1、武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称 线性代数 专业班级 2005 级本科题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 12 12 40 12 12 12 100备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 )一单项选择题（每小题 3 分，共 12 分）1. 设 均为 阶矩阵，且 ，则必有_；BA,n22)ABAB(A) (B) (C) (D) EE2. 设向量组 线性无关,向量组 线性相关,则以下命题中成321,1234,立的是_；(A) 一定能由 线性表示 (B) 一定能由 线性表示 1432, 2431,(C) 一定能由 线性表示 (D) 一定能由 线性表示4
2、1323. 设 是三元线性方程组 的两个不同的解，且 ，则21, bAx()RAxb的通解为 _； x(A) + (B) 12k12 1212()k(C) (D) 1212()1221()4. 已知 是矩阵 的特征向量，则 _；(,)Tk12Ak(A) 1 或 2 (B) -1 或 -2 (C) -1 或 2 (D) 1 或-2二填空题（每小题 3 分，共 12 分）1. _；03252. 如果 A 是 3 阶可逆矩阵，互换 A 的第一、第二行，得矩阵 B ,且，则 =_；2011 1B3. 设向量 若 线性相关，则123(,)(,0)(1,2)TTTa123,=_；a4. 已知 3 阶方阵
3、A 的特征值为 1、-1、2，则矩阵 的特征值为_；2AE三解答题（每小题 8 分，共 40 分）1. 计算行列式 ；0(2)110nDn2. 设 3 阶方阵 满足方程 ，试求矩阵 ，其中 ；BA， EBA2 B102A3. 设 A 为三阶矩阵且 ，求 ；131*()4. 求向量组 的一个最大无1234(,4),074,(0,12),(,120)TTTT关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；5. 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 ，且对应于特征值为 0 的特123,征向量为 ，求矩阵 A.1(,0)T四(12 分) 设线性方程组为 ，问： 、 分别取何值时，方程组无解、123045x
4、abab有唯一解、有无穷多解？ 并在有无穷多解时求出其通解.五 （12 分）设二次型 = 由正交变换 可化为标准形),(321xf 323121xxPy.求 的值及正交矩阵 P，并判断该二次型的正定性.2321yf六证明题（每小题 6 分，共 12 分）1. 设向量组 线性无关,且 ， ， .试123,1232123123证明向量组 线性无关.2. 若方阵 A、B 满足 .证明 A 可逆，并求 (用 A 的多项式表示). 2,EB且 1武 汉 理 工 大 学 教 务 处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、选择题（每小题 3 分，共 12 分）1.B 2.C 3.B 4
5、.D二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）1.2； 2. ； 3.a=1；1024. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分） 三、解答题（每小题 8 分，共 40 分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有： 12(1)(2)112001()() )nrnnn 1()101011cnnD 4 分 注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。2. 由题，有 2 分EAB)(2且 故 可逆。 2 分20360,42AE2()在等式左右两边左乘 得 2 分1()AE21()()BAE100/()21AE3.解：2 分1113132 *()A,上式
6、 2 分13,A319注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。4.解：令矩阵 ，并通过初等行变化化成最简形，有：1234013(,)72 2 分2 分2 分2 分2 分2 分4 分130103274Ar故向量组 A 的的一个最大无关组为 ， 2 分 124,且 。 2 分3125.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为 2 时所对应的特征向量为则有： 2 分123(,),Tx113,0,xx即其基础解系为 3,TT若矩阵 A 相似与对角矩阵 ，则2相似变换矩阵为 ， 2 分12310,P求得 ， 2 分1/0/由 1 12,PAAP 得 02注：本题也可
7、使用参数法求解，即：设 , 2 分12133a由题意有 2 分1213301a得 ，故矩阵 ,1312313;a121aA由特征值为 2 得 ， 2 分0,AE2代 入 得由特征多项式为 ，比较系数得()12;0a故 A= 2 分102 2 分四(共 12 分)解：线性方程组的系数矩阵为：134,2Aa增广矩阵为： 4 分1300,4125rAbabba:故（1）当 1 分,1,a 方 程 组 无 解 ；(2)当 1 分 时 ， 方 程 组 有 唯 一 解 ；（3）当 2 分2,b 方 程 组 有 无 穷 解 ；当 时，原增广矩阵为 2 分,1a 13013,4250rAb: 其等价方程组为：
8、 ，故其通解为：132x2 分123(,),10TxccR注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：系数行列式为： ，故当5(2)Aa2 时 ， 方 程 组 有 唯 一 解 ；若 a=-2 时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。五 （共 12 分）解： 的矩阵 ，有特征值 故 2 分f 012,13211当 时，解方程组 得方程组的基础解系为：1(),AEx， , 2 分0102正交单位化，有： ， ； 3 分01212162当 时，解方程组 得方程组的基础解系为： 2(),AEx,单位化，得： 2 分1313令 ,故 即为所求的正交变换。 2 分123162, 0PxPy因为矩阵 A 特征值不全为正，故为非正定型（或不定） 。 1 分六 （每小题 6 分，共 12 分）1. 证明：设有 使 ， 2 分321,k123k则有： 13123()()0即： 1231232()kkk由于 线性无关，则必有 2 分321,0321k解得： ，0321k所以， 线性无关。 2 分 ,2. 证明：由 2 分22;()AEBAEAE， 2 分22,30B即 故有： 2 分1(3)-0=(3)2 故 可 逆 ， 且
