1-Bit压缩感知技术研究.pdf

1、 硕 士 学 位 论 文 1-Bit 压 缩 感 知 技 术 研究 RESEARCH ON 1-BIT COMPRESSIVE SENSING TECHNOLOGY 杨 柳 哈 尔 滨 工 业 大 学 2014 年 7 月 国 内 图 书 分 类 号 ：TP274+.2 学 校 代 码 ：10213 国 际 图 书 分 类 号 ：621.3 密 级 ： 公开 工 学 硕 士 学 位 论 文 1-Bit 压 缩 感 知 技 术 研究 硕 士研究生 ： 杨柳 导 师： 付宁 副 教授 申 请 学 位 ： 工 学 硕 士 学科、专 业 ： 仪 器 科 学 与 技 术 所 在 单 位 ： 电 气 工

2、程 及 自 动 化 学 院 答 辩 日 期 ： 2014 年 7 月 授 予 学 位 单 位 ： 哈 尔 滨 工 业 大 学 Classified Index ：TP274+.2 U.D.C: 621.3 Dissertation for the Master Degree in Engineering RESEARCH ON 1-BIT COMPRESSIVE SENSING TECHNOLOGY Candidate: Yang Liu Supervisor: Associate Prof. Fu Ning Academic Degree Applied for: Master of Eng

3、ineering Speciality: Instrument Science and Technology Affiliation: School of Electrical Engineering and Automation Date of Defense: July, 2014 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - I - 摘 要 压 缩 感 知 （Compressive Sensing ，CS ） 理 论 利 用 信 号 稀 疏 特 性 ， 克 服 了 传 统 的

4、 奈 奎 斯 特 采 样 的 限 制 ， 实现了 信 号 的 压 缩 、 采 样 同 时 进 行 。 该 理 论 被 广 泛 应 用 到 模 拟 信 息 转 换 、 光 学 成 像 、 军 事 雷 达 及 航 空 航 天 等领域。近 几 年 压 缩 感 知理论不断发展 ， 并 逐 渐 形 成 多 种 分支 。1-Bit 压缩感知理论作 为 压 缩 感 知 理 论 的 分 支 ， 以 其 简 单 的 结 构 和 突 出 的 重 构 效 果 受 到 研 究 人 员 的 广 泛 关 注 ， 在 无 线 通 信 和 感 知 无 线 电 等 领 域 具 有 广 泛 的 应 用 前 景 。 1-Bit 压

5、 缩 感 知 对 采 样 值 进 行 极限量 化 ， 并 利 用 1-Bit 重 构 算 法 恢 复 信 号 ， 极 大 地 简 化 硬 件 结 构 ， 降 低 采 样 值 所 占 存 储 空 间 ， 提 高 信 号 存 储 和 传 输 速 率 。 但是该方向的研究 起 步 较 晚 ， 且 大 多 研 究 仅 局 限 于 理 论 层 面 ， 本 文 针 对 1-Bit 压 缩 感 知 理 论 研 究 中 重 构 算 法 存在 信 号 稀 疏 度 依 赖 问 题 和 物 理 实 现 技 术 研 究 不 充分 的 问 题 展 开 研 究 。 主要 研 究 内 容 和 取 得 的 成 果 如 下 ：

6、 1 、 研究 1-Bit 压 缩 感 知 基 本 理 论 。 首 先 ， 介 绍 了 1-Bit CS 理论中 1-Bit 量 化 模 型 、 观 测 矩 阵 约 束 条 件 和 解 的 存 在 性 与 稀 疏 性 等 基本理论。接 下 来 详 细 的 介绍了 1-Bit CS 信号重构算法 中 较 为 突 出 的 BIHT （Binary Iterative Hard Thresholding ） 算 法 ， 并 给 出 了 该 算 法 的 一 系 列 衍生算法的重 构 模 型 和 实 施 步 骤 ， 包 括 AOP （Adaptive Outlier Persuit ）算法 及 其 扩

7、展 算 法 。 仿 真 实 验 表 明 在 噪 声 的 作 用 下 ，AOP 算法 和 AOP-f （AOP-flips ） 算 法 的 重 构 效 果 最 好 。 2 、 针 对 实 际 应 用 中 信 号 稀 疏 度 水 平 难 以 获 取 的 问 题 ， 在 现 有 的 BIHT 算 法 基 础 上 进 行 修 改 ， 提 出 一 种 1-Bit 压 缩 感 知 盲 重 构 算 法 。 首 先 对 BIHT 算法 信号稀疏度依赖性问题进行研究； 然 后 将 稀 疏 度 自 适 应 思 想 引 入 BIHT 算法 中 ， 提 出 1-Bit 压 缩 感 知 盲 重 构 算 法 ； 最 后

8、进 行 仿 真 实 验 ， 实 验 结 果 表 明 该算 法 在 稀 疏 度 未 知 的 情 况 下 ， 可 以 达 到 与 BIHT 算 法 相 当 的 重 构 效 果 。 3 、 针对 1-Bit 压 缩 感 知 研 究 缺 乏 原 型 样 机 验 证 的 问 题 ， 研究 了 一 种 基于 1-Bit 量化的多 谐 波 信 号 采 集 系 统 。 首 先 介 绍 多 谐 波 信 号 模 型 。 然 后 给 出 基 于 1-Bit 量化 多 谐 波 信号采样系统框架 ， 信 号 经 过 混 频 、 滤 波 后 进 行 1-Bit 量 化 ， 得 到 采 样 值 的 符 号 信 息 。 最

9、后 ， 完 成 系 统 硬 件 设 计 ， 分 别 给 出 各 模 块 的 设 计 方 案， 并 进 行 硬 件 实验 。 实 验 结 果 说 明 基于 1-Bit 量 化 的 多 谐 波 信 号 采 集 系 统 可 以 成 功 恢 复 原 信 号 ， 重 构 效 果 稳 定 ，且在总 Bits 空间一定情况下，1-Bit 量化 的 重 构 效 果 优 于 其 它 量 化 精 度 的 重 构 效 果 。 4 、 针 对 稀 疏 多 频 带 信 号 ， 提出一种基于 1-Bit 量 化 的 多 频 带 信 号 采 集 系 统 模 型 。 首 先 描 述 了 多 频 带 信 号 模 型 ， 然 后

10、 提 出 基 于 1-Bit 量 化 的 多 频 带 信 号 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - II - 采 集 系 统 框 架 ， 介 绍 了 混 频 函 数 、 频 域 变 换 和 1-Bit 量 化 模 型 ， 并 提 出 适 用 于 该系统的联合二进制迭代硬阈值-2 范数算 法 ， 仿 真 实 验 结 果 表 明 在 总 Bits 空 间 一 定 时 ， 当 输 入 噪 声 水 平 越 高 时 ， 采 用 该 系 统 进 行 1-Bit 量 化 的 重 构 效 果 较 调 制 宽 带 转 换 器 系 统 中 采 用 精 确 量 化 的 重 构 效 果 好 ， 该 系 统 表 现 出

11、抗 噪 性 、 抗 混 叠 、 系 统 结 构 和 实 时 性 等 工 程 方 面 的 优 势 。 关键词 ： 压 缩 感 知；1-Bit 压 缩 感 知 ； 盲重构 ； 多 谐 波 信 号 ； 调 制 宽 带 转 换 器 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - III - Abstract Compressive sensing(CS) utilizing the signal characterisitic of sparsity overcomes the limition of Nyquist sampling theorem. The compression and sampling c

12、an be performed simultaneously. In recent years, CS has developed rapidly, It is widely available in many fields, such as analog information conversion, optical imaging, military radar and aerospace. With the developing of CS, there have been many emerging branches. 1-Bit compressive sensing, an imp

13、ortant branch of CS, has attracted widely attention for its simple framework and perfect reconstruction performance. 1-Bit CS has a wide promising application, including the fields of wireless communication and cogniitive radio. 1-Bit CS can accurately recovery the signals even when each measurement

14、 is quantized to just 1-Bit. This property enables the design of simplified hardware structure, reduction of the space taken by samples and enhancement the speed of data saving and transmitting. While this direction has been late to get started, most of the work was limited in theory. Most algorithm

15、s of 1-Bit CS denpen on signal sparsity and the research of 1-Bit CS implementing technology is lack. This thesis focuses on the problems of 1-Bit CS. The main research contents and results of the thesis are listed as follows: 1 、The basics of 1-Bit CS are researched. The 1-Bit quantization model, t

16、he constraint condition of measurement matrix and the existence and sparsity of the solution are decribed first. And then we discuss the Binary Iterative Hard Thresholding (BIHT) algorithm, which is an outstanding 1-Bit CS recovery algorithm. We introduce a series of extension algorithms of BIHT, an

17、d provide their model and the implementation steps. The simulations validate that the Adaptive Oulter Pursuit (AOP) algorithm and AOP-flips algorithm have better performance than other algorithms, when measurements contaminated with sparse nosie. 2 、In face of the difficulty of getting the sparsity

18、level of signals in practical, a blind 1-Bit CS algorithm(Sparse Adaptive Binary Iterative Hard Thresholding, SABIHT) without prior information of the sparsity is proposed based on the BIHT algorithm. After analysis of the sparse dependence problem of BIHT algorithm, a new algorithm, which adopts sp

19、arse adaptive strategy, is introduced. In the numerical experiments, the results show that the SABIHT algorithm can achieve 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - IV - performance as good as the BIHT algorithm without prior information of the sparsity. 3 、In face of the absence of hardware prototype based on 1-Bit quant

20、izating, we study the sampling systems based on 1-Bit quantization. First of all, the framework of multiple tone sparse signal is researched. Then, we put forward a design scheme of sample system basic on 1-Bit quantization for sparse multiple tone signals, which includes a multiplier, a filter, a s

21、ampling holder and a comparator. The structural scheme of sensing matrix is described. We complete the system design and carry out experments on the system. Experimental results demonstrate that the proposed scheme for multi-tone sparse signals can realize stable and successful reconstruction. In th

22、e condition of fixed bit-budget, reconstruction with 1-Bit quantization samples obtains better recovery perfermoance than those with more-Bit quantization. 4 、The sample system based on 1-Bit quantization for multi-band signals is proposed. We describe the multi-band signal model and the architectur

23、e of the proposed system. The signal is multiplied by a periodic waveform and filtered by a lowpass filter. The filtered is compared with a fixed value to get 1-Bit samples at uniform time instants. A corresponding algorithm named simultaneous binary iterative hard thresholding- 2is designed for the

24、 proposed system. In simulations we compare our system with modulated wideband converter to prove its advantages in the condition of constrained Bit-budget, particularly in low input signal to noise ratio levels. The proposed system shows some performance gain in engineering aspect: robustness to no

25、ise and mismodeling, potential hardware simplications, real time performance for signals with time-varying support and stability to quantization effects. Keywords: Compressive Sensing, 1-bit Compressive Sensing, Blind Reconstruction, Multi-tone Signal, Modulated Wideband Converter 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 -

26、V - 目 录 摘 要 I Abstract III 第 1 章 绪论 . 1 1.1 课 题 来 源 及 研 究 的 目 的 和 意 义 1 1.2 国 内 外 研 究 现 状 分 析 2 1.2.1 压 缩 感 知 理 论 的 国 内 外 研 究 现 状 . 2 1.2.2 1-Bit 压 缩 感 知 的 国 内 外 研 究 现 状 . 4 1.3 本 文 主 要 研 究 内 容 7 第 2 章 1-Bit 压 缩 感 知 基 本 理 论 9 2.1 1-Bit 压 缩 感 知 理 论 9 2.1.1 传 统 压 缩 感 知 的 量 化 . 9 2.1.2 1-Bit 压 缩 感 知 .

27、11 2.1.3 BSE 约束原理 13 2.1.4 解 的 存 在 性 与 稀 疏 性 . 14 2.2 1-Bit 压 缩 感 知 重 构 算 法 15 2.2.1 BIHT 算 法与 BIHT- 2 算法 . 16 2.2.2 AOP 算 法 及 其 扩 展 算 法 18 2.3 仿 真 实 验 20 2.4 本 章 小 结 24 第 3 章 1-Bit 压 缩 感 知 盲 重 构 算 法 26 3.1 引言 26 3.2 稀 疏 度 自 适 应 二 进 制 迭 代 硬 阈 值 算 法 26 3.2.1 BIHT 算 法 稀 疏 度 依 赖 性 问 题 分 析 26 3.2.2 SABI

28、HT 算 法 原 理 及 步 骤 . 27 3.3 SABIHT 算 法 与 BIHT 算 法 比 较 . 29 3.3.1 无 噪 声 时 重 构 性 能 的 比 较 . 29 3.3.2 含 噪 声 时 重 构 性 能 比 较 . 31 3.4 算 法 的 计 算 复 杂 度 实 验 及 分 析 33 3.5 本 章 小 结 34 第 4 章 基于 1-Bit 量 化 的 多 谐 波 信 号 采 集 系 统 . 35 4.1 引言 35 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - VI - 4.2 多 谐 波 信 号 模 型 35 4.3 基于 1-Bit 量 化 的 多 谐 波 信 号 采 集

29、系 统 框 架 36 4.3.1 采 样 过 程 分 析 . 36 4.3.2 观 测 矩 阵 构 造 方 案 . 38 4.4 硬 件 平 台 搭 建 及 实 验 结 果 分 析 39 4.4.1 信 号 生 成 模 块 . 40 4.4.2 模 拟 乘 法 器 模 块 . 40 4.4.3 低 通 滤 波 器 模 块 . 41 4.4.4 采 样 及 1-Bit 量化 . 42 4.4.5 实 验 结 果 分 析 . 43 4.5 本 章 小 结 52 第 5 章 基于 1-Bit 量 化 的 多 频 带 信 号 采 集 系 统 . 53 5.1 引言 53 5.2 多 频 带 信 号 模

30、 型 53 5.3 基于 1-Bit 量 化 的 多 频 带 信 号 采 集 系 统 框 架 55 5.3.1 混 合 函 数 . 56 5.3.2 频 域 分 析 . 56 5.3.3 1-Bit 量化 . 60 5.3.4 重 构 算 法 设 计 . 60 5.4 仿 真 实 验 61 5.4.1 实 验 参 数 介 绍 . 61 5.4.2 仿 真 结 果 分 析 . 62 5.5 本 章 小 结 65 结 论 . 66 参 考 文 献 . 68 攻 读 学 位 期 间 发 表 的 学 术 论 文 及 其 他 成 果 . 73 哈 尔 滨 工 业 大 学 学 位 论 文 原 创 性 声

31、明 和 使 用 权 限 . 74 致 谢 . 75 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 1 - 第1 章 绪论 1.1 课题 来 源 及 研 究 的 目 的 和 意 义 随着现代通信技术和信息处理技术的 飞 速 发 展 ， 信号带宽越 来 越 大 ， 例如 雷 达 遥 感 成 像 、 认 知 无 线 电 和 超 宽 带 通 信 等 实际信号 的 最 大 频 率 高 达 数 十 GHz 。 传统的 Nyquist 采样定 理 要 求 ， 信号 采 集 频 率 大 于 或 等 于 信 号 中 最 大 频 率 的 两 倍 ， 才 能 准 确 恢 复 原 信 号 。 因 此 ， 只 有 不 断 提 高

32、 采 样 器 的 采 样 速 率 和 处 理 速度 才 能 满 足 现 代 人 们 的 信 息 需 求 ，一方面 给 信 号 获 取 设 备 带 来 更 大 的 压 力 ， 另 一 方 面 ， 高 分 辨 率 设 备 的 普 遍 应 用 会 导 致 海 量 数 据 ， 为 信 号 存 储 、 传 输 及 处 理 带 来 诸 多 挑 战 。 为了缓解上 述 问 题 ， 研究人员提 出 了 一种基于信号的 稀 疏 性 1 的 采 样 理 论 压 缩 感 知 （Compressive Sensing ，CS ） 理 论 2,3 。CS 理论成 功 实 现 了 信 号 采 样 与 压 缩 同 时 进

33、行 ， 并 引 起 社 会 各 界 的 极 大 兴 趣 和 广 泛 关 注 。 压缩感知理论 可 概 括 为 ： 在 某 个 变 换 域 是 可压缩的 或稀疏的 信号，通过 与 稀 疏 基 矩阵 不 相 干 的 观测 矩 阵 将 稀 疏 变 换 系 数 投 影 为 低 维 观 测 向 量 ， 利 用 观 测 值 可 以 重 构 原 信 号 ， 压 缩 感 知 理 论 是指 在 获 取 信号 时 ， 就 对 数 据 进 行 适 当 地 压 缩 。 也 就 是 说 压 缩 感 知 理 论 针 对 稀 疏 或 可 压 缩 的 信 号 ， 可 以 实 现 信 号 压 缩 与 采 集 同 时 进 行 ，

34、 极 大 的 节 省 传 感 元 、 时 间 和 存 储 空 间 4 。 在实际数字系统，对压缩采样得到的信号进行量化是必经过程，即将模拟 信 号 转 换 为 有 限 精度 的 数 字 信 号 。 转 换 为 数 字 信 号 才 能 方 便 数 据 的 传 输 和 存 储 ， 而 且 恢 复 原 信 号 也 是 数 字 处 理 过 程 ， 这 些 都 涉 及 量 化 问 题 。 在 压 缩 感 知 实 际 应 用 中 ， 为 了 提 高 重 构 信 号 的 信 噪 比 ， 仍 需 要 提 高 采 样 速 率 和 量 化 器 的 转 换 精 度 。 随 着 测 量 值 的 量化 精 度 提 高

35、， 采 样 速 率 将 降 低 。 首 先 ， 量 化 器 的 量 化 速 率 限 制 模 数 转 换 器 （Analog to Digital, ADC ） 的 最 大 速 率 ， 随着采 样 速 率 的 增 加 ， 量 化 器 的 量 化 速 度 和 信 号 传 输 速 度 等 也 要 相 应 增 加 ， 这 就 对 ADC 带 来 很 大 压 力 ； 其 次 ， 在 ADC 中 ， 量 化 器 为 主 要 的 耗 能 元 件 ， 是 限 制 采 样 速 率 的 主 要 瓶 颈 ， 高 精 度 量 化 降 低 采 样 速 率 ， 增 加 ADC 压 力 ； 最 后 ， 精 确 量 化 更

36、容 易 受 非 线 性 失 真 影 响 ， 需 要 更 复 杂 的 重 构 算 法 5 。 压缩感知理论虽然 实 现 了 低 速 采 样 ， 在 一 定 程 度 上 缓 解 了 ADC 的 压 力 ， 但 是 ， 为 减 小 量 化 误 差 ， 而 提 高 采 样速率和量化精度的思想与 CS 理 论 相 矛 盾 7,8 。因此，最近人们从降低采样 速 率 的 角 度 转 换 到 降 低 量 化 精 度 的 角 度 ， 构 想 能 否 提 出 一 种 极 限 量 化 情 况 ， 即 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 2 - 只 保 留 压缩 测 量 值 的 符 号 信 息 ， 牺 牲 量 化

37、精 度 来 获 取 高 速 量 化 ， 在 量 化 域 中 扩 展 压 缩 感 知 框 架 ， 即 降 低 测 量 值 的 量 化 位 数 （ 量 化 精 度 ） 。 这 就 引 出 了 1-Bit 压 缩 感 知 6 理论 。 1-Bit 压 缩 感 知 是 压 缩 感 知 理 论 的 一 个 分 支 ， 是 在 传 统 压 缩 感 知 的 基 础 上 对测量值进行极限量化处理1-Bit 量化 。 量化过程用比较器代替量化器， 通 过 减 少 每 个 测 量 值 的 位 数 ， 实 现 高 效 快 速 量 化 ， 大 大 提 高 数 据 的 测 量 和 传 输 速度 ， 缓 解 硬 件 压

38、力 。1-Bit 压 缩 感 知 具 有 巨 大 的 实 际 意 义 。 首 先 ，1-Bit 量化 将大大减少传输和存储的 Bit 位数；其次 1-Bit 量化可以实现高速量化；最 后，1-Bit 编码在非线性条件下的不变性，使其具有较强的抗噪性。上述实际 优 势 充 分 说 明 ， 进 一 步 研 究 1-Bit 压 缩 感 知 及 其 应 用 技 术 是 十 分 必 要 的 。 本 文 将 对 1-Bit 压 缩 感 知 理 论 进 行 研 究 ， 分 别 从 重 构 算 法 和 技 术 应 用 的 角 度出发，力求改善 1-Bit CS 重 构 算 法 的 性 能 ， 并 研 究 不

39、同 信 号 模 型 下 ，1-Bit CS 采 样 系 统 的 设 计 方 案 。 因 此 本 课 题 在 1-Bit CS 的 理 论 研 究 和 实 际 应 用 中 具 有 重 要 的 价 值 和 意 义 。 1.2 国 内 外 研 究 现 状 分 析 1.2.1 压 缩 感 知 理 论 的 国 内 外 研 究 现 状 压 缩 感 知 理 论 是 近 几 年 提 出 的 一 种 新 的 信 号 处 理 理 论 ， 2004 年 E. Cand s 、T. Tao 等人提出 并 创 立 压 缩 感 知 理 论 基 础 ，2006 年 E. Cand s 和 J. Romberg 等人 发 表

40、 了 一 系 列 关 于 该 理 论 的 奠 基 性 文章 2,3 。 压 缩 感 知 理 论 包 括 信 号 的 稀 疏 表 示 、 感 知 矩 阵 的 设 计 与 信 号 重 构 算 法 三 部 分 。 其 中 稀 疏 表 示 矩 阵 是 获 取 信 号 的 结 构 化 表 示 手 段 ， 感 知 矩 阵 是 进 行 信 号 压 缩的 手 段 ， 重 构 算 法 则 是 实 现 信 号 恢复 的 保 证 。 1 、 信 号 的 稀 疏 表 示 压 缩 感 知 理 论 应 用 的 前 提 是 信 号 的 稀 疏 表 示 。 在 信 号 稀 疏 表 示 理 论 中 ， 假 设 离 散 时 间

41、信 号 x N 为 1 N 维实向 量 。 N 空 间 的 任 意 信 号 都 可 以 用 N 维 的 规范 正 交 基 向量 1 N ii 的 线 性 组 合 的 形式表示 。 信号x 在 一 组 正 交 基 下 进 行 展 开，基向量的系数可写为 , x ii a ， 其 中 1,2,. iN 。 向量集 1 N ii 可 构 成 正交基 矩 阵 12 , ,. NN N ，则信号 x 的 展开形式写为矩阵形式 x a ， 其 中 系 数 向 量 12 , ,. T N a a a a 。 很 明 显 x 和a 等 价 表 示 同 一 信 号 ， x 表 示 信号的时域形式，a 则是在 域

42、的表示 9 。如果对于02 p 和 R0，系数 向量a 满足 1/ | | ( ) p p pi i aR a ， 则 说 明 系 数 向 量 a 在 某 种 意 义 下 为 稀 疏 向 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 3 - 量 ， 则 称 信 号 x 在正交基 变 换 下 是 稀 疏 的 ， 信 号 的 变 换 域 有 ： 频 域 、 小 波 域 、 离 散 余 弦 变 换 域 等 9 。 如 果 信 号 x 本 身 具 有 稀 疏 特 性 ， 则 正交 基 矩 阵 为 单 位 阵 ， 本 身 具 有 稀疏性的 信 号 有 两 种 定 义：其一，信号 x 变 换 域 的 系 数 向 量

43、 中只有 K 个 非 零 元 素 ； 其 二 ， 信号 x 在 变 换 域 的 系 数 向 量 中 K 个 元 素 绝 对 值 较 大 ， 其 他 元 素 相 对 较 小 ， 且 绝 对 值 呈 指 数 下 降 ， 此 时 也 可 以 看 成 K 稀疏 信 号 。 压 缩 感 知 理论 研 究 的 关 键 问 题 为 找 到 信 号 的 最 佳 稀 疏 域 。 在 信 号 的 稀 疏 表 示 理 论 中 ， 一 般 把 变 换 系 数 的 衰 减 速 度 作 为 变 换 基 稀 疏 表 示 能 力 的 评 判 标 准 。 Candes 和 Tao 10 研 究 表 明 ， 利 用 压 缩 感

44、知 理 论 可 以 恢 复 具 有 幂 次 （ power- law ） 速 度 衰 减 的 信 号 。 近 来 ， 稀 疏 表 示 的 研 究 重 点 转 向 了 另 一 方 向 ，即 在 冗 余 字 典 下 对 信 号 进 行 稀 疏 分 解 11 。 冗 余 字 典 下 的 稀 疏 分 解 研 究 可 以 分 为 两 方 面 ： 一 方 面 是 如 何 构 造 冗 余 字 典 ； 另 一 方 面 是 怎 样 设计有效 的 稀 疏 分 解 方法 。 2 、 感 知 矩 阵 的 设 计 压 缩 感 知 理 论 中 ， 感 知 矩 阵 起 着 相 当 重 要 的 作 用 。 感 知 矩 阵 中

45、 的 一 部 分 为 观 测 矩 阵 。 观 测 矩 阵 的 设 计 目 的 是 实 现 信 号 压 缩 ， 并 保 证 从 压 缩 观 测 值 唯 一 恢 复 原 信 号 。 Candes 和 Tao 在 文 献12 中 提 出 ， 对 于 在 变 换 域 内 稀疏的 信号 x ， 如果 观 测矩阵 MN 满足 约 束等距（Restricted Isometry Property ，RIP ） 性 条件， 则 可 以 唯 一 的 恢 复 出 原 信 号 x 。 约 束 等 距 性 就 要 求 感 知 矩 阵 要 维 持 信 号 能 量 在 原 始 域 和 感 知 域 之 间 的 恒 定 性

46、， 即 感 知 矩 阵 要 近 似 保 证 感 知 过 程 不 能 对 信 号 的 能 量 产 生 影 响 。 约 束 等 距 性 的 等 价 条 件 为 观 测 矩 阵 和 稀 疏 基 阵 不 相 关 。 不 相 干 是 指 观 测 矩 阵 的行 向 量 j 与 的 列 向 量 i 不 可 以 相 互 稀 疏 表 示 。 压 缩 感 知 理 论 提 出 在 采 样 的 同 时 进 行 压 缩 ， 不 仅 可 以 降 低 采 样 速 率 ， 同 时 还 减 小 了 数 据 量 ， 缓 解 了 数 据 存 储 传 输 的 压 力 。 Donoho 在文献13 中 提出观测矩阵 应 满足如下三个条

47、件：观测矩阵的列 向 量 构 成 的 子 矩 阵 的 最 小 奇 异 值 大 于 一 定 的 常 数 ； 观 测 矩 阵 的 列 向 量 具 有 独 立 随 机 性 ； 稀 疏 解 为 满 足 最 小 1 范数的向量 14 。 随 机 贝 努 利 矩 阵 ， 随 机 高 斯 矩 阵 ， 部 分 正 交 矩 阵 为 应 用 较 多 的 观测 矩 阵 。 3 、 信 号 重 构 算 法 的 设 计 信 号 重 构 算 法 是 压 缩 感 知 理 论 的 核 心 ， 研 究 如 何 根 据 压 缩 观 测 值 唯 一 恢 复 原 信 号 。 求 解 信 号 x ， 可 以 利用求 解 最 小 0 范

48、 数 的 方 法 解 欠 定 方 程 组 y x 。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 4 - 0 argmin . . x x y x st (1-1) 然 而 ， 即 使 是 信 号 x 具 有 稀 疏 性 ， 测 量 矩 阵 也 具 有 RIP 特 性 ， 式 （1-1 ） 表 示 的 依 然 是 一 个 NP 难 问 题 ， 直 接 求 解 最 优 解 十 分 困 难 。 人 们 不 断 提 出 寻 求 次 最 优解 的 方 法 。 现 有 的 重 构 算 法 都 为 次 最 优 解 法 ， 主 要 有 如 下 三 类 ： 贪 婪 追 踪 算 法 ， 凸 松 弛 法 和 组 合 算

49、法 。 贪 婪 追 踪 算 法 中 最 常 见 的 几 种 算 法 为 匹 配 追 踪 （ Matching Pursuit ， MP ）算法 15 ，正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit ，OMP ） 算 法 16,17 等 算 法 。 压 缩 感 知 理 论 的 应 用 研 究 已 经 涉 及 到 众 多 领 域 ： 无 线 传 感 网 络 、 磁 共 振 成 像(MRI) 、CS 雷达、生物传感等领域。但是，许多这种应用都还只停留在理 论 阶 段 ， 目 前 压 缩 感 知 较 为 典 型 的一种 实 践 应 用 是 莱 斯 大 学 的 单 相 素 相 机 18 ， 另 一 种 实 践 应 用 是 模 拟 信 息