1、关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明 武汉二中 王尤睿高中学习里我们已经知道在处理行星间万有引力的力学问题时，各个行星可看作质点（其重心），以便于计算，高中人教版教材必修 2 中已明确指出实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点）进行处理，下面给出详细证明： 证明：1. 建立圆环与质点模型（微元思想）假设有一圆环（厚度不计, 质量均匀）半径为 r，圆环质量为 m，现有一质点 A 与圆环圆心连线垂直于圆环所在平面质量为 M，与圆心距离为 R，如图，现将圆环分成 n 份，每份长度为 dx，质量为 dm，则有：2. 建立圆片与质点模型（积分）假设有一圆片（厚度不记, 质量均匀）半径为 r，原片
2、质量为 m，现有一质点 A 与元片圆心连线垂直于圆片所在平面质量为 M，与圆心距离为 R，如图，现选取圆片内某一圆环，半径设为 x，半径为 dx（ 0 ）3. 建立实心球与质点模型（积分）假设有一实心球体（质量均匀）半径为 r，质量为 m，现有一质点 A 与球体球心相距 R，以球心与质点连线为横轴建立直角坐标系，质点 A 质量为 M，如图当 n 时，每份都可看作为质点，则对每份质点，有： 22 rdm RMGF ，竖直方向上分离为 22 r RRFF则对整个圆环，圆环收质点 A 在竖直方向上的合力为 32-22 rmn ）（合 RRGMFF由对称性可得圆环在水平方向收的力为 0所以， 合合 F
3、F mdm r n 2dxn 此圆环面积为： dxx2dxdxx2- 2xdxx ）（SSS此圆环收到质点 A 引力为： 32-222 xmr dxx2 RRGMF 引于是，对圆环面积求定积分 ）（合 222r0 32-222 r1-1rm2 xmr dxx2 RRRGM RRGMF 即圆片受质点 A 引力大小万有引力作用质点等效证明Page1 武汉二中王尤睿现选取球体上某一圆片，圆片圆心与球心距离 x，再选取一圆片圆心距离球心 x+dx（dx 0 ）那么由这两个圆片组成的圆台可看作圆柱，有圆柱地面半径 220 x-rr ，圆柱高 h=dx,圆柱体积 dxx-r 22 ）（柱V此圆柱所受质点 A 引力大小为 ）（球 22222 x-rx- 1-x-1x-r xm2 RRRVVGMF于是对球体所受 A 引力求定积分，2rr- 22222322rMmG dxx-rx- 1-x-1x-r xmr34 x-r2 ）（）（合 RRRGMF 此时，球体所受合力与等质量其球心所受质点 A 引力大小相同所以，实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点）证毕万有引力作用质点等效证明Page2 武汉二中王尤睿
