1、有理数相关能力提高训练题 3一、数形结合谈数轴1、利用数轴能形象地表示有理数；例 1：已知有理数 在数轴上原点的右方，有理数 在原点的左方，那么（ ）abA B C Dbab0a0a拓广训练：1、如图 为数轴上的两点表示的有理数，在 中，负数的个数, ab,2,有（ ） （“祖冲之杯”邀请赛试题）A1 B2 C3 D43、把满足 中的整数 表示在数轴上，并用不等号连接。5aa2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：1、在数轴上表示数 的点到原点的距离为 3，则a ._a2、已知数轴上有 A
2、、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于 。 （北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例 3：已知 且 ，那么有理数 的大小关系是 0,baaba,。 （用“ ”号连接） （北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：若 且 ，比较 的大小，并用“ ”号连接。,0nmnmnnm, 例 4：已知 比较 与 4 的大小 5a拓广训练：1、已知 ，试讨论 与 3 的大小 2、已知两数 ，如果 比 大，试判断3aba,与 的大小abOa b4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5： 有理数 在数轴上的位置如图所
3、示，式子 化简结果为cba, cba（ ）A B C D32cbb拓广训练：1、有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果cba, caa1为 。2、已知 ，在数轴上给出关于 的四种情况如图所示，则成立的是 2b,。 3、已知有理数 在数轴上的对应的位置如下图：则 化简后的结cba, bac1果是（ ） （湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A B C D112cba2三、培优训练1、已知是有理数，且 ，那以 的值是（ ）02yxyxA B C 或 D 或2331232、 （07 乐山）如图，数轴上一动点 向左移动 2 个单位长度到达点 ，再向右移动 5 个单AB位长度到达点 若点 表示的数为
4、1，则点 表示的数为（ ） 73、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数 且 ，那么数轴的原点应是（ ）dcba,102aAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么 与 的大, cadb小关系是（ ）A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 ，那, caba么点 B（ ）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能Oa1c 0ab 0ab 0ab 0ab Oa b-1 1c Oab-1
5、c10A2B5C DCBA BC0DA6、设 ，则下面四个结论中正确的是（ ） （全国初中数学联赛题）1xyA 没有最小值 B只一个 使 取最小值xyC有限个 （不止一个）使 取最小值 D有无穷多个 使 取最小值y7、在数轴上，点 A，B 分别表示 和 ，则线段 AB 的中点所表示的数是 。3518、若 ，则使 成立的 的取值范围是 。0,babaxx9、 是有理数，则 的最小值是 。x2191x10、已知 为有理数，在数轴上的位置如图所示：且dcba, ,6436dcba求 的值。cb2311、 （南京市中考题）(1)阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 ，A、B 两点这间的距离表
6、示为 ，当 A、B 两点中有ba,一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1， ；baOB当 A、B 两点都不在原点时，如图 2，点 A、B 都在原点的右边 ；AB如图 3，点 A、B 都在原点的左边 ；babaO如图 4，点 A、B 在原点的两边 。BA综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 。ba（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果 ，那么 为 x 2ABx；Oabd cBO aboB(A)O ob O obaB
7、O oba当代数式 取最小值时，相应的 的取值范围是 ；21xx求 的最小值。1973xx聚焦绝对值1、去绝对值符号法则例 1：已知 且 那么 。3,5baabb拓广训练：1、已知 且 ，那么 。 （北京市“迎,2,cc2c春杯”竞赛题）2、若 ，且 ，那么 的值是（ ）5,8ba0babaA3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2： 的最小值是（ ）1xA2 B0 C1 D-1拓广训练：1、 已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的值。23xa23xba三、培优训练1、如图，有理数 在数轴上的位置如图所示：ba,则在 中，负数共有（
8、 ） （湖北省荆州市竞赛4,22, ba题）A3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若 是有理数，则 一定是（ ）mmA零 B非负数 C正数 D负数3、如果 ，那么 的取值范围是（ ）02xxA B C Dx24、 是有理数，如果 ，那么对于结论（1） 一定不是负数；（2） 可ba, baab能是负数，其中（ ） （第 15 届江苏省竞赛题）A只有（1）正确 B只有（2）正确 C （1） （2）都正确 D （1） （2）都不正确-10a-2 b15、已知 ，则化简 所得的结果为（ ）a21aA B C D1326、已知 ，那么 的最大值等于（ ）40A1 B5 C8 D97、已知 都不等于零
9、，且 ，根据 的不同取值， 有（ cba, abcaxc,x）A唯一确定的值 B3 种不同的值 C4 种不同的值 D8 种不同的值8、满足 成立的条件是（ ） （湖北省黄冈市竞赛题）baA B C D0b10a1ab9、若 ，则代数式 的值为 。52xxx2510、若 ，则 的值等于 。0abab11、已知 是非零有理数，且 ，求 的值。c, 0,abcabc12、已知 是有理数， ，且 ，dcba, 16,9dcba 25dcba求： 的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，0xx如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得 （称210
10、1x22,1x分别为 与 的零点值） 。在有理数范围内，零点值 和 可将全体2,11x2 1x2有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况：（1）当 时，原式= ;121xx（2）当 时，原式= ；2x（3）当 时，原式= 。综上讨论，原式=2123xx通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 和 的零点值； （2）化简代数式4 42x14、 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？（2）当 取何值时，x3x x有最大值？这个最大值是多少？（3）求 的最小值。 （4）求25 54x的最小值。987xx15、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现
11、在要在 AB 段上修建一个加油站 M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M 在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这1n ADCB A1 A2 丙丙P A3（PA12 丙D丙台机床到供应站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：n 如图，如果直线上有 2 台机床（甲、乙）时,很明显 P 设在 和 之间的任何地方都行,因1A2为甲和乙分别到 P 的距离之和等于 到 的距离.1A2如图,如果直线上有 3 台机床(甲、乙、丙)
12、时，不难判断，P 设在中间一台机床 处最2A合适，因为如果 P 放在 处，甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为 到 的距离；而如果2 13P 放在别处，例如 D 处，那么甲和丙分别到 P 的距离之和仍是 到 的距离，可是乙还得A走从 到 D 近段距离，这是多出来的，因此 P 放在 处是最佳选择。不难知道，如果直2A2线上有 4 台机床，P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有 5 台机床，P 应设在第 3 台位置。问题（1）：有 机床时，P 应设在何处？n问题（2）根据问题（1）的结论，求 的最小值。617321xxx有理数的运算1、利用运算律：加法运算律 cba加 法 结 合 律加
13、法 交 换 律乘法运算律 c乘 法 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律例 1：计算： 3275.23452拓广训练：1、计算（1） 1529.0175208.6（2） 491764135941例 2：计算： 02拓广训练：1、 计算： 5143254322、裂项相消（1） ； （2） ；ba111nn（3） （4）mnn12121nnn例 3、计算 201943121拓广训练：1、计算： 209715133、以符代数例 4：计算： 39852713971271拓广训练：计算： 20513206131205312061314、分解相约例 5：计算：293186293144 n三、培优
14、训练1、 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 = 。ab20897ba2、计算：（1） = ；1971531（2） = 。2434 3628.03、若 与 互为相反数，则 = 。abab1974、计算： = 。987386534125、计算： = 。10973 226、 这四个数由小到大的排列顺序是 98,1,798。7、 （2007“五羊杯” ）计算： =（ ）86.6.084.31. A3140 B628 C1000 D12008、 （2005“希望杯” ） 等于（ ）302864215431A B C D419、 （2006“五羊杯” ）计算： =（ ）45.195A B C D
15、253024010、 （2009 鄂州中考）为了求 的值，可令 S20832，则 2S ，因此 2S-S ，所以2081 94 1209 仿照以上推理计算出 的值是（ 32 10932551）A、B、C、D、1520952014520942011、 都是正数，如果 ，20432,a 2043220321 aaaM，那么 的大小关系是（ ）03321 aN N,A B C D不确定MN12、设三个互不相等的有理数，既可表示为 的形式，又可表示为 的形式，ab,1ba,0求 的值（“希望杯”邀请赛试题）2019ba13、计算（1） （2009 年第二十届“五羊杯”0164.5706.19036.7
16、5竞赛题）（2） （北京市 24234 31625.613485.0“迎春杯”竞赛题）14、已知 互为相反数， 互为负倒数， 的绝对值等于 ，nm,ba,x3求 的值。203201231abxnmxabnx 15、已知 ，求 的值（2006，香港竞赛）2061211 bababa16、 （2007，无锡中考）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 层将图 1 倒置后与原图 1n拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 ()132n图 图 2 图 3 图 4如果图 1 中的圆圈共有 12 层， （1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 ，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们234， ， ， ， 自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数 ， ， ， ，求21图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和第 2 层第 1 层第 n 层
