1、1古塔的变形山东省莱阳市第一中学 63 级 21 班 徐佳庆指导老师 姜成功摘要 本文对古塔的各层中心坐标，倾斜、弯曲、变形问题，采用数据插值、最小二乘法、回归分析法及 Excel 软件与 Matlab 软件，进行求解，具体步骤如下：1第 13 层中第 5 个观测点空白数据处理对 1986 年和 1996 年，第 13 层中第 5 个观测点进行了估计，采用数据插值方法中的 3 次样条插值，算出 1986 年 数据分别为 566.308，519.7624， 52.7686 及 1996 年(,)iixyz数据 568.0575，519.7562，52.7657 。(,)iixyz2模型建立及求解
2、各层中心坐标将空间中每层观测的点 分别投影到 , , 各平面，通过最小二乘法确定(,)iixyzxoyz出以投影的点为中心的中心直线，以三条直线为母线做平行于三角坐标的平面，求解三个平面的交点即为中点 的坐标。0(,)利用 Excel 及 Matlab 软件求解出各层中心坐标。3古塔倾斜分析将古塔各层相邻的中心坐标连接起来，构成空间向量，通过求解向量的夹角 、 、 来确定古塔的倾斜情况。计算与仿真结果表明，古塔中心各层间都有倾斜，但在 8-9 层，12-13 层时倾斜更为严重。4古塔扭曲，变形分析将中心坐标投影到 面，计算相邻层上投影点 构成的直线的斜率xoy(,)ixy，得到夹角 。该角度说
3、明了中心发生倾斜时的方向、角度大小描述了扭曲程度tank大小。结果表明古塔朝着 平面的第四象限偏移大。5古塔变形预测采用多元回归分析法，根据最小二乘法原理，拟合出古塔最终变形的趋势。从图中可以看出古塔是各层不断的发生变化。并且在 8-11 层变形严重。关键词：中心直线 插值 曲线拟合 回归分析一、问题重述2由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月
4、、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、模型假设 1假设对模型计算结果均保留四位有效数字，不影响其变形趋势；2. 假设任意两层中心的连线为直线时，考虑其倾斜程度；3. 假设任意两层中心的连线为曲线时，考虑其弯曲、扭曲程度。4.假设古塔是规则图形；5.假设古塔刚建好时地面平坦没有倾斜和扭曲。三、符号说明1 ， 表示空间中点的坐标；(,)iixyz1,2n2. 为投影平面直线方程的参数
5、；abcdef3. 表示空间投影到平面上的各点距离之和的最小值；M4. 三个平面的交点；0(,)xyz5. 、 、 （ ， ， ）表示向量的方向角； 06. 两点构成的直线的倾斜角；7. 回归中未知参数。210,b四、模型建立及求解31. 中心位置模型建立以古塔其中一层为研究对象，建立中心位置的数学模型。设 ， 是古塔第 层的观测的数据，为空间中(,)iixyz1,28 1,2in的点。首先，将 ， 投影到 平面上，得到观测数据记为()ii, xoy， 。(,)i,in在平面直角坐标系中，建立以这些点构成的中心直线方程，记为 yaxb，要求使各点 ， 到直线的距离之和最小，即用最小二乘法。(,
6、)ixy1,2in将问题转化为求解 的最小值。由二元函数极值原理，令2=()niiiMaxb12)0niiia(iiiyb即可求得 ，确定出直线方程、（1）yax同理，将 ， 投影到 平面上，得到观测数据记为(,)iiyz1,2n yoz， 。采用二元函数极值原理，可确定出直线方程(,)iz12n（2）cd将 ， 投影到 平面上，得到观测数据记为 ，(,)iixy, xoz (,)izx。可确定出直线方程12in（3）ezf确定出的这三条直线（1）、（2）、（3）在空间分别表示三个母线依次平行于三个坐标轴的平面。求解出三个平面的交点，就是我们要找的每层的中心，记作 。0(,)xyz2.模型求解
7、（1）题目中给出的1986年和1996年观测数据中，第13层中第5个观测点没有数据。利用数据插值的方法，将这个数据估计出来。在此，利用Matlab中3次样条插值，给出缺失数据。调用函数spline ，数据计算如下所示：（计算1(X,Y)的缺失数据加黑显示）表一 1986年第13层观测值 表二 1996年第13层观测值13层x/my/mz/m41566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.418521.52152.8974565.91519.89352.885566.308519.762452.76876569.701521.0552.703756
8、9.897523.18852.7948568.582524.82252.82213层x/m y/mz/m1566.3142525.085752.8642564.7222523.609852.8773564.4872521.514852.8894565.9161519.886852.8785568.0575519.756252.76576569.7072521.043852.6967569 523 525（2）将每一层都采取上述的建模方法，计算每层的中心位置，其中 。8n计算时采用Excel、Matlab软件对数据进行求解，求解过程见附件一。解得每年各层中心位置坐标如下表所示：表三 每年各层中心
9、位置坐标1986年观测数据 1996年观测数据中心点坐标 中心点坐标层数X Y Z层数X Y Z1566.6645522.71311.77941566.665522.70971.77732566.7196522.65497.30462566.7205522.65987.32353566.7729522.603812.73863566.7751522.593712.72784566.8161522.606817.05324566.8183522.624717.0565566.8621522.590721.74455566.8641522.586521.73676566.9084522.54352
10、6.23516566.9118522.569926.25187566.9408522.506629.83227566.9506522.496129.82618566.9468522.419433.33568566.9884522.459133.32849567.0218522.510536.86679567.0265522.454236.840410567.0569522.544940.19410567.0169522.557740.18721 567 522 44. 1 567. 522. 44.39.9032 .1817 .7898568.588524.815752.81761 .1045
11、 .4644 4341 1 1102 3371 212567.1518522.415348.735412567.1578522.36348.683313567.2011522.73852.8313567.2012522.368452.826614567.2471522.243755.1233514567.2544522.236755.11982009年观测数据 2011年观测数据中心点坐标 中心点坐标层数X Y Z层数x y z1566.7267522.67871.74371566.72695522.72341.77922566.764522.65177.28812566.7642522.68
12、997.29513566.8002522.632612.71473566.80044522.655312.71284566.8293522.622817.04424566.82971522.579317.03875566.8603522.488421.68535566.86096522.498221.68216566.9469522.553226.21786566.94784522.547826.18417566.9793522.537629.83487566.98522.518129.83018567.0305522.458833.35338567.0313522.453133.328495
13、67.0815522.446536.8659567.0823522.447136.8021 567 522 40. 1 567. 522. 40.1370 .1368 .3662 1744 0 13806 3649 7511567.1798522.375544.422811567.18096522.375244.402412567.2224522.334848.713512567.22383522.332948.708813567.2712522.24952.805313567.27251522.247352.803714567.336522.214655.08914567.3374522.2
14、13255.087通过数据，可以看出古塔各层中心坐标都有不同幅度的变动，为了更加清楚的描述数据间的关系，通过Matlab软件仿真，得到下图：图1 1986年中心坐标仿真图 图2 1996年中心坐标仿真图图3 2009年中心坐标仿真图 图4 2011年中心坐标仿真图从图中可以看出，古塔的中心随着时间的推移在发生着改变。古塔中心位置在8、9层及11、12层发生较为明显的偏移。3.古塔倾斜、弯曲、扭曲分析（1）古塔倾斜分析设 是古塔中心坐标， 表示(,)iixyz 111=,)(,)xyziiiiaxyz、第 层和第 层中心点构成的向量。 、 、 （ ， ，+0）表示向量的方向角。 0向量的方向余弦
15、为， ，22cosxyza22cosyxza22coszxya通过向量与坐标轴之间的夹角 、 、 ，来判断倾斜程度，其中 表示8层与竖坐标 的夹角，角度越大表示倾斜程度越大。 、 表示倾斜时朝那个z 方向。通过Excel计算，得直线在空间的夹角。如下表所示：表四 每年各层之间倾斜角1986年倾斜角 1996年倾斜角层数层数189.431390.60610.83101 89.426690.51540.7709289.440690.54140.77852 89.421290.70070.9088389.428989.96280.57503 89.428189.58960.7038489.44089
16、0.19920.59524 89.439490.46750.73589.411990.60480.84355 89.394790.21060.6408689.486690.59030.78216 89.378291.18271.3363789.904591.42851.42927 89.381690.60520.8652888.786288.52501.91408 89.378490.07990.6266989.398289.41030.84629 90.164288.22871.77891089.359591.09021.26351088.730693.00243.26021189.3726
17、90.65660.90811189.364589.65420.72341289.934490.49681.10141289.620989.92530.923992009年倾斜角 2011年观倾斜角层数层数189.617190.28160.47581 89.615790.35060.5203289.620490.20430.43212 89.619490.36850.5298389.617590.13230.40633 89.614991.00911.0786489.620191.66141.70234 89.617191.00321.0723588.908189.18361.36705 88.
18、897189.37151.2729689.489490.24970.56966 89.497290.46930.6879789.169191.28551.52997 89.162691.06701.3559889.170590.20330.85598 89.161490.10160.8469989.045591.39241.68759 89.045191.41421.70571089.422789.87720.59331089.426389.86420.59271189.433890.54610.78671189.432490.56540.80111289.319491.20381.38191
19、289.321591.20011.37760 2 4 6 8 10 1288.58989.59090.5xy1986199620092011图5 四年倾斜角 变化趋势0 2 4 6 8 10 1288899091929394xy198619962009201110图 6 四年倾斜角 变化趋势0 2 4 6 8 10 1201234xy1986199620092011图 7 四年倾斜角 变化趋势从图中可以看，每条曲线都在变动，即随着层数的改变倾斜角也在不断的变化，每层倾斜的程度不同。在8到11层，图形变化强度大，表示这些层，倾斜程度高，这也符合实际。因为当受外在因素地震、飓风等影响时，高层建筑都
20、是越向上形变越明显。（2）古塔弯曲、扭曲分析通过单位弧段上切线转过的角度大小，来描述弧段的弯曲和扭曲的程度。假设将空间相邻两层第 层和第 层，两点连线构成的直线记为曲线的i+1i切线。 对古塔中心位置的坐标，做如下处理：将空间中任意两点 和(,)iiAxyz投影到 平面，求出两点构成的直线的倾斜角+11(,)iiBxyzxoy +tanii用 表示古塔在该层的扭曲程度。通过Excel软件计算得到每层的夹角 ，如下表所示：表五 每年各层之间的夹角层数1996年夹角1996年夹角 2009年夹角2011年夹角 1 -37.5343 -37.5896 -40.8804 -40.97992 -37.3
21、275 -37.4376 -40.5633 -39.93113 -37.68 -37.7104 -40.7958 -41.58624 -37.5034 -37.6113 -40.6329 -40.46655 -36.8512 -36.9686 -31.1197 -31.16816 -23.0009 -23.4128 -34.3045 -34.34317 -22.7727 -23.0711 -32.436 -32.51558 -23.107 -23.6695 -32.9341 -32.8839 -21.6897 -21.8021 -43.6789 -43.683810 -39.6168 -39.
22、6192 -42.2749 -42.34811 -39.8545 -39.9013 -42.2548 -42.194912 -79.4108 -79.4205 -42.421 -42.4851110 2 4 6 8 10 12-80-70-60-50-40-30-20xy1986199620092011图 8 四年夹角 变化趋势通过数据和图形分析得出，随着层数的增多扭曲程度越大，这与之前古塔中心坐标分析的结果相同，符合实际。4.回归分析对古塔变形趋势的预测对上述得到的数据采用多元线性回归分析的方法，通过确定变量之间的回归方程，利用回归方程对古塔变形趋势进行预测。对中心数据 及其夹角计算，得到容
23、量为(,)iixyz 123(,)xyz123(,)nnxyz的样本。根据最小二乘法原理，多元线性回归中未知参数 应满足0b2110ni iii bzQ达到最小。引入矩阵 ， ， 得1421yxX321zzZ210bBYBb21)(求解得到回归方程。通过上述方法采用数学软件拟合，得变形趋势为下图所示：图 9 中心坐标数据预测图 10 中心坐标点在 平面投影数据预测xoy通过预测的变化趋势可以看出，古塔8-11层是波动比较大的层。图10将数据投影到 平面，可以更加直观的看到预测的结果。在图上出现了稍微大些xoy的扰动，点的跨越大，说明古塔的中间层和顶层受到自然和时间危害严重。并由此可以推测出古塔最危险的层数即8-11层。参考文献1 周义仓,数学建模赛题简析与论文评点，西安：西安交通大学出版社 ，20022 钱颂迪,运筹学，北京：清华大学出版社，1990123 刘卫国,Matlab 程序设计教程，北京：中国水利水电出版社，20044 谭永基,数学模型，上海：复旦大学出版社，20055 高隆昌,杨元等，数学建模基础理论，北京：科学出版社，20076 谢兆鸿,范正森等，数学建模技术，北京：中国水利水电出版社，20037 关兵，Word2003 学用 DIY，北京：科学出版社，20018 王永县,运筹学，北京：清华大学出版社，1993
