1、探索实验 素数一 实验指导书解读如果一个大于 1 的自然数只能被 1 及它本身整除，则该数称为素数，否则称为合数。从数学史的黎明时期开始，数学家们就一直在探索自然数的奥秘。远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分析师唯一的，这就是所谓的算术基本定理。算术基本定理表明，素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。正是由于素数如此重要的地位才使得一代一代数学家努力地探索素数的规律。素数到底是什么？会不会在某一充分大的自然数以后就没有素数呢？通过本章探究实验，我们需要知道素数怎么判别，有什么方法几种方法判别？到底有没有一个明确的判别
2、素数的准则。对于一些特殊的数，我们又有什么特殊的方法判别呢？然后我们需要解决怎样求解小于某一给定整数 N 的所以素数的方法，即素数的求解关于素数的求解，我们通过 Eratosthenes 筛法和试除法验证求解。Eratosthenes 筛法的基本思想是：将自然数列从 2 开始按顺序排列至某一整数N，首先，从上述数列中划去所以 2 的倍数（不包括 2） ，在剩下的数里，从数列中划掉 3 的倍数（不包括 3） ，然后再剩下的数中，再划去 5 的倍数。 。 。 。 。这个过程一直进行下去，则最后剩下的数就是不超过 N 的所有素数。试除法的基本思想是：假设我们已经找到了前 n 个素数 p1,p2,.p
3、n,为了寻找下一个素数我们从 pn+2 开始一次检验每一个整数 N，看 N 是否能被某个pi（i=1,2,n ）整除。如果 N 能被前面的某个素数整除，则 N 为合数。否则 N 为下一个素数。虽然这两种方法都能求解问题，但是哪一个更有效呢？它们又有什么缺陷呢？从理论上来说，这两种方法可以求出所有的素数，但是经过试验我们会发现它们不能构造出大的素数表，那我们经过试验探索，又能得到什么更好的方法呢？接下来我们需要考虑的问题就是怎么生成素数，我们能否找到一个正好生成全部素数的公式。求解了素数的判别生成，那到底素数是不是有规则，有什么特殊的规则呢？二 试验计划练习一 素数的判别（1）NumPn_Int
4、eger:=Modulei,Num,Num=ProductPrimei,i,1,n+1;Printn,“ “,Num,“ “,PrimeQ Num,“ “,FactorIntegerNumDoNumPn,n,1,20实验思路：取 n=1,2,20,判断 Nn 是否为素数；取 n=2025 时呢？进一步猜测素数是否有无穷多个。若 Nn 不是素数，Nn 是否含有不同的素因子？（2）Mn_Integer:=Moduley,k,m=2;k=m(n-1);x=Modk,n;Printn,“ “,PrimeQn,“ “,x,“ “,GCDm,nDoMn,n,2,200实验思路：其中此程序中 m 取 2，观
5、察余数，能得出什么结论。当 m 取 3,4,5,时，观察余数，我们得出什么结论？若再取一系列的数，我们是否还能得到相同的结论？练习二 素数的求解Eratosthenes 筛法Sieven_Integer:=Modulet=,i,temp,Fori=2,i=n,i+,AppendTot,i;Fori=1,Primei=Sqrtn,i+,temp=Primei;t=Selectt,(#1=temp|Mod#1,temp!=0)tSieve10000试除法DivPrimen_Integer:=Modulet=,i,j,temp,divided,Fori=2,i=n,i+,j=1;divided=Fa
6、lse;WhilePrimej=Sqrtidivided=(Modi,temp=0);j=j+1;If!divided,AppendTot,i; tDivPrime1000实验思路：分别用 Eratosthenes 筛法和试除法两种方法求 10000 以内的所以素数，然后将两种方法比较，看哪一种更有效些练习三 素数的生成Fermat 公式生成素数Fermatn_Integer:=Modulem,m=2(2(n)+1;Printn,“ “, PrimeQm DoFermatn ,n,1,10 公式n2 + n +41;生成素数t=0;Eun_Integer :=Moduley ,y= n2 +
7、n +41; IfPrimeQyTrue, t=t+1;DoEun ,n,1,100 Printt 实验思路：,Fermat公式能否生成所以素数，取n=1,2,3,4验证，再取n=5,6,7,8,9,10等验证,Fermat公式只能生成有限个素数，那么特殊公式是否都能生成素数？在10000以内的素数中，此公式能给出多少？,对公式n2 -79n +1601 和 6*n2 +6 n +31做与上述相同的判别,根据上述三个实验过程，能否自己推导出一个类似的公式，根据以上的实验你能得出什么结论？ 练习四 素数的分布 t:=Tablei,PrimePi 2i+100-PrimePi2i,i,1,40Li
8、stPlott,PlotStyleRGBColor0,0,1,PlotJoinedTruet:=Tablei,PrimePi 2i+1000-PrimePi2i,i,1,40ListPlott,PlotStyleRGBColor0,0,1,PlotJoinedTrue实验思路：根据上述程序，改变相应变量的值或范围，依次进行以下实验。用 (n)表示不超过 n 的素数的个数，(m,n)表示区间m,n内素数的个数。试计算 (100), (1000),(10000) ，从计算结果看，我们得出什么结论。随着整数范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？选取一些更长的区间，再尝试以上同样的实验，看有什么结果
9、。试计算 (100,200), (1000,1100),(10000,10100), (100000,100100) ，从计算结果看，我们能得出什么结论。随着整数范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？选取一些更长的区间，再尝试以上同样的实验，看有什么结果。从上述两个实验计算结果观察，随着整数范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密？试着再选取一些更长的区间，再尝试以上同样的实验，看有什么结果t:=Table Primei+1-Primei ,i,1,1000Tt:=TablePrimei,Primei+1-Primei,i,1,1000ListPlott,PlotStyleRGBColor1,
10、0,0实验思路：根据上述程序，改变相应变量的值，依次进行以下实验。1 N 取 1000，将素数按从小到大的顺序排列：p1=2,p2=3,用dn=p(n+1)-pn 表示相邻素数间的间隔，将其表示出来，你能从中观察到素数的间隔有什么规律吗？2 计算 d1,d2,dn,然后将点(pn,dn) 标在平面坐标中。你能从中观察到素数的间隔有什么规律吗？譬如，素数的间隔值有哪些？它们各重复多少次？哪些间隔值的重复次数多？最大最小值是多少？随着 N的增大，最大间隔值是否也随之增大呢？ 三 实验过程与结果练习一 1素数的判别（1）NumPn_Integer:=Modulei,Num,Num=ProductPr
11、imei,i,1,n+1;Printn,“ “,Num,“ “,PrimeQ Num,“ “,FactorIntegerNumDoNumPn,n,1,201 3 True 3,12 7 True 7,13 31 True 31,14 211 True 211,15 2311 True 2311,16 30031 False 59,1,509,17 510511 False 19,1,97,1,277,18 9699691 False 347,1,27953,19 223092871 False 317,1,703763,110 6469693231 False 331,1,571,1,3423
12、1,111 200560490131 True 200560490131,112 7420738134811 False 181,1,60611,1,676421,113 304250263527211 False 61,1,450451,1,11072701,114 13082761331670031 False 167,1,78339888213593,115 614889782588491411 False 953,1,46727,1,13808181181,116 32589158477190044731 False 73,1,139,1,173,1,18564761860301,11
13、7 1922760350154212639071 False 277,1,3467,1,105229,1,19026377261,118 117288381359406970983271 False 223,1,525956867082542470777,119 7858321551080267055879091 False 54730729297,1,143581524529603,120 557940830126698960967415391 False 1063,1,303049,1,598841,1,2892214489673,1实验结果：当 n=1,2,3,4,5 时，Nn 为素数，
14、n=6 到 20 时，Nn 是合数。NumPn_Integer:=Modulei,Num,Num=ProductPrimei,i,1,n+1;Printn,“ “,Num,“ “,PrimeQ Num,“ “,FactorIntegerNumDoNumPn,n,20,2520 557940830126698960967415391 False 1063,1,303049,1,598841,1,2892214489673,121 40729680599249024150621323471 False 2521,1,16156160491570418147806951,122 3217644767
15、340672907899084554131 False 22093,1,1503181961,1,96888414202798247,123 267064515689275851355624017992791 False 265739,1,1004988035964897329167431269,124 23768741896345550770650537601358311 False 131,1,1039,1,2719,1,64225891884294373371806141,125 2305567963945518424753102147331756071 False 2336993,1,
16、13848803,1,71237436024091007473549,1实验结果:当 n=20,21,22,23,24,25 时， Nn 为合数。实验结论：Nn 是否为素数分部并不均匀，没有规律性，所以猜测素数有无穷多个。Nn 不是素数，但是 Nn 含有不同的素因子(2) 当 m=2的情况 Mn_Integer:=Moduley,k,m=2;k=m(n-1);x=Modk,n;Printn,“ “,PrimeQn,“ “,x,“ “,GCDm,nDoMn,n,2,1002 True 0 23 True 1 14 False 0 25 True 1 16 False 2 27 True 1 18
17、 False 0 29 False 4 110 False 2 211 True 1 112 False 8 213 True 1 114 False 2 215 False 4 116 False 0 217 True 1 118 False 14 219 True 1 120 False 8 221 False 4 122 False 2 223 True 1 124 False 8 225 False 16 126 False 2 227 False 13 128 False 8 229 True 1 130 False 2 231 True 1 132 False 0 233 Fals
18、e 4 134 False 2 235 False 9 136 False 32 237 True 1 138 False 2 239 False 4 140 False 8 241 True 1 142 False 32 243 True 1 144 False 8 245 False 31 146 False 2 247 True 1 148 False 32 249 False 15 150 False 12 251 False 4 152 False 8 253 True 1 154 False 14 255 False 49 156 False 16 257 False 4 158
19、False 2 259 True 1 160 False 8 261 True 1 162 False 2 263 False 4 164 False 0 265 False 16 166 False 32 267 True 1 168 False 8 269 False 4 170 False 22 271 True 1 172 False 32 273 True 1 174 False 2 275 False 34 176 False 8 277 False 9 178 False 32 279 True 1 180 False 48 281 False 40 182 False 2 28
20、3 True 1 184 False 32 285 False 16 186 False 2 287 False 4 188 False 40 289 True 1 190 False 32 291 False 64 192 False 8 293 False 4 194 False 2 295 False 54 196 False 32 297 True 1 198 False 58 299 False 58 1100 False 88 2实验结果：对于n 从2 到100这么多数中，含有True的都为素数，而且对于这些素数，2（n-1） （除了2）被n整除所得余数都为1当m=3 的情况Mn_
21、Integer:=Moduley,k,m=3;k=m(n-1);x=Modk,n;Printn,“ “,PrimeQn,“ “,x,“ “,GCDm,nDoMn,n,2,1002 True 1 13 True 0 34 False 3 15 True 1 16 False 3 37 True 1 18 False 3 19 False 0 310 False 3 111 True 1 112 False 3 313 True 1 114 False 3 115 False 9 316 False 11 117 True 1 118 False 9 319 True 1 120 False 7
22、121 False 9 322 False 3 123 True 1 124 False 3 325 False 6 126 False 3 127 False 0 328 False 27 129 True 1 130 False 3 331 True 1 132 False 11 133 False 9 334 False 3 135 False 4 136 False 27 337 True 1 138 False 3 139 False 9 340 False 27 141 True 1 142 False 33 343 True 1 144 False 27 145 False 36
23、 346 False 3 147 True 1 148 False 27 349 False 43 150 False 33 151 False 9 352 False 27 153 True 1 154 False 27 355 False 4 156 False 3 157 False 9 358 False 3 159 True 1 160 False 27 361 True 1 162 False 3 163 False 9 364 False 43 165 False 16 166 False 45 367 True 1 168 False 27 169 False 9 370 Fa
24、lse 13 171 True 1 172 False 27 373 True 1 174 False 3 175 False 69 376 False 27 177 False 25 178 False 9 379 True 1 180 False 27 181 False 0 382 False 3 183 True 1 184 False 75 385 False 81 186 False 3 187 False 9 388 False 75 189 True 1 190 False 63 391 False 1 192 False 27 193 False 9 394 False 3
25、195 False 24 196 False 75 397 True 1 198 False 59 199 False 27 3100 False 67 1实验结果：对于n 从2 到100这么多数中，含有True的都为素数，而且对于这些素数，3（n-1） （除了素数3）被n整除所得余数都为 1当m=4 时的情况Mn_Integer:=Moduley,k,m=4;k=m(n-1);x=Modk,n;Printn,“ “,PrimeQn,“ “,x,“ “,GCDm,nDoMn,n,2,1002 True 0 23 True 1 14 False 0 45 True 1 16 False 4 27
26、 True 1 18 False 0 49 False 7 110 False 4 211 True 1 112 False 4 413 True 1 114 False 4 215 False 1 116 False 0 417 True 1 118 False 16 219 True 1 120 False 4 421 False 16 122 False 4 223 True 1 124 False 16 425 False 6 126 False 4 227 False 7 128 False 8 429 True 1 130 False 4 231 True 1 132 False
27、0 433 False 16 134 False 4 235 False 11 136 False 16 437 True 1 138 False 4 239 False 16 140 False 24 441 True 1 142 False 16 243 True 1 144 False 20 445 False 16 146 False 4 247 True 1 148 False 16 449 False 29 150 False 44 251 False 16 152 False 12 453 True 1 154 False 34 255 False 36 156 False 32
28、 457 False 16 158 False 4 259 True 1 160 False 4 461 True 1 162 False 4 263 False 16 164 False 0 465 False 61 166 False 34 267 True 1 168 False 64 469 False 16 170 False 64 271 True 1 172 False 16 473 True 1 174 False 4 275 False 31 176 False 64 477 False 4 178 False 10 279 True 1 180 False 64 481 F
29、alse 61 182 False 4 283 True 1 184 False 16 485 False 1 186 False 4 287 False 16 188 False 16 489 True 1 190 False 34 291 False 1 192 False 64 493 False 16 194 False 4 295 False 66 196 False 64 497 True 1 198 False 32 299 False 97 1100 False 44 4实验结果：对于n 从2 到100这么多数中，含有True的都为素数，而且对于这些素数，4（n-1） （除了素
30、数2）被n整除所得余数都为 1当m=5 时情况Mn_Integer:=Moduley,k,m=5;k=m(n-1);x=Modk,n;Printn,“ “,PrimeQn,“ “,x,“ “,GCDm,nDoMn,n,2,1002 True 1 13 True 1 14 False 1 15 True 0 56 False 5 17 True 1 18 False 5 19 False 7 110 False 5 511 True 1 112 False 5 113 True 1 114 False 5 115 False 10 516 False 13 117 True 1 118 Fals
31、e 11 119 True 1 120 False 5 521 False 4 122 False 5 123 True 1 124 False 5 125 False 0 526 False 5 127 False 16 128 False 13 129 True 1 130 False 5 531 True 1 132 False 13 133 False 25 134 False 5 135 False 30 536 False 29 137 True 1 138 False 5 139 False 25 140 False 5 541 True 1 142 False 17 143 T
32、rue 1 144 False 37 145 False 25 546 False 5 147 True 1 148 False 29 149 False 43 150 False 25 551 False 25 152 False 21 153 True 1 154 False 11 155 False 20 556 False 5 157 False 25 158 False 5 159 True 1 160 False 5 561 True 1 162 False 5 163 False 25 164 False 13 165 False 40 566 False 23 167 True
33、 1 168 False 57 169 False 25 170 False 55 571 True 1 172 False 29 173 True 1 174 False 5 175 False 25 576 False 49 177 False 16 178 False 5 179 True 1 180 False 45 581 False 16 182 False 5 183 True 1 184 False 17 185 False 30 586 False 5 187 False 25 188 False 69 189 True 1 190 False 65 591 False 64
34、 192 False 33 193 False 25 194 False 5 195 False 55 596 False 77 197 True 1 198 False 33 199 False 70 1100 False 25 5实验结果：对于n 从2 到100这么多数中，含有True的都为素数，而且对于这些素数，5（n-1） （除了素数5）被n整除所得余数都为 1实验小结：根据上述m取2,3,4,5进行实验，观察余数，得出以下结论 当m取偶数时，m （ n-1） （除了素数2）被n整除所得余数为1 当m取奇数时，m （ n-1） （除了素数m本身）被 n整除所得余数为1 当n为素数时，程
35、序里含有True练习二 素数的求解Eratosthenes 筛法Sieven_Integer:=Modulet=,i,temp,Fori=2,i=n,i+,AppendTot,i;Fori=1,Primei=Sqrtn,i+,temp=Primei;t=Selectt,(#1=temp|Mod#1,temp!=0)tSieve100002,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,
36、179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,
37、641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,1019,1021,1031,1033,1039,1049,1051,1061,1063,1069,1087,1091,1093,1097,1103,110
38、9,1117,1123,1129,1151,1153,1163,1171,1181,1187,1193,1201,1213,1217,1223,1229,1231,1237,1249,1259,1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,1303,1307,1319,1321,1327,1361,1367,1373,1381,1399,1409,1423,1427,1429,1433,1439,1447,1451,1453,1459,1471,1481,1483,1487,1489,1493,1499,1511,1523,1531,1543,1549,1553,155
39、9,1567,1571,1579,1583,1597,1601,1607,1609,1613,1619,1621,1627,1637,1657,1663,1667,1669,1693,1697,1699,1709,1721,1723,1733,1741,1747,1753,1759,1777,1783,1787,1789,1801,1811,1823,1831,1847,1861,1867,1871,1873,1877,1879,1889,1901,1907,1913,1931,1933,1949,1951,1973,1979,1987,1993,1997,1999,2003,2011,201
40、7,2027,2029,2039,2053,2063,2069,2081,2083,2087,2089,2099,2111,2113,2129,2131,2137,2141,2143,2153,2161,2179,2203,2207,2213,2221,2237,2239,2243,2251,2267,2269,2273,2281,2287,2293,2297,2309,2311,2333,2339,2341,2347,2351,2357,2371,2377,2381,2383,2389,2393,2399,2411,2417,2423,2437,2441,2447,2459,2467,2473,2477,2503,2521,2531,2539,2543,2549,2551,2557,2579,2591,2593,2609,2617,2621,2633,2647,2657,2659,2663,2671,2677,2683,2687,2689,2693,2699,2707,2711,2713,2719,2729,2731,2741,2749,2753,2767,2777,2789,2791,2797,2801,2803,2819,2833,2837,2843,285
