1、1高 三 数 学专题讲座 巧用迭代法速解高考压轴题高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意，以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这两年全国高考的新课程试卷中的压轴题数列问题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，又由于新课程的改革中淡化了数学归纳法，无疑地迭代法成为解决这类问题的通法。1a n+1=pan+q(p、q 为非零常数)型此类型的通项公式求法通常有两种迭代思路：一是构造新数列使其成等比数列，设原递推关系化为an+1+ =p(an+ )，其中 为待定系数，于是有 p =q，即 = ，这样数列 即为等1pq1pqan比数列。二是 an
2、=pan1 +q=p(pan2 +q)+q=p2an2 +pq+q=p2(pan 3+q)+pq+q=p3an3 +p2q+pq+q=pn1 a1+pn2 q+pq+q，它的实质下标递降， 直至退到不同再退为止。例 1设 a0 如图，已知直线 :y=ax 及曲线 C:y=x2，C 上的点 Q1 的横坐标为 a1(00),A3 是线段 A1A2 的中点，A 4 是线段 A2A3 的中点，A n 是线段 An2 An1 的中点，求 的通项公式。nx分析：充分利用“A n 是线段 An2 An1 的中点”这一重要信息来揭示 xn 与 xn1 、x n2 的递推关系，然后利用迭代法先将相邻三项递推关系
3、转化为相邻两项的关系，即 xn 与 xn1 的关系，再用类型一或类型二的迭代法求解 xn. 4解：由 An 是线段 An2 An1 的中点得：x n= ,即 2xn=xn1 +xn2 (n3).21nx迭代法一：2x n=xn1 +xn2 , 2x n+xn1 =2xn1 +xn2 .反复迭代有：2x n+xn1 =2xn1 +xn2 =2xn2 +xn3 =2x2+x1=2a. 2x n+xn1 =2a，即 xn= .再次反复迭代得： a .)21(31)2()21()21()21()( )2()1(2(2 31 33 21 nnnn nnnn aaax axax迭代法二：2x n=xn1
4、+xn2 , 2x n2x n1 =(x n1 x n2 ), 即 xnx n1 =.xxxn 2321 )()(x n=(xn xn1 )+(xn1 x n 2)+(x2x 1)+x1=a1+( )+( )2+( )n2 =.)2(3a数列 的通项公式为 xn= 。nx )21(3na解题回顾 从本题的上述两种方法可以看出：变形的形式不同，则迭代的方法也不相同。方法一是抓住 2xn+1+xn 的结构形式不变进行反复迭代，然后再对 xn+1= xn+a 进行反复迭代；也21可以用待定系数法构造新数列然后再迭代；方法二则是构造 为等比数列。如果将两种n1迭代结果 2xn+1+xn=2a 和 xn
5、+1x n=( )n1 a 结合在一起，从方程组角度考虑，则显得更简捷2明了。4a n+2、 an+1、 an与 an1 的递推型。此类型问题是相邻四项间的递推关系，首先转化为相邻三项或两项的递推关系，然后再用上述三种类型的迭代法求解。例 4已知数列 各项都是自然数，a 1=0,a2=3,且 an+1an=(an1 +2)(an2 +2),n=3,4,5，。 （I ）n求 a3;（II）证明：a n=an2 +2,nN +，n3， （III）求 的通项公式及前 n 项和 Sn。分析：第（I）题利用特殊值 n=3 及 a4,a3 都是自然数的特征求出 a3；第（II）题的证明实际5上是将四项递推
6、关系转化两项递推关系，然后利用等差数列的有关知识求解 an 及 Sn，对（II）的证明要会观察结论与已知的结构形式，转化为只需证明 12na即可，于是对已知的关系进行分离变形即可。解：（I） （略）答案为 a3=2,a4=5.(II)a n+1an=(an1 +2)(an2 +2),a n+2an+1=(an+2)(an1 +2).两式相比得： .2,22 nnnn即当 n 为偶数时，n 与此同时 n+2 为偶数，反复迭代有： ;12352442aann当 n 为奇数时，n 与 n+2 为奇数，反复迭代有： .013422 nn当 n ，即 an=an2 +2.（n3）a,2-n时N（III）
7、 （略）解题回顾 第（II）题的原来证明（标准答案）是用数学归纳法解的，没有给出这种简捷而具有一般性的迭代法。解题过程中体现了分类与整合的数学思想方法。5a n+1=p(n)a +f(n)an1 +r (p(n)0)型.2n此类 an+1 与 an 的关系是变系数制约的，解题策略：一是寻求更优化的递推关系；二是根据题目的结论进行适当的等式变换或不等变换（包括迭代） 。例 5设数列 满足 an+1=a na n+1, nN +. (I)当 a1=2 时，求 a2,a3,a4，并由此猜出 an 的一n2个通项公式；（II）当 a13 时,证明: 对于所有的 n 1,有(1)a nn+2; (2).
8、212na分析：第（I）题利用“试验归纳猜想”的方法求出 an；第（II）题（1）利用数学归纳法证明；而（2）可用数学归纳法证明，也可用迭代放缩法证明。解：（I）由 a1=2，得 a2=3，a 3=4，a 4=5，猜出 an=n+1.(II)(1)用数学归纳法证明（略） 。（2）由 an+1=an(ann)+1 及（1）a nn+2，得：a n+12a n+1,6a n2a n1 +12（2a n2 +1）+1=2 2an2 +2+12 2（2a n3 +1）+2+1=23an3 +22+2+1 2n1 a1+2n2 +2+132 n1 +2n2 +2+1=(2+1)2n1 +2n2 +2+1=2n+2n1 +2n2 +2+1=2n+11. a n+12 n+1，即 .1nn.21)(2121211 132 nnnnaa解题回顾：该小题仍然考查数列与不等式的推理问题，但与前小题相比，有更高的层次的要求。高要求的表现不仅仅是推理的过程，更重要的是反复迭代变形（放缩迭代）的决策，由此可看出迭代法解高考题的威力。
