1、线性代数的起源发展及其意义线 性 代 数 是 处 理 矩 阵 和 向 量 空 间 的 数 学 分 支 ， 在 现代 科 学 的 各 个 领 域 都 有 应 用 。 由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888 年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖
2、于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉” ，直到 1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学” ，之后一直沿用。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今
3、天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数，非线性（non-linear）则指不
4、按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现 代 线 性 代 数 已 经 扩 展 到 研 究 任 意 或 无 限 维 空 间 。作 为 证 明 定 理 而 使 用 的 纯 抽 象 概 念 ， 向 量 空 间 （ 线 性 空 间 ）属 于 抽 象 代 数 的 一 部 分 ， 而 且 已 经 非 常 好 地 融 入 了 这 个 领域 。 一 些 显 著 的 例 子 有 ： 不 可 逆 线 性 映 射 或
5、矩 阵 的 群 ， 向量 空 间 的 线 性 映 射 的 环 。 线 性 代 数 也 在 数 学 分 析 中 扮 演 重要 角 色 ， 特 别 在 向 量 分 析 中 描 述 高 阶 导 数 ， 研 究 张 量 积和 可 交 换 映 射 等 领 域 。 向 量 空 间 是 在 域 上 定 义 的 ， 比 如 实数 域 或 复 数 域 。 线 性 算 子 将 线 性 空 间 的 元 素 映 射 到 另 一 个线 性 空 间 （ 也 可 以 是 同 一 个 线 性 空 间 ） ， 保 持 向 量 空 间 上加 法 和 标 量 乘 法 的 一 致 性 。 所 有 这 种 变 换 组 成 的 集 合
6、本 身也 是 一 个 向 量 空 间 。 如 果 一 个 线 性 空 间 的 基 是 确 定 的 ， 所有 线 性 变 换 都 可 以 表 示 为 一 个 数 表 ， 称 为 矩 阵 。 对 矩 阵 性质 和 矩 阵 算 法 的 深 入 研 究 （ 包 括 行 列 式 和 特 征 向 量 ） 也 被认 为 是 线 性 代 数 的 一 部 分 。 我 们 可 以 简 单 地 说 数 学 中 的 线性 问 题 -那 些 表 现 出 线 性 的 问 题 是 最 容 易 被 解 决的 。 比 如 微 分 学 研 究 很 多 函 数 线 性 近 似 的 问 题 。 在 实 践 中与 非 线 性 问 题
7、的 差 异 是 很 重 要 的 。 线 性 代 数 方 法 是 指 使 用线 性 观 点 看 待 问 题 ， 并 用 线 性 代 数 的 语 言 描 述 它 、 解 决 它（ 必 要 时 可 使 用 矩 阵 运 算 ） 的 方 法 。 这 是 数 学 与 工 程 学 中最 主 要 的 应 用 之 一 。而 我 们 现 在 学 的 线 性 代 数 主 要 分 为 行 列 式 ， 矩 阵 ， 线性 方 程 组 ， n 维 向 量 空 间 ， 矩 阵 相 似 对 角 形 ， 二 次 型 及 线性 变 换 。在 线 性 代 数 中 ， 线 性 方 程 组 是 基 础 部 分 ， 也 是 一 个 重要
8、部 分 。 行 列 式 是 研 究 线 性 方 程 组 的 一 个 重 要 工 具 。 它是 人 们 从 解 方 程 组 的 需 要 中 建 立 起 起 来 的 ， 它 在 数 学 本 身及 其 他 科 学 分 支 （ 如 ： 物 理 学 ， 力 学 等 ） 中 都 有 广 泛 的 应用 ， 已 经 成 为 近 代 数 学 和 科 技 中 不 可 缺 少 的 工 具 之 一 。 矩阵 是 从 许 多 实 际 问 题 中 抽 象 出 来 的 一 个 数 学 概 念 ， 是 线 性代 数 的 重 要 内 容 之 一 ， 它 贯 穿 线 性 代 数 的 各 个 部 分 。 矩 阵是 许 多 学 科
9、中 常 用 的 数 学 工 具 ， 它 在 自 然 学 科 、 工 程 技 术和 国 民 经 济 的 许 多 领 域 中 都 有 着 广 泛 应 用 。 线 性 方 程 组的 理 论 在 线 性 代 数 中 起 着 重 要 作 用 。 事 实 上 ， 线 性 代 数 的许 多 问 题 都 相 当 于 研 究 线 性 方 程 组 。 如 线 性 方 程 组 的 克 莱姆 法 则 ， 其 法 则 的 使 用 是 有 条 件 的 ： （ 1） 未 知 量 的 个 数与 方 程 个 数 相 等 ； （ 2） 系 数 行 列 数 不 等 于 零 。 可 是 在 许多 问 题 中 所 遇 到 的 方 程
10、组 并 不 满 足 上 述 两 个 条 件 。 这 就 促使 我 们 有 必 要 进 一 步 讨 论 一 般 的 线 性 方 程 组 。 在 许 多 实 际问 题 的 研 究 中 ， 常 需 要 将 一 个 矩 阵 化 为 相 似 对 角 形 的 问 题 。二 次 型 起 源 于 解 析 几 何 中 化 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 方 程 为标 准 形 的 问 题 。 它 的 理 论 在 数 学 、 物 理 及 其 他 许 多 学 科 中都 有 重 要 应 用 。 变 换 是 数 学 上 的 一 个 重 要 且 有 用 的 概 念 ，线 性 变 换 同 向 量 空 间 一 样 是 线 性 代 数 的 核 心 内 容 ， 它 是 反映 线 性 空 间 元 素 之 间 最 基 本 的 线 性 关 系 。高 等 数 学 是 理 工 科 、 经 济 、 农 类 乃 至 部 分 文 科 专 业 的公 共 基 础 课 ， 线 性 代 数 是 高 等 数 学 的 重 要 组 成 部 分 ， 其 主要 内 容 都 是 信 息 时 代 各 类 人 才 应 该 掌 握 的 基 本 工 具 。 所以 我 们 要 好 好 学 习 这 门 课 ， 好 好 利 用 线 性 代 数 。
