1、第一讲等差数列、等比数列,【知识回顾】1.等差数列(1)通项公式:an=_=am+_.(2)等差中项公式:2an=_(nN*,n2).(3)前n项和公式:Sn=_=_.,a1+(n-1)d,(n-m)d,an-1+an+1,(4)性质(n,m,l,k,p均为正整数):若m+n=l+k,则am+an=_(反之不一定成立);特别地,当m+n=2p时,有am+an=_;若an、bn是等差数列,则kan+tbn(k、t是非零常数)是等差数列;,al+ak,2ap,等差数列的“依次每m项的和”即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等差数列.,2.等比数列(1)等比数列的通项公式:an=_=_.(2)
2、等比中项公式:an2 =_(nN*,n2).(3)等比数列的前n项和公式:Sn=,_(q=1)，_=_,(q1).,a1qn-1,amqn-m,an-1an+1,na1,(4)性质(n,m,l,k,p均为正整数):若m+n=l+k,则aman=_(反之不一定成立);特别地,当m+n=2p时,有aman=_;当n为偶数时, =q(公比);Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,(Sm0)成等比数列.,alak,ap2,【易错提醒】1.忽略条件致误:应用公式an=Sn-Sn-1时忽略其成立的条件n2,nN*.2.不能准确掌握数列的单调性致误:等差数列的单调性只取决于公差d的正负,等比数列的单调性既要考
3、虑公比q,又要考虑首项.,3.忽略对公比的讨论致误:求等比数列的前n项和时,一定要先讨论公比q是否为1,然后选用相应的公式求解.4.注意隐含条件:利用二次函数求an或Sn的最值时,易忽略条件nN*.,【考题回访】1.(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97,【解析】选C.方法一:由题意可知, 解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98.方法二:由等差数列性质可知:S9= =9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d= =1,所以a100=a10+90d=98.,2.(2015全国卷)设Sn是等差数列
4、an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11,【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3a3=1,S5= =5a3=5.,3.(2014全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.,【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比,所以a42=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).,4.(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值
5、是_.,【解析】设等差数列的公差为d,则由S5=10得a3=2,因为a1+a22=-3,所以(2-2d)+(2-d)2=-3,整理解得d=3,所以a9=a3+6d=2+18=20.答案:20,5.(2015全国卷)数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和,若Sn=126,则n=_.,【解析】因为an+1=2an,所以数列an是首项a1=2,公比q=2的等比数列,由Sn=126,可得n=6.答案:6,热点考向一等差(比)数列的基本运算命题解读:主要考查利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式,在这两种数列中的五个基本量的“知三求二”运算以及求最值,以选择题、填空题为主.,【
6、典例1】(1)(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A. B. C.10 D.12,(2)(2016全国卷)设等比数列an满足a1+a3=10, a2+a4=5,则a1a2an的最大值为_.,【解题导引】(1)依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解.(2)先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公式q的方程组,求出a1,q,得到an的通项公式,再将a1a2 an表示为n的函数,进而求最大值.,【规范解答】(1)选B.设等差数列的首项为a1,则S8=8a1+ =8a1+28,S4=4a1+ =4a1+6,因为S8=4S4,即8a1+2
7、8=16a1+24,所以a1= ,则a10=a1+(10-1)d=,(2)由于an是等比数列,设an=a1qn-1,其中a1是首项,q是公比. 所以a1a2an=,当n=3或4时, 取到最小值-6,此时 取到最大值26.所以a1a2an的最大值为64.答案:64,【规律方法】等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组:把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.,【题组过关】1.(2016吕梁一模)已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则 等于 ()A.4B.6C.8D.1
8、0,【解析】选C.设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(2a1+d)2= a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以,2.(2016邯郸一模)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1= ()A.2 B.-2 C. D.-,【解析】选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4,即(a1+a1-1)2=a1 ,解得a1=- .,3.已知数列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),则数列an的前9项和等于_.,【解析】当n2时
9、,an=an-1+ 且a2=a1+ ,所以an是首项为1,公差是 的等差数列,所以S9=91+ =9+18=27.答案:27,【加固训练】1.等差数列an的前n项和Sn,若a1=2,S3=12,则a6=()A.8B.10C.12D.14【解析】选C.由题意得, 解得 所以a6=a1+5d=12.,2.(2016重庆一模)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14【解析】选B.设公差为d,因为a1=2,所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.,3.(2016唐山二模)设x,y,z是实数,若9x,
10、12y,15z成等比数列,且 成等差数列,则 =_.,【解析】由题意知 解得 从而答案:,热点考向二等差(比)数列的性质命题解读:主要考查利用性质求解基本量及前n项和的最值问题,以选择题、填空题为主.,【典例2】(1)(2016长沙一模)等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则S15的值为()A.180B.240C.360D.720,(2)(2016开封一模)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m=()A.3B.4C.5D.6,【解题导引】(1)利用等差数列的性质及前n项和公式求解.(2)根据等比数列的通项公式和前n项和公式,建
11、立方程组即可解得m的值.,【规范解答】(1)选C.因为数列an是等差数列,所以a4+a6+a8+a10+a12=5a8,又因为a4+a6+a8+a10+a12=120,所以5a8=120,S15= =15a8=3120=360.,(2)选C.在等比数列中,因为Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=21-(-11)=32,则公比q= =-2,因为Sm=-11,所以 =-11,又am+1=a1(-2)m=32,两式联立解得m=5,a1=-1.,【规律方法】等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键:抓住项与项之间的关
12、系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)运用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.,【题组过关】1.(2016太原一模)在等差数列an中,有3(a3+a5)+ 2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前13项和为()A.24B.39C.52D.104,【解析】选C.因为3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,利用等差数列的性质可得6a4+6a10=48,所以a1+a13=a4+a10=8,所以S13= =52.,2.设等差数列的公差为d,若数列 为递减数列,则()A.d0B.d0D.a1d0,【
13、解析】选D.由于数列 为递减数列,得 再由指数函数性质得a1ana1an-1,由等差数列的公差为d知,an-an-1=d,所以a1ana1an-1,a1an-a1an-10,所以a1(an-an-1)0,即a1d0,所以a25= .所以a1a2a25a48a49=(a25)5=9 .,4.(2016衡阳二模)设等差数列an的前n项和为Sn,若-a2 0150,且S2 0170C.a2 0150,且a2 0170,【解析】选A.因为-a2 0150,a1+a2 0170,S2 017= 0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项.(1)求数列an,bn的通项公式.,
14、(2)若数列cn对任意nN*,均有 =an+1成立.求证: =2(n2);求c1+c2+c2 015.,【解析】(1)因为a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,所以(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2(因为d0),所以an=1+(n-1)2=2n-1,又因为b2=a2=3,a5=b3=9,所以等比数列bn的公比q= =3,所以bn=b2qn-2=3n-1.,(2)因为 =an+1,所以当n2时, =an,两式相减,得 =an+1-an=2(n2).,由得cn=2bn=23n-1(n2).当n=1时, =a2,所以c1=3不满足上式,所以c1+c2+c2 015=3+231+232+232 014=3+ =3-3(1-32014)=32015.,
