1、图像的傅立叶变换及其应用1、设计目的和任务通过该设计，掌握二维傅立叶变换的定义和含义。掌握傅立叶变换在滤波器频率响应和快速卷积中的应用。2、设计内容1.加载 imdemos saturn2 文件，显示文件中的图像 saturn2，并对其进行傅立叶变换，给出源程序及结果，并显示其幅值的结果。2.对矩阵 A=magic（3）和 B=ones（3）按照快速计算卷积的方法计算两个矩阵的卷积，并用卷积函数 conv2 验证结果，给出源程序及结果。 三、主要 MATLAB 函数1.图像的显示imread 读入图像文件 image 显示图像文件Plot 绘制图形2.图像的离散傅立叶变换假设 是一个离散空间中
2、的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换定义为),(nmfnjwjmefwf 21),(,21 其中 和 是频域变量，单位是弧度/采样单元。函数 为函数 的频12 ),(21wf ),(nmf谱。二维傅立叶反变换的定义为： 21212112),(),( defnmf njwmjw因此，函数 可以用无数个不同频率的复指数信号的和表示，在频率),(nf处复指数信号的幅度和相位为 。),(21w),(21fMATLAB 提供的快速傅立叶变换函数1） fft2：用于计算二维快速傅立叶变换函数，其语法格式为b=fft2（I） ，返回图心爱那个 I 的二维傅立叶变换矩阵，输入图像 I 和输出图像 B大小相同；
3、b=fft2（I，m，n） ，通过对图像 I 剪切或补零,按用户指定的点数计算二维傅立叶变换，返回矩阵 B 的大小为 。n很多 MATLAB 图像显示复数图像，为了观察图像傅立叶变换后的结果，应对变换后的结果求模，方法是对变换结果使用 abs 函数。2） fftn：用于计算 n 维快速傅立叶变换，其语法格式为 b=fftn（I） ，计算图像的 n维傅立叶变换，输出图像 B 和输入图像 I 大小相同；b=fftn（I,size） ，通过对图像 I 剪切和补零，按 size 指定的点数计算 n 维傅立叶变换，返回矩阵 B 的大小为 size。3） fftshift：用于将变换后的图像频谱从矩阵的原
4、点移动到矩阵的中心，其语法格式为b= fftshift(I),将变换后的图像频谱从矩阵的原点移动到矩阵的中心。2.快速傅立叶变换的应用1）滤波器的频率响应滤波器冲击响应的傅立叶变换就是该滤波器的频率响应。MATLAB 提供的 freqz2 函数可以同时计算和显示滤波器的频率响应，其语法格式为freqz2（h） ，可同时计算和显示滤波器的频率响应。2）快速卷积傅立叶变换的另一个重要特性是能够实现快速卷积。由线性系统理论可知，两个系统的傅立叶变换等于两个函数的傅立叶变换的乘积。该特性与快速傅立叶变换一起，可以快速计算函数的卷积。假设 A 为 MxN 矩阵，B 为 PxQ 矩阵，则快速卷积的方法如下
5、对 A 和 B 补 0，使其大小都为(M+P-1)x(N+Q-1);利用函数 fft2 对矩阵进行二维 FFT 变换。将两个 FFT 结果相乘，利用函数 ifft2 对得到的乘积进行傅立叶反变换。另外，利用 MATLAB 提供的卷积函数 conv2 可以直接对两个函数进行卷积，其语法格式C=conv（A，B） ，计算矩阵 A 和 B 的二维卷积.4、 设计内容及主要 MATLAB 函数1.显示图形并进行傅立叶变化用 imread 读出 imdemos saturn2，并用 image 显示 saturn2，将图形用二维快速傅立叶变换函数进行变换，再使用 fftshift 函数将图像的频谱从原点
6、移到中心。之后显示频谱图形，再用 plot 画出幅值图形。2 实现矩阵的卷积在 MATLAB 中输入奇异矩阵和全一矩阵，先将它们用卷积函数 conv2 进行卷积，然后将A 和 B 补零变成五阶矩阵，再分别对两个矩阵进行傅立叶变换，将两个傅立叶结果相乘，利用函数 ifft2 对得到的乘积进行傅立叶反变换。5、 源程序1.加载 imdemos saturn2 并进行傅立叶变换imread(saturn.tif) ;y=imread(saturn.tif) ;image（y）; b=fft2(y); c=fftshift(b);d=real(b);image(d);e=real(c);image(e
7、);plot(abs(c)2.快速卷积 A=magic(3)； B=ones(3)； B(5,5)=0； A(5,5)=0； E=fft2(A)； F=fft2(B)； G=E.*F C=ifft2（G） R=round(C) D=conv2(A,B)；6、 运行结果一：1.加载图片并显示2.傅立叶变换后的图形3.将频谱中心从原点一道中心4.频谱图二：A =8 1 63 5 74 9 2B =1 1 11 1 11 1 1E =45.0000 7.5000 -23.0826i 7.5000 + 5.4491i 7.5000 - 5.4491i 7.5000 +23.0826i7.5000 -2
8、3.0826i -15.2254 - 1.3143i 13.0902 + 9.5106i 10.0000 - 8.5065i 13.0902 - 2.6287i7.5000 + 5.4491i 10.0000 + 5.2573i 12.7254 - 2.1266i 1.9098 - 4.2533i 1.9098 + 5.8779i7.5000 - 5.4491i 1.9098 - 5.8779i 1.9098 + 4.2533i 12.7254 + 2.1266i 10.0000 - 5.2573i7.5000 +23.0826i 13.0902 + 2.6287i 10.0000 + 8.5
9、065i 13.0902 - 9.5106i -15.2254 + 1.3143iF =9.0000 1.5000 - 4.6165i 1.5000 + 1.0898i 1.5000 - 1.0898i 1.5000 + 4.6165i1.5000 - 4.6165i -2.1180 - 1.5388i 0.8090 - 0.5878i -0.3090 - 0.9511i 2.6180 1.5000 + 1.0898i 0.8090 - 0.5878i 0.1180 + 0.3633i 0.3820 -0.3090 + 0.9511i1.5000 - 1.0898i -0.3090 - 0.9
10、511i 0.3820 0.1180 - 0.3633i 0.8090 + 0.5878i1.5000 + 4.6165i 2.6180 -0.3090 + 0.9511i 0.8090 + 0.5878i -2.1180 + 1.5388iG =1.0e+002 *4.0500 -0.9531 - 0.6925i 0.0531 + 0.1635i 0.0531 - 0.1635i -0.9531 + 0.6925i-0.9531 - 0.6925i 0.3023 + 0.2621i 0.1618 + 0.0000i -0.1118 - 0.0688i 0.3427 - 0.0688i0.05
11、31 + 0.1635i 0.1118 - 0.0162i 0.0227 + 0.0437i 0.0073 - 0.0162i -0.0618 + 0.0000i0.0531 - 0.1635i -0.0618 - 0.0000i 0.0073 + 0.0162i 0.0227 - 0.0437i 0.1118 + 0.0162i-0.9531 + 0.6925i 0.3427 + 0.0688i -0.1118 + 0.0688i 0.1618 - 0.0000i 0.3023 - 0.2621iC =8.0000 9.0000 15.0000 7.0000 6.000011.0000 17
12、.0000 30.0000 19.0000 13.000015.0000 30.0000 45.0000 30.0000 15.00007.0000 21.0000 30.0000 23.0000 9.00004.0000 13.0000 15.0000 11.0000 2.0000R =8 9 15 7 611 17 30 19 1315 30 45 30 157 21 30 23 94 13 15 11 2验证结果：D =8 9 15 7 611 17 30 19 1315 30 45 30 157 21 30 23 94 13 15 11 27、 实验总结通过 MATLAB 实验对图像的傅立叶变换及其应用，让我对所学到的知识有了进一步的认识并了解了傅立叶变换的定义及其应用。这个实验通过对图像傅立叶变换前后的对比让我对其有了更深的认识。它也使得许多繁琐的矩阵通过输入简单的函数就可以实现卷积或者傅立叶变换。例如实验中通过对 conv 函数的应用，极大的简化了卷积的运算，从而使许多计算变得方便快捷，因此它在很多方面都有广泛的应用。作为工科学生这门软件在以后的学习实践中一定会有很大的帮助。这也说明了学习这门软件的重要性。
