1、1数形结合思想在解题中的应用教学目标：1利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率.2增养学生问题转化的意识.重点：“以形助数” ，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识.难点：由数到形的转化.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.数形结合思想常常利用到的数学模型有
2、：（1）函数的图象， （2）斜率公式，截距（3）两点间距离公式， （4）点到直线的距离，（5）单位圆，韦恩图，数轴.题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】例 1. 若关于 的方程 的两根分布在 的两侧，求 的取值范围.xkx2300xk解：由 的图象可知，要使两根在 的两侧yfx()kx320x只需 解得 ，故0k)0,(说明： ，其图象与 轴交点的横坐标就是方程 的根，根据xfx()函数图象的性质可以得出对应的方程情况。例 2. 已知 ，则方程 的实根个数为（ ）1aaxa|log|A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个解：判断方程的根的
3、个数就是判断 图象的交点yxxa|l|与个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选 B.2变式 1：方程 的解的个数为_.)10(2axa且题型二：利用数形结合法解决不等式问题例 3不等式 的解集是_.解：令 ， ，则不等式21xyxy的解就对应于：函数 的图象在 上方的图象1xyxy2的部分在 轴上的射影.如图，不等式的解集为 .2x变式: 对一切实数 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.,xmx21题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题例 4. 如果实数 满足 ，则 的最大值为（ ） xy， ()y23yxA. B. C. D. 123解：等式 有明
4、显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()xy2，半径 ， （如图） ，而 则表示圆上的点 与坐标原点0， ryx0()xy，（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点 在以（2，0）A为圆以 3为半径的圆上移动，求直线 的斜率的 最大值，由OA3图可见，当点 在第一象限，且与圆相切时， 的斜率最大，经简单计算，得最大值为AOA.360tan变式 1. 求函数 的值域.2cosixyn变式 2. 已知 满足 的最大值与最小值.xy、 yx21653， 求说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代
5、数和几何的相互联系.课堂小结：本节课学习了一个思想，即数形结合思想三种题型 中 的 应 用数 形 结 合 思 想 在 求 最 值 中 的 应 用数 形 结 合 思 想 在 不 等 式 的 应 用数 形 结 合 思 想 在 方 程 中实现数形结合，常常涉及以下内容：1.实数与数轴上的点的对应关系；2.函数与图象的对应关系；3.曲线与方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等；5.所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练
6、，以提高解题能力和速度.作业：1. 若集合 ，集合 ，且Mxy()|cosin()， 30Nxyb()|，则 的取值范围为_。Nb2. 点 是椭圆 上一点，它到其中一个焦点 的距离为 2， 为 的中点，2516F1MF1表示原点，则 （ ）O|A. B. C. 4 D. 8323. 双曲线 C 的两个焦点是 F1、F 2，双曲线上任意一点 P，过 F2 作F 1PF2 的平分线的垂线4平分线交于 M，则 M 的轨迹是（ ）A. 圆 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线【针对训练】一. 选择题：1. 方程 的实根的个数为（ ）lgsinxA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2
7、. 函数 的图象恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）yaxa|与 aA. B. ()， ()1，C. D. )， ，1()， ，13. 设命题甲： ，命题乙： ，则甲是乙成立的（ ）03|x4A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件4. 若不等式 的解集为 ，且 ，则 的值xa()0mxn|a2为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 若 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）()， ()logxa12aA. B. C. D. 0， ， (， 12，6. 定义在 上的函数 在 上为增函数，且函数 的图象的Ryf， yfx()对称轴为
8、 ，则（ ）xA. B. ff()13ff()03C. D. 2二. 填空题：7. 若 对任意实数 ，都有 ，则 ，fxbc()2tftft()()2f()13， 由小到大依次为_.f48. 若关于 的方程 有四个不相等的实根，则实数 的取值范围为xm245| m_.9. 函数 的最小值为_.y261310. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是xyx2_.三. 解答题：11. 若方程 在 上有唯一解，求 的取值范围.lg()lg()m2303， m12. 若不等式 的解集为 ，且 ，求 的取值范围.41xaxAx|02a13. 设 ，试求下述方程有解时 的取值范围： a01
9、且 klog()log()aaxkx225【试题答案】一. 选择题：1. C 解：画出 在同一坐标系中的图象即可。确定 lgx=1 的解为yxsinlg，x=10，y=lgx 在(0，+)内递增， ，所以 和 的图象应5sin12xsinylg该有三个交点。 O-34=2. D 解：画出 的图象.yaxa|与 0k1(a)x=-y|+情形 1：a1情形 2：03. A 解：命题甲： ，命题乙：-3 ，由甲可以得出乙，反之不成立3x4. B 解：画出 的图象，依题意， ，从而yayx， man，由a02或 02， 取6xy0n= +a-m5. C 解：令 ，若 ，两函数图象如下图（一）所示，显y
10、xyxa12()log， 1然当 时，要使 ，只需使 ，即 。x()， 1()22a综上可知，当 时，不等式 对 恒成立a()logxa()，若 ，两函数图象如右图（二）所示，显然当 时，不等式01a x()12，恒不成立。()logxx26. A 解：的图象是由 的图象向左平移 2 个单位而得到的，又知 的图象关f() fx()于直线 （即 轴）对称，故可推知， 的图象关于直线 对称，由 在yf()f上为增函数，可知 在 上为减函数，依此易比较函数值的大小。()， x， 二. 填空题：7. 解： ff()()143由 知， 的图象关于直线 对称，又tt2xx2为二次函数，其图象是开口向上的抛
11、物线，由 的图象，易知fxbc( fx()的大小。f)()3， ，78. 解： m()15，设 画出两函数图象示意图，要使方程 有四yxym224|， xm245|个不相等实根，只需使 9. 解：最小值为 13对 ，联想到两点的距离公式，xxx2222110()()()它表示点 到（1，0）的距离； 表示点()， x26313()到点（3，3）的距离，于是 表示动点， y226到两个定点（1，0） ， （3，3）的距离之和，结合图形，易得 。x， ymin10. 解： m(21，表示倾角为 ，纵截距为 的直线族，而 则表示以yx45myx12（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在 轴上方的部分
12、（包括圆与 轴的交点）如下图所示，x显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距 ，即)，8m(21，三. 解答题：11. 解：原方程等价于xmxxxm22 223003304则上述不等式组在 上只有一个解。)，令 在同一坐标系内，画出它们的图象。yxym1224，其中注意 ，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当 或 时，原方程有唯一解，因此 的取值范围为10m30， 说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。12. 解：令 ，其中 表示以（2，0）为圆yxyax1241， ()yx14心，以 2 为半径的圆在 轴的上方的部分（包括圆与 轴的交点） ，如下图所示，表示过原点的直线系，不等式 的解即是两函数图象中ya() 42a()半圆在直线上方的部分所对应的 值，由于不等式解集 ，因此只需要A|129的取值范围为a()2， 13. 解：将原方程化为 log()logaaxkx2，且xak200，令 ，它表示倾角为 的直线系，y1 45y1令 ，它表示焦点在 轴上，顶点为 的等轴双曲线22x()()a， ， ， 0在 轴上方的部分， y0原方程有解两个函数的图象有交点，由下图知 或akkkk1或的取值范围为()(， ，10x-a
