1、1对数函数及其性质(二)教学过程一、复习引入:1对数函数的定义:函数 叫做对数函数,对数函数 xyalog)10(且 xyalog的定义域为 ,值域为 )0(a且 ,),(2、对数函数的性质:a1 0a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域:(0,+) 值域:R过点(1,0) ,即当 时, 1x0y时 ),(x0y时 时 )1,(x0y时 性质在(0,+)上是增函数 在(0,+)上是减函数1 函数 y=x+a 与 的图象可能是_xalog
2、11o xy11o xy 11o xyy11o x二、新授内容:例 1比较下列各组中两个值的大小:2 ; (3)6log,7l6 8.0log,l236log,7.0,67.06.解: , , 1ll617l6l7llog76 , , 0og3308.22 8.23小结 1:引入中间变量比较大小:例 1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入 1或 0等,间接比较两个对数的大小 练习: 1比较大小(备用题) ; ; 3.0log7.l430216.04.338log7l 1.0log.l230例 2已知 x = 时,不等式 loga (x2 x 2)
3、log a (x2 +2x + 3)成立,9求使此不等式成立的 x 的取值范围.解:x = 使原不等式成立. log a log a 4 249)()3492)(1即 loga log a . 而 . 所以 y = logax 为减函数,故 0a1.1639163原不等式可化为 , 解得 .3202xx2513x或故使不等式成立的 x 的取值范围是 )5,(例 3若函数 在区间a,2a上的最大值是最小值的 3 倍,10(log)(afa求 a 的值。 ( )42例 4求证:函数 f (x) = 在(0, 1)上是增函数.x1log2解:设 0x 1x 21,则 f (x2) f (x1) =
4、= 212llxx21()logx.1log22x0x 1x 21, 1, 1. 则 0,221212lx f (x2) f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数例 5已知 f (x) = loga (a ax) (a1). 3(1)求 f (x)的定义域和值域; (2)判证并证明 f (x)的单调性.解:(1)由 a1,a a x0,而 aa x,则 x1. 故 f (x)的定义域为(1, +) ,而 axa ,可知 0a a xa, 又 a1. 则 loga(a ax)lg aa = 1.取 f (x)1,故函数 f (x)的值域为( , 1).(2)设 x1x 21,又
5、 a1, , a ,1x21x2xlog a (a )log a (a ),即 f (x1) f (x2),故 f (x)在(1, +)上为减函数.2x例 7 (备选题) 求下列函数的定义域、值域: ; ;)5(log2xy )54(log231xy解: 对一切实数都恒成立, 函数定义域为 R4122从而 即函数值域为 log)5(logx ),2要使函数有意义,则须: ,51054052 xxx由 在此区间内 , 1x 9)(ma942从而 即:值域为 ,9log)54(log3123 y定义域为-1,5,值域为 ),2例 8 (备选题)已知 f (x) = logax (a0,a1),当
6、0x 1x 2时,试比较 与 的大小,并利用函数图象给予几何解释.2(1xf)21f【解析】因为 212)()ffxf1212logloglaaax= 又 0x 1x 2,212121logloglogxxaaa x 1 + x2 2 0, 即 x1 + x22 , 1. 211)(x2121x于是当 a1 时, 0. 此时 21logxa)(21f)(1fxf同理 0a1 时 )(f )(21xff或:当 a1 时,此时函数 y = logax 的图象向上凸.显然,P 点坐标为 ,又 A、 B 两点的中点 Q 的纵坐标为 f (x1) + f (x2),)2(1xf 24由几何性质可知 .)2(1xf)(21xff当 0a1 时,函数图象向下凹. 从几何角度可知 0,21logxa此时 )2(xf)(12xff备选题2讨论函数 在 上的单调性 (减函数))1(log)(2xf )0,(3.已知函数 y= (2- )在0,1上是减函数,求 a的取值范围a解:a0 且 a1,当 a1 时, 1a 2. 当 0a1 时, 0a1,综上述,0a1 或 1a2Bx1 x2xyQA(x1, f (x1) )(1,(22f(x2, f (x2)(P