， 因 为 02 1 x , 012 x 由 性 质 可 得 )1(2 21 xx 也 是 增 函 数 ； 由 单 调 函 数 的 性 质 知xxx 23 log 为 增 函 数 ， 再 由 性 质 知 函 数 )1(2log)( 21323 xxxxxf x +5

11、 在 ),0( 为 单 调4递 增 函 数 。例 4.设 函 数 )0()( babx axxf ， 判 断 )(xf 在 其 定 义 域 上 的 单 调 性 。解 :函 数 bx axxf )( 的 定 义 域 为 ),(),( bb .先 判 断 )(xf 在 ),( b 内 的 单 调 性 ， 由 题 可 把 bx axxf )( 转 化 为 bx baxf 1)( ， 又 0ba 故0ba 由 性 质 可 得 bx1 为 减 函 数 ； 由 性 质 可 得 bx ba 为 减 函 数 ； 再 由 性 质 可 得 bx baxf 1)(在 ),( b 内 是 减 函 数 。同 理 可 判

12、 断 )(xf 在 ),( b 内 也 是 减 函 数 。 故 函 数 bx axxf )( 在 ),(),( bb 内 是 减 函 数 。函 数 性 质 法 只 能 借 助 于 我 们 熟 悉 的 单 调 函 数 去 判 断 一 些 函 数 的 单 调 性 ， 因 此 首 先 把 函 数 等 价 地转 化 成 我 们 熟 悉 的 单 调 函 数 的 四 则 混 合 运 算 的 形 式 ， 然 后 利 用 函 数 单 调 性 的 性 质 去 判 断 ， 但 有 些 函数 不 能 化 成 简 单 单 调 函 数 四 则 混 合 运 算 形 式 就 不 能 采 用 这 种 方 法 。1.3 图 像

13、 法用 函 数 图 像 来 判 断 函 数 单 调 性 的 方 法 叫 图 像 法 。 根 据 单 调 函 数 的 图 像 特 征 ， 若 函 数 )(xf 的 图 像在 区 间 I 上 从 左 往 右 逐 渐 上 升 则 函 数 )(xf 在 区 间 I 上 是 增 函 数 ； 若 函 数 )(xf 图 像 在 区 间 I 上 从 左 往右 逐 渐 下 降 则 函 数 )(xf 在 区 间 I 上 是 减 函 数 。 、例 5. 如 图 1-1是 定 义 在 闭 区 间 -5,5上 的 函 数 )(xfy 的 图 像 ， 试 判 断 其 单 调 性 。解 ： 由 图 像 可 知 ： 函 数

14、)(xfy 的 单 调 区 间 有 -5,-2） ， -2,1） ， 1,3） ， 3,5） .其 中 函 数 )(xfy 在 区 间 -5,-2） ， 1,3） 上 的 图 像 是 从 左 往 右 逐 渐 下 降 的 ， 则 函 数 )(xfy 在 区 间 -5,-2） ， 1,3） 为 减 函数 ； 函 数 )(xfy 在 区 间 -2,1） ， 3,5上 的 图 像 是 从 往 右 逐 渐 上 升 的 ， 则 函 数 )(xfy 在 区 间 -2,1） ，3,5上 是 增 函 数 。例 6.利 用 函 数 图 像 判 断 函 数 1)( xxf ； xxg 2)( ； 12)( xxh

15、x 在 -3,3上 的 单 调 性 。分 析 ： 观 察 三 个 函 数 ， 易 见 )()()( xgxfxh ， 作 图 一 般 步 骤 为 列 表 、 描 点 、 作 图 。 首 先 作 出1)( xxf 和 xxg 2)( 的 图 像 ， 再 利 用 物 理 学 上 波 的 叠 加 就 可 以 大 致 作 出 12)( xxh x 的 图 像 ，最 后 利 用 图 像 判 断 函 数 12)( xxh x 的 单 调 性 。解 :作 图 像 1-2 如 下 所 示 ： 由 以 上 函 数 图 像 得 知 函 数 1)( xxf 在 闭 区 间 -3,3上 是 单 调 增函 数 ； xx

16、g 2)( 在 闭 区 间 -3,3上 是 单 调 增 函 数 ； 利 用 物 理 上 波 的 叠 加 可 以 直 接 大 致 作 出 12)( xxh x 在 闭 区 间 -3,3上 图 像 ， 即 12)( xxh x 在 闭 区 间 -3,3上 是 单 调 增 函 数 。 事实 上 本 题 中 的 三 个 函 数 也 可 以 直 接 用 函 数 性 质 法 判 断 其 单 调 性 。用 函 数 图 像 法 判 断 函 数 单 调 性 比 较 直 观 ， 函 数 图 像 能 够 形 象 的 表 示 出 随 着 自 变 量 的 增 加 ， 相应 的 函 数 值 的 变 化 趋 势 ， 但 作

17、 图 通 常 较 烦 。 对 于 较 容 易 作 出 图 像 的 函 数 用 图 像 法 比 较 简 单 直 观 ，可 以 类 似 物 理 上 波 的 叠 加 来 大 致 画 出 图 像 。 而 对 于 不 易 作 图 的 函 数 就 不 太 适 用 了 。 但 如 果 我 们 借助 于 相 关 的 数 学 软 件 去 作 函 数 的 图 像 ， 那 么 用 图 像 法 判 断 函 数 单 调 性 是 非 常 简 单 方 便 的 。1.4 复 合 函 数 单 调 性 判 断 法定 理 1： 若 函 数 )(ufy 在 U 内 单 调 ， )g(xu 在 X 内 单 调 ， 且 集 合 u )g

18、(xu ， Xx U（ 1） 若 )(ufy 是 增 函 数 ， )g(xu 是 增 （ 减 ） 函 数 ， 则 )( xgfy 是 增 （ 减 ） 函 数 。（ 2） 若 )(ufy 是 减 函 数 ， )g(xu 是 增 （ 减 ） 函 数 ， 则 )( xgfy 是 减 （ 增 ） 函 数 。归 纳 此 定 理 ， 可 得 口 诀 ： 同 则 增 ， 异 则 减 （ 同 增 异 减 ）复 合 函 数 单 调 性 的 四 种 情 形 可 列 表 如 下 ：情 形函 数 单 调 性 第 种 情 形 第 种 情 形 第 种 情 形 第 种 情 形内 层 函 数 )(xgu 7外 层 函 数 )

19、(ufy 复 合 函 数 )( xgfy 显 然 对 于 大 于 2 次 的 复 合 函 数 此 法 也 成 立 。推 论 ： 若 函 数 )(xfy 是 K(K 2), NK )个 单 调 函 数 复 合 而 成 其 中 有 Km 个 减 函 数 ：1 是 减 函 数时 ， 则当 )(12 xfykm ；2 是 增 函 数时 ， 则当 )(2 xfykm 。判 断 复 合 函 数 )( xgfy 的 单 调 性 的 一 般 步 骤 ： 合 理 地 分 解 成 两 个 基 本 初 等 函 数 )(),( xguufy ； 分 别 解 出 两 个 基 本 初 等 函 数 的 定 义 域 ； 分

20、别 确 定 单 调 区 间 ； 若 两 个 基 本 初 等 函 数 在 对 应 区 间 上 的 单 调 性 是 同 时 单 调 递 增 或 同 单 调 递 减 ， 则 )( xgfy 为 增 函 数 ， 若 为 一 增 一 减 ， 则 )( xgfy 为 减 函 数 （ 同 增 异 减 ） ； 求 出 相 应 区 间 的 交 集 ， 既 是 复 合 函 数 )( xgfy 的 单 调 区 间 。以 上 步 骤 可 以 用 八 个 字 简 记 “ 一 分 ” ， “ 二 求 ” ， “ 三 定 ” ， “ 四 交 ” 。 利 用 “ 八 字 ” 求 法 可 以 解 决一 些 复 合 函 数 的

21、单 调 性 问 题 。例 7.求 )253(log)( 2 xxxf a （ 0a 且 1a ） 的 单 调 区 间 。解 ： 由 题 可 得 函 数 )253(log)( 2 xxxf a 是 由 外 函 数 uy alog 和 内 函 数 253 2 xxu 符 合而 成 。 由 题 知 函 数 )(xf 的 定 义 域 是 ),31()2,( 。 内 函 数 253 2 xxu 在 ),31( 内 为 增 函数 ， 在 )2,( 内 为 减 函 数 。 若 1a ， 外 函 数 uy alog 为 增 函 数 ， 由 同 增 异 减 法 则 ， 故 函 数 )(xf 在 ),31( 上

22、是 增 函 数 ；函 数 )(xf 在 2, 上 是 减 函 数 。 若 10 a ， 外 函 数 uy alog 为 减 函 数 ， 由 同 增 异 减 法 则 ， 故 函 数 )(xf 在 ),31( 上 是 减 函数 ； 函 数 )(xf 在 2, 上 是 增 函 数 。82 判 断 抽 象 函 数 单 调 性 的 方 法如 果 一 个 函 数 没 有 给 出 具 体 解 析 式 ， 那 么 这 样 的 的 函 数 叫 做 抽 象 函 数 。 抽 象 函 数 没 有 具 体 的解 析 式 ， 需 充 分 提 取 题 目 条 件 给 出 的 信 息 。2.1 定 义 法通 过 作 差 (或

23、 者 作 商 )， 根 据 题 目 提 出 的 信 息 进 行 变 形 ， 然 后 与 0（ 或 者 1） 比 较 大 小 关 系 来 判断 其 函 数 单 调 性 。 通 常 有 以 下 几 种 方 法 ：2.1.1 凑 差 法根 据 单 调 函 数 的 定 义 ， 设 法 从 题 目 中 “ 凑 出 ”“ )()( 21 xfxf ” 的 形 式 ， 然 后 比 较 )()( 21 xfxf 与 0的 大 小 关 系 。例 11.已 知 函 数 )(xf 对 任 意 实 数 m、 n均 有 )()()( nfmfnmf ， 且 当 0m 时 ，0)( mf ， 试 讨 论 函 数 )(xf

24、 的 单 调 性 。解 ： 由 题 得 )()()( nfmfnmf ，令 mxnmx 21 , ， 且 21 xx ， 021 xxn又 由 题 意 当 0m 时 ， 0)( mf 0)()()( 21 nfxfxf ， 所 以 函 数 )(xf 为 增 函 数 。2.1.2添 项 法弄 清 题 目 中 的 结 构 特 点 ， 采 用 加 减 添 项 或 乘 除 添 项 ， 以 达 到 能 判 断 “ )()( 12 xfxf ” 与 0大小 关 系 的 目 的 。例 12.（ 同 例 11）解 :任 取 2121 , xxRxx ， 则 012 xx ， )()( 12 xfxf )()(

25、 1112 xfxxxf 由 题 意 函 数 )(xf 对 任 意 实 数 m、 n均 有 )()()( nfmfnmf ， 且 当 0m 时 ，0)( mf 0)()()( 1212 xxfxfxf ， 所 以 函 数 )(xf 为 增 函 数 。2.1.3 增 量 法由 单 调 性 的 定 义 出 发 ， 任 取 2121 , xxRxx 设 )0(12 xx ,然 后 联 系 题 目 提 取 的 信 息给 出 解 答 。例 13.（ 同 例 11）9解 ： 任 取 2121 , xxRxx 设 )0(12 xx 由 题 意 函 数 )(xf 对 任 意 实 数 m 、 n 均 有)()(

26、)( nfmfnmf ， )()()()()( 1112 fxfxfxfxf ， 又 由 题 当 0m 时 ，0)( mf )0(0)()()( 12 fxfxf ， 所 以 函 数 )(xf 为 增 函 数 。2.1.4 放 缩 法利 用 放 缩 法 ， 判 断 )( 1xf 与 )( 2xf 的 大 小 关 系 ， 从 而 得 )(xf 在 其 定 义 域 内 的 单 调 性 。例 14.已 知 函 数 )(xf 的 定 义 域 为 （ 0， + ） ， 对 任 意 正 实 数 m、 n均 有)()()( nfmfmnf ， 且 当 1m 时 1)(0 mf ， 判 断 函 数 )(xf

27、的 单 调 性 .解 ： 设 210 xx ， 则 112 xx 又 当 1m 时 1)(0 mf ， 故 1)(0 12 xxf再 由 )()()( nfmfmnf 中 令 1m ， 1n 得 1)1( f当 10 x 时 ， 11 x ， 由 )1()()1( xfxff 易 知 此 时 1)( xf ， 故 0)( xf 恒 成 立 。因 此 )()(1)()()()( 111121122 xfxfxfxxfxxxfxf )()( 12 xfxf 即 )(xf 在 （ 0， + ） 上 为 单 调 递 减 函 数 。对 于 抽 象 函 数 ， 由 于 抽 象 函 数 没 有 具 体 的

28、解 析 式 ， 因 此 需 充 分 提 取 题 目 条 件 给 出 的 信 息 ,观察 结 构 特 点 。 用 定 义 法 判 定 抽 象 函 数 单 调 性 比 较 适 用 于 那 种 对 于 定 义 域 内 任 意 两 个 数21,xx 当21 xx 时 ， 容 易 得 出 )( 1xf - )( 2xf 与 0 大 小 关 系 的 函 数 。 定 义 法 是 最 直 接 的 方 法 ， 思 路 也 比 较 清 晰 ，在 解 题 中 灵 活 选 择 凑 差 法 、 添 项 法 、 增 量 法 、 放 缩 法 等 恰 当 的 方 法 ， 可 使 解 题 过 程 更 加 简 单 方 便 。2.

29、2 列 表 法对 于 比 较 复 杂 的 复 合 函 数 ， 除 了 用 复 合 函 数 单 调 性 判 断 法 外 ， 还 可 以 用 列 表 ， 将 各 个 函 数 的单 调 性 都 列 出 来 ， 然 后 再 判 断 复 合 函 数 单 调 性 。例 15.已 知 )(xfy 在 R上 是 偶 函 数 ， 且 在 0,+） 上 是 增 函 数 ， 求 )2( 2xf 是减 函 数 的 区 间10解 ： 列 表 如 下由 表 知 )2(2xf 是 减 函 数 的 区 间 )2,( ， )2,0 。利 用 列 表 法 比 较 直 观 ， 精 确 、 易 懂 、 量 与 量 之 间 的 关 系

30、 又 很 明 确 。 列 表 法 在 实 际 生 活 当 中 应用 也 是 比 较 广 泛 的 。 但 是 列 表 法 也 有 其 局 限 性 ： 在 于 适 用 题 型 狭 窄 ， 求 解 范 围 小 ， 大 部 分 是 跟 探寻 规 律 或 反 映 规 律 有 关 。函 数 单 调 性 是 函 数 的 一 个 非 常 重 要 的 性 质 ， 本 文 从 单 调 性 的 定 义 入 手 ， 总 结 了 判 断 单 调 性 的常 见 方 法 。 本 文 把 函 数 分 为 具 体 函 数 和 抽 象 函 数 两 大 类 进 行 讨 论 ， 对 于 每 类 函 数 都 给 出 了 判 定 单调

31、性 的 若 干 方 法 。 对 于 具 体 的 函 数 ， 我 们 可 以 用 多 种 方 法 去 判 断 其 单 调 性 ， 特 别 地 导 数 法 是 普 遍适 用 的 ， 若 借 助 于 计 算 机 ， 那 么 图 像 法 也 是 最 简 单 最 直 观 的 。 对 于 抽 象 函 数 的 单 调 性 问 题 ， 我 们给 出 了 用 定 义 法 及 列 表 法 。 这 种 题 型 不 仅 抽 象 ， 而 且 综 合 性 较 强 ， 对 学 生 的 思 维 能 力 有 很 高 的 要求 ， 学 生 往 往 很 难 发 现 数 学 符 号 与 数 学 语 言 之 间 的 内 在 关 系 。 因 此 在 判 断 函 数 单 调 性 的 问 题 上 ，应 灵 活 选 择 恰 当 的 方 法 ， 从 而 使 解 题 过 程 最 简 单 。函 数表 达 式 单 调 性)2,( )0,2 )2,0 ),2 22 xy )(ufy )2( 2xfy