1、客房预定的价格和数量问题王光荣摘要：本文通过分析某宾馆 2005 年 10 月至 2010 年 3 月期间标准间月平均价格的价格变动规律，建模并制定未来标准间的参考价格，另外综合预定房间的利和弊，给出一个最好的预订方案，以提高该宾馆的利润。针对问题一本文在分析了该宾馆给出的数据后，发现了下面两个规律：一、 该宾馆的月平均价格总体是随着年份的增加价格在上涨，且成线性增长,这是长期趋势，设为 T。为此，我们给出了模型中的一部分：Y=Ax+B。在这里，A 为增长系数（实际上 A 与一国经济的 CPI 数据有关,不是一个常量，但在本文中，我们为了简化模型及研究的需要，取平均值） ，x 为未来年份减去
2、2005 年的值，B 为常数。这里，有代表性的数据有： 1月份，2006 年为 241, 2007 年为 366,2008 年为 369, 2009 年为 387,2010年为 442。二、 该宾馆在 5 月、8 月、10 月的数据比较异常，因为该宾馆是一个旅游景区中的一个宾馆，再联想到在我国，每年的“五一” 、 “暑假” 、 “十一”是旅游旺季，这是季节变动因素，属偶然性因素,设为 S，所以应该在模型中再加上一项 Q(m)以上的分析既对应该宾馆给出的数据，也对应经济学的经济规律。综上，针对问题一我们构建了时间序列加法模型，即 Y=T+S,即价格是由长期趋势和季节变动因素决定的，在本模型中表现
3、为 Y=Ax+B+Q(m)。其中 Y 为未来参考价格，A 为增长系数，x 为未来年份减去 2005 年的值，B 为常数，Q(m)为季节变动函数。针对问题二不考虑超出客房数的客户出现前，宾馆的利润 y 随预订的客房数 x（x客房总数）的增加而增加，考虑到超过客房数的客户出现后，宾馆要赔偿及承担信誉风险，所以可以考虑用差分方程模型来建立模型。一、 问题重述与分析问题重述略分析：在分析了该宾馆给出的数据，并重点分析了比较有代表性的数字：我们得出了以下结论：一、 该宾馆的月平均价格总体是随着年份的增加价格在上涨，且成线性增长。为此，我们给出了模型中的一部分：Y=Ax+B。在这里，A 为增长系数（实际上
4、 A 与一国经济的 CPI 数据有关,不是一个常量，但在本文中，我们为了简化模型及研究的需要，取平均值） ，x 为未来年份减去 2005 年的值，B 为常数。这里，有代表性的数据有： 1 月份，2006 年为 241, 2007 年为 366,2008 年为 369, 2009 年为 387,2010年为 442。二、 该宾馆在 5 月、8 月、10 月的数据比较异常，因为该宾馆是一个旅游景区中的一个宾馆，再联想到在我国，每年的“五一” 、 “暑假” 、“十一”是旅游旺季，这是季节变动因素，属偶然性因素，所以应该在模型中再加上一项 Q(m)以上的分析既对应该宾馆给出的数据，也对应经济学的经济规
5、律。综上，针对问题一我们构建了时间序列加法模型，即 Y=Ax+B+Q(m)。其中Y 为未来参考价格，A 为增长系数，x 为未来年份减去 2005 年的值，B 为常数，针对问题二不考虑超出客房数的客户出现前，宾馆的利润 y 随预订的客房数 x（x客房总数）的增加而增加，考虑到超过客房数的客户出现后，宾馆要赔偿及承担信誉风险，所以可以考虑用差分方程模型来建立模型。三、 模型假设1、 各影响因素对时间序列的影响是相互独立的；2、 除影响价格最主要的两个因素，即时间因素和季节因素外其他因素忽略不计。3、 已定客房人按时入住客房时相互独立的随机事件；4、 令 C 为某宾馆客房循环一天的费用（包括宾馆客房
6、的清洁和保养费、客房设备的管理费和饭店服务员的工资等） ，这家宾馆客房住满与否与 C 无关，故C 可被看做定值；5、 超出客房数的客户出现时，宾馆只通过赔款来解决纠纷，不考虑升级客房档次；6、 所给的数据准确。四、 符号说明A：年平均价格增长率；B：为常数，在本模型中取 2005 年的值；Y：预期价格；m：即季节因素，值为 0、1、2，分别代表“五一 ”、 “暑假” 、 “十一”,对应三个分段函数；Q：针对 m 的具体值有相应的 Q 值；P：一个已订客房的客人按时入住的概率；q：未能按时入住的概率；x：宾馆预订出的客房间数；z：未能按时入住的人数；Pz：x 个人中有 z 个人未能按时入住的概率
7、；M：宾馆的可预订客房数；f：一个客户所付的预订费；y：宾馆循环一天的利润；C：某宾馆客房循环一天的费用（定值） ；D：每一位预订客房而被挤掉的客户所得的补偿费。五、 模型建立和求解问题一根据某宾馆 2005 年 10 月2010 年 3 月标准间月平均价格的数据，作出各年的标准间月平均价格随时间变化图，如下：图 1 某宾馆 2005 年 10 月2010 年 3 月标准间月平均价格图图 2 某宾馆 2006 年2009 年标准间平均价格随月份变化图图 3 该宾馆 2006 年2009 年 4 年标准间总体变化图观察图一可以明显地看出，该宾馆 2005 年 10 月2010 年 3 月标准间月
8、平均价格总体持续上升，具有长期趋势，另外，观察图 2 可以明显地看出，各年同月份都有所降低或升高，具有季节变化，由此可知符合时间序列分析模型。为此可以通过构建时间序列模型来表示 2005 年2010 年标准间平均价格随月份变化情况，并且可以用来预测未来标准间月平均价格。在仔细分析图 2 后，我们还发现，2006 年2009 年每年的季节变化具有共同趋势，所以我们把四年的同月份价格相加再除以 4，得到图 3，以图 3 为原型，可以建立 Q(m)的模型。1、 模型建立在一个时间序列中，有长期的起决定性作用的因素，也有临时的起非决定性作用的因素；有可以预知和控制的因素，也有不可预知和不可控制的因素，
9、这些因素相互作用和影响，从而使时间序列变化趋势呈现不同的特点。影响时间序列的因素大致可以分为两种：长期趋势、季节变动。时间序列各影响因素之间的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成时间序列的分解模型，我们可以从时间序列的分解模型中将各因素分离出来并进行测定，了解各因素的具体作用如何。本文采用加法模型来描述时间序列的构成。加法模型的表达式为：Y=T+S式中 Y 表示时间序列的指标数值，在本实例中表现为价格； T 为长期趋势，在本实例中经分析得出呈线性规律，表现为 Ax+B；S 为季节变化、表现为 Q(m)，在本实例中经分析得，为一个分段函数。1. 长期趋势分析长期趋势是时间序列中主要的构成因素，
10、它是指现象在一段时期内持续上升或下降的发展趋势。时间序列的长期趋势可表现为线性趋势和非线性趋势，非线性趋势可以理解为无数线性趋势的组合，在研究方法上基于线性趋势分析方法。在本实例中用的方法是最小二乘法，求出 A、B 的值（由于接触数学建模不久，这个方法正在学，不很懂，就不写了） ，参考网上的资料，得A=3.5614232509，B=317.990523245。2. 季节变化分析经仔细研究图 3 我们发现，季节变化趋势为一个分段函数，具体分析见下页。问题二该模型应该可以用差分或是微分方程模型。当预订所取得的收益减去赔偿及名誉损失收益最大时应该就是利润最大的时候（导数=0） ，在推导过程中要用到统
11、计学及概率论知识，我能推导出来，但 word 编辑公式太麻烦了，时间来不及了，见谅。六、 模型检验2005 年 10 月2010 年 3 月该宾馆标准间实际价格同预测价格比较图如下：图 4 2005 年 10 月2010 年 3 月该宾馆标准间实际价格同预测价格比较图在加入季节变化因素后预测值和实际价格比较图如下：图 5 加入季节变化因素后预测值和实际价格比较图七、 模型优缺点（1） 利用本文的时间序列加法模型可以短期预测未来值，并且误差在可以接受的范围内；（2） 该模型可应用的范围很广；（3） 该模型在前人的基础上对模型进行了改进使得该模型更好的反映客观现象；（4） 本文没有对宾馆的客房进行分级，还有待改进；（5） 本文的时间序列加法模型简单，易操作。八、 参考文献无
