1、船舶在波浪中的运动理论 Theory of Ship Motions in Waves,LECTURE NOTES :,2,1. 引论 2. 海洋波浪理论 3. 船舶在波浪上的运动 4. 小尺度构件流体动力 5. 锚泊与运动响应,课程内容 Contents of The Course,课程主题: 波浪诱导的大尺度海洋工程浮体结构水动力与摇荡运动理论及分析方法,课程内容：,课程教材： 戴遗山,段文洋 .船舶在波浪中运动的势流理论,国防工业出版社,2008. 参考文献：1 刘应中，缪国平：船舶在波浪上的运动理论，上海交通大学出版社，1986.2 Newman J. N. Marine Hydrod
2、ynamics, MIT Press,1977.3 Faltinsen O. M. Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press,1990. 4 Bernard Molin . 海洋工程水动力学，国防工业出版社,2012.,4,CH1. 引论 Introduction,1. 概述 2. 船舶运动预报解决方案综述 3. 船舶运动预报方法的理论基础,CH1 内容：,5,1.1 概述 海洋浮动结构物 Summarizing,典型的海上浮式运载船舶：排水式与非排水式船舶；单体、双体/多体、表面效应船(SES
3、) ；有航速与无航速等。,水面船舶,6,1.1 概述 海洋浮动结构物,Fixed Platform；Jack-up Platform；Compliant Platform；Semi-submersible Platform； Floating Production System； Tension-leg Platform；Spar Platform ；VLFS. etc.,海洋结构物 典型的海上生产作业平台：,7,1.1 概述 环境载荷,8,1.1 概述 环境载荷,我国近海具有明显的季风特征，总体海况趋势：冬强夏弱、外海强近岸弱、东南海强黄渤海弱。平均风速：4 12 m/s。平均波高：0.8
4、1.8m(风浪)、1.2 2.5m(涌浪)。 恶劣的北海：60%的时间里有义波高大于2m，最大波高30m以上，极端海况下的波浪周期为1520s，很少低于4s，风速上限40 45m/s。,典型海况：,9,1.1 概述 波浪中的运动,海洋环境诱导的浮式结构物运动,波频摇荡：源自有义波能谱频范围内的线性激励。刚体平台摇荡运动：纵荡（surge）、横荡(sway)、垂荡(heave)；横摇(roll)、纵摇(pitch)、首摇(yaw)。高频振荡：源自波浪的非线性效应和随机风浪的高频谐波。高频运动基于平台的垂荡、纵摇和横荡的谐振，对平台所属的细长结构产生“击振”和“弹振”，分别形成瞬态效应和稳态的高频
5、振动。如TLP系泊锚链的振荡周期为2-4s。低频慢漂：源自波浪的非线性效应与随机风浪的低频谐波及风。低频慢漂基于平台的纵荡、横荡和首摇的谐摇，产生慢漂和平均运动。如一般的系泊系统其典型的谐摇周期为1-2min.。,10,1.1 概述 波浪中的运动,垂荡是海洋结构物重要的运动响应,设计半潜式平台要避免垂荡谐摇，一般要求高海况下的垂荡小于最大波幅的一半。,11,1.1 概述 波浪中的运动,海洋结构物设计对运动与受力的考虑,各式海洋结构物对运动与受力的要求侧重不同：垂荡：钻探作业平台一般要求小于4m。需运动补偿提高作业效率。横摇：起重船、需操作加工设备的浮式平台。纵摇：需操作加工设备的浮式平台。风、
6、浪、流漂移力和风、浪漂移运动：系泊平台（锚链破断）; 立管平台（立管系统挠性）;DP系统、拖曳系统（平均和缓变波漂力）等。,12,1.1 概述 波浪中的运动,风浪下的船舶运动,摇荡运动（oscillation）;摇荡运动之动态效应：速度、加速度、晕船；增阻（increase of resistance）与失速（speed loss）；飞溅（spray）、甲板上浪（Green Water）;首底砰击（Slamming）；舱液晃荡（sloshing）等。,MOTION DEMONSTRATION FOR FLOATING STRUCTURES,14,1.1 概述 波浪中的运动,船舶常规作业耐波性衡
7、准 (NORDFORSK,1987),15,1.1 概述 波浪中的运动,耐波性综合指标,任务作业率：,年均可作业天数：,基于长期海况统计下的一年内可作业天数,可使用的海情级别：,正常安全作业的海情级别,16,1.1 概述 结构物的水动力分类,质量力、粘性阻尼和绕射力的相对重要性,17,1.2 船舶运动预报解决方案概述 研究手段 Solutions for Motion of Ships in Waves,数值计算：广泛用于海洋结构物水动力载荷及其效应的计算分析。基本理论：势流理论、Morision模型等。应用前提：需得到验证。 模型试验：对理论上不易解释和分析的新问题与非常规现象目前仍主要依靠
8、模型试验。存在不足：粘性效应为主的试验结果换算有困难甚至不准；深水系泊材料与边界条件的相似关系；环境模拟有限风浪、流速。实物试验：有必要的补充与实证测试。,常用的设计研究手段,数值分析 & 模型试验！,18,1.2 船舶运动预报解决方案概述 基本理论与技术,大尺度浮体：,势流理论、自由面和物面条件的线性与非线性、时域与频域 面元方法（panel method）,小尺度与细长构件：,粘流理论、Morison模型、细长体理论 基于CFD的数值模拟、切片方法,模型试验：,海洋环境（风、浪、流）的物理模拟 水动力与载荷效应测试分析及其换算预报方法 精细流场无接触测量与成像技术,适用的理论、方法与手段,
9、19,1.2 船舶运动预报解决方案概述 前沿问题,海洋结构物：,强非线性波及其冲击效应;eg. Extreme wave, Freak wave细长与柔性构件的粘性流分离及VIV;,船舶：,船舶运动预报的时域理论及方法；甲板上浪与舱液晃荡的动力学模拟；航行失稳的动力学分析。,20,1.2 船舶运动预报解决方案概述 典型软件简介,适用于海洋工程浮体水动力载荷及效应分析 的典型商业软件：,SESAMWAMITAQWAHYDROSTAR,21,1.2 船舶运动解决方案概述 典型软件简介（SESAM ）,DNV的sesam软件其核心模块Geni E、Hydro D、 DEEP C的核心Code最初来源
10、于WAMIT，并发展了前后处理、规范检验、系统集成与作业管理及其风险评估等模块，成为业界认可和广泛使用的商用专业软件，具有不同水深环境下的固定浮体、系泊浮体和自由浮体水动力载荷及其动力响应分析的一般功能，以及海洋工程生产系统集成设计、管理与效益和风险评估的基本功能。 主要模块及功能： Strength assessment of fixed structures.MODULES: Geni E Strength assessment of floating structures.MODULES：GeniE、DEEP C、 Hydro D Strength assessment of FPSO.
11、MODULES: Geni E、Hydro D、 DEEP C Structure integrity management & maintenance.MODULES: Hull Integrity、Structure Integrity、Plant Integrity、Pipeline Integrity、Riser Integrity、Risk Based Inspection,22,1.2 船舶运动预报解决方案概 典型软件简介（SESAM）,Wadam: Frequency Domain AnalysisWaveship: Wave MotionSimo: Nonlinear time
12、 domain motion analysis Riflex: Nonlinear analysis of risers & moorings Mimosa: static & dynamic mooringWajac Wave loads on slender structures,Sesam 水动力分析主要模块：,23,1.2 船舶运动预报解决方案概述 典型软件简介（WAMIT）,WAMIT 是一款以三维面元法为基础的波物相互作用分析软件，其核心模块POTEN 和FORCE分别 计算流场速度势与水动力载荷，辅有高性能的数据传输接口、有限元建模与动力响应分析等模块可对有限水深和无限水深下的位
13、于水面、水中及海底的自由浮体、系泊浮体及固定浮体进行水动力载荷及其动力学响应分析。WAMIT在水动力分析方面的亮点：,三维面元法全三维波物干扰的辐射/绕射不规则频率剔除处理物面二阶水动压力二阶波漂力多体水动力干扰生产作业模拟,24,1.2 船舶运动预报解决方案概述 典型软件简介 （AQWA）,AQWA-LINE：包含衍射/ 辐射（包括浅水效应、有航速） AQWA-FER：具有随机波的频域 AQWA-DRIFT：具有随机波（包括慢漂流）的时域 AQWA-NAUT：具有宽大波的非线性时域 AQWA-LIBRIUM：包括停泊线的静动稳定性 AQWA-GS：前后处理器；超级用户界面 AQWA-WAVE
14、：实现AQWA-LINE与ASAS、ANSYS的联接 AQWA-TETHER ：TLP缆索安装和拖拉分析 AQWA-SOLAR：简化的三维水弹性分析 AQWA-LAUNCH：大型钢铁结构下水的轨迹分析 AQWA Cable Dynamics：耦合缆索动力学分析 AQWA-FLOAT：模拟安装时的套管下水和浮动操作,软件包 AQWA-Diffraction包：AQWA-LINEAQWA-GSAQWA-WAVE AQWA-Suite包：AQWA-LINEAQWA-FERAQWA-DRIFTAQWA-NAUTAQWA-LIBRIUM AQWA-GS AQWA-WAVE等,Ansys AQWA是一套集
15、成模块，主要用于满足各种结构水动力学特性的评估及相关分析需求，包括从桅、桁到FPSO，从停泊系统到救生系统，从TLP到半潜水系统，从民船到大型军舰等。AQWA自称是全球最权威的船舶与海洋工程商业软件之一！,25,1.2 船舶运动预报解决方案概述 典型软件简介（AQWA）,AQWA仿真示例,26,1.2 船舶运动预报解决方案概述 典型软件简介（HYDROSTAR）,HYDROSTAR 是由BV开发的三维水动力分析软件，能完整地求解有限和无限水深条件下船舶与海洋结构物单体与多体的一阶及二阶波浪载荷与波浪诱导运动。联合BV的VERISTAR软件与通用软件 MSC/NASTARN 等可进行 总体结构分
16、析与疲劳分析；联合BV的Ariane可进行锚泊系统的静态与动态时域分析。Hydrostar更适合于水动力学研究。主要功能：,27,1.3 船舶运动预报的理论基础 Theoretical Foundation For Marine Hydrodynamics,（1）场论基础 （2）实质导数与输运定理(3) 势流理论基础 （4）Hess-Smith方法,28,浮体周围流场之速度分布 、压力分布 等物理量是关于空间与时间的矢量函数或标量函数。物理上，对这类关于空间分布的矢量及标量函数引入“场”（即“域”）的概念。于是，针对性地产生并发展了诸多相关的理论分析方法。,（1）场论基础Foundation
17、of Field Theory,对于有自由面的有界流场，定义坐标系oxyz之oxy平面位于静水面，oz轴铅锤向上，服从右手系法则。如流场无界，则原点位置任意。,Vector plot of velocity around a airfoil,Scalar quantity plot of pressure around a airfoil,29,在物体周围的流场中，取一流体微团(如右图 所示 ), 是由光滑的闭曲面S所包围众多流体质点的 域 ，单位长度法线 指向域外。由此可讨论微 团的运动变化，当微团趋于一点时，所讨论的物理 量的变化即是一流体质点上的变化。追踪流体质点并考察质点的物理变化，为
18、Lagrange 研究观点。也可在流场中取一相对于坐标系不变的空间体（控制体），考察控制体内各空间点上的物理变化。此种研究观点为Euler 观点。,（1）场论基础,30,真实流场中流体微团受到的力有以下两种类型：直接作用于流体微团上单位质量流体上的力，是一种长程力。单位质量质量力用 表示，则流体微团受到的质量力为重力场中流体微团受到重力的作用，即为质量力。（负号表示沿z轴向下）流体微团表面受到相邻流体的作用，包括指向微团的法向压力和因粘性作用产生的切向剪力，两者合成的力称为表面压（应）力（又称表面应力） （为二阶张量），分布于微团界面，指向微团内。对于无粘的理想流体，表面应力即为正压力，沿法线
19、法向指向微团内。流体微团受到的表面力为（真实流体） （理想流体）,质量力：表面力：,（1）场论基础,31,在t 时刻，流场中某一标量函数 在空间某点P 处沿 的方向导数：表示沿该方向的变化率。而 在P点的最大方向导数则称为 的梯度（gradient），以 或grad 表示之。符号“ ”为Hamilton算符：,梯度是矢量,梯度 在直角系下的运算关系为,在流体微团界面法线上的投影即为法向导数，即 。如果 是流场的速度势，则微团界面的运动速度 满足：,（1）场论基础,称之为物面条件,32,如流体以速度 流出或流进微团，则单位时间内流体进出的通量为,浮体水动力学中经常用到下面的关系式：,当微团趋于一
20、点时，通量的变化率,称为散度（divergence ），表示流体微团或流体质点处的流体扩散率。显然，如微团内无源汇或流体进出平衡，则散度为零。散度 也可以 表达，在直角系下的运算关系为,散度是标量,（Gauss Formula）,（1）场论基础,33,将流体速度 沿光滑的有向闭曲线 积分：,浮体水动力学中经常用到下面的关系式：,称为环量。如 ，表示 C 内的流体存在漩涡。当闭曲线 收缩趋于其内的一点时，则该点处环量最大方向上的变化率称为旋度（curl），即,旋度 也可以 表达，在直角系的运算关系为：,旋度是矢量,（Stokes Formula）,（1）场论基础,34, 一个矢量的张量表示：,
21、约定求和法则：, Kronecker 符号：,在学习浮体运动理论时，常涉及矢量运算，为方便运算操作并直观理解其物理意义，这里介绍张量表示法，用于场论的推演运算。请记住以下 5 个关系：,（1）场论基础, 交变张量：,（i，j，k 两个以上相同） （i，j，k 成偶排列） （i，j，k 成奇排列）,35,例A： 化简 这里 为常矢量。解,应用示例,注：用张量表示法运算矢量关系，其实即选择坐标系三个方向中的一个方向进行运算，如例题中以x方向为例进行运算，其它方向则类似，或者说按偶排列关系仿照写出即可。, 恒等式：,36,例B：试证明等式 成立，这里 为常矢量 为变矢量。,应用示例,解 左端项,37
22、,例C：由高斯公式试证明,解 由高斯公式于是，有,推广的高斯公式,应用示例,38,例D：利用斯托克斯公式，试证明,解 将斯托克斯公式用张量表示法予以表示，有,应用示例,(1） （2） （3）,不难得到,即,故,于是有,40,应用示例,注：式（1）、式（2）和式（3）分别称为 stokes公式。,又由于,请自己证明：,故Stokes 第二公式可以改写成,41,（2）实质导数与输运定理Substantial Derivative & Transport Theorem,场函数 在运动过程中对时间t 的变化率，这里不加证明而直接给出实质导数的表达式：,式中第一项表征在某固定位置上由于时间变化所引起的
23、物理量的变化，成为局部导数；第二项表征在同一时刻由于位置变化所引起的物理量的变化，成为迁移项。所谓的运动过程既可以是流体的运动，也可以是选定空间域的控制体的运动。上式对矢量函数与标量函数均成立。,42,考察下列体积分的实质导数：,式中 为选定的流体体积，可随时间变化。根据实质导数关系，有,由高斯公式，可得到输运公式：,若被积函数为矢量，也有以上类似的关系式。,（2）实质导数与输运定理,切记！,(庄礼贤 2nd Edition, p67),43,（6）势流理论基础（）,对于工程实用的浮体，由于其特征尺度L和环境波浪波长为同一量级，波幅远小于L，可以认为粘性影响和漩涡分离是次要或局部的，相对来说，
24、绕射影响较为突出。因此，在研究浮体运动 时，可以提出以下假设：,无粘性：即认为流体是理想流体流体均匀、不可压：即流体密度 时时处处为常数 运动无旋：即流场存在速度势 流场速度,（3）势流理论基础 势流Foundation of Potential low Theory,44,（6）势流理论基础（）,质量守恒,分别考虑流场的质量守恒与动量守恒：,被积函数处处为零，而 只有,动量守恒,式中， 为单位质量的质量力，p为作用于微元体界面S上的压力。,因而，有,（3）势流理论基础 势流动力学描述,45,（6）势流理论基础（）,若利用关系式 ，则欧拉方程成为,势流场之质量守恒与动量守恒的微分形式控制方程：
25、,（Eullers Eq.）,注意到本章流场的无旋特性 ，则兰姆方程成为,（Lambs Eq.）,（3）势流理论基础 势流动力学描述,切记！,46,（6）势流理论基础（）,以上矢量形式的控制方程，在oxyz坐标系下可以分解成四个方程而成为封闭的方程组，原则上可以结合边界条件解算流场的四个未知量: 速度分布Vx、Vy、Vz 和压力分布 p。但第二个方程有速度的平方项，是非线性的，求解困难。注意到以下事实：,于是，势流场（理想、不可压、无旋）基本控制方程为：,流场无旋 ，存在速度势,流场速度与速度势的关系：,（3）势流理论基础 势流动力学描述,47,（6）势流理论基础（）,式中，认为质量力有势 ，
26、对于重力场,从而可将流场的控制方程改写成速度势的形式,（3）势流理论基础 势流动力学描述,（3）势流理论基础 势流动力学描述,于是，重力场下的流场控制方程成为：,（Laplaces Eq.）,（Lagranges Eq.）,上面两式通常在无自由面时并不耦合，利用线性的拉普拉斯方程可确定流场速度分布，利用拉格朗日方程可确定流场的压力分布，继而可确定作用于物体上的流体动力，由此使问题大大简化。,49,令,（3）势流理论基础 势流动力学描述,由于 ，故可由具有齐次性的上式(仍称为拉格朗日方程）确定流场的压力，以下略去撇号。,代入拉格朗日方程，即可将拉格朗日方程改造成为,对于具有自由面的波动场，在自由
27、面上有 (大气压），即在自由面上时时处处有,不难得到波面上的动力学方程（即自由面条件）：,51,（6）势流理论基础（）,拉普拉斯方程仅仅描述流场运动的一般规律，而确定的流场运动的解（定解）则与该流场的边界和初始状态有关，下面讨论定解条件：考察势流场的总动能，即上式推演表明，边界的速度势 及其法向导数 值决定了流场 内流体的运动，即有以下形式的定解条件：,（3）势流理论基础 边界条件,整个边界上给定 ，称第一类边值问题（ Dirichlet问题）；整个边界上给定 ，称第二类边值问题（Neumann问题）；部分边界上给定 ，其余边界上给定 ，称第三类边值问题（或称混合边值问题）。,53,具体地，对
28、于波浪中的浮体，其周围流场的边界条件为：,物面条件： (U为浮体的运动速度）,水底条件：,自由面条件：,线性自由面条件非线性自由面条件,无穷远处条件：,对于无界流场,有自由面时,R,称为辐射条件 或 Sommerfeld条件,（不可穿透）,（3）势流理论基础 边界条件,54,对于非定常问题，需要给定初始条件，运动才是确定的。初始条件规定了系统中所有流体质点的初始位置与速度。对于Laplace方程，只要给出边界上的初始条件即可，因为在每一瞬时，边界条件一经给定，场内各点的相应的物理量就可确定。对于有自由面的问题，因出现速度势 对时间 t 的二阶偏导数，就需给出：式中的 f 和 g 为任意的给定函
29、数，描述自由面的初始冲量和初始自由面形状。注意到，这里的坐标系oxy平面位于静水面，z轴铅锤向上。,（3）势流理论基础 初始条件,(许维德，P162),55,总结上述关于势流场运动方程、边界与初始条件，则势流场的定解问题，一般地可以归结为：,远处辐射条件,初始条件, 控制方程 ,自由面条件, 物面条件 , 底部条件 , 辐射条件 , 初始条件 ,根据边界与初始条件，求解Laplace方程获得流场速度势，继而求解流场速度或压力，获得作用于浮体上的流体动力，再而由Newton二定律确定浮体的运动。,线性或非线性自由面条件,（3）势流理论基础 定解问题的提法,56,其实，试图直接求解Laplace方
30、程的边值问题以获得速度势是非常困难的。为此，人们根据势流场具有解析性的基本特征，认为浮体处于势流场相当于给原本解析的域内添加了局部的诸如“源”、“偶极”等奇点，这样的奇点对流场具有贡献。于是提出了以分布源和分布偶极为基础的所谓分布奇点法来求解流场。其中，Hess-Smith方法是求解水动力学问题的一种最为常用的数值方法。这里，以三维无升力绕流问题为例介绍Hess-Smith方法，它包括了分布奇点方法的一切要点。,（4）赫斯-斯密斯方法 概述Hess-Smiths Method,57,（4）赫斯-斯密斯方法 格林第一，二公式,两式相减，有,对于浮体所在的流场，由高斯公式以 和 分别代入上式，易得
31、,其中， 是由S 所围之域。,58,（4）赫斯-斯密斯方法 格林第三公式,即 在域内任一点p上的值可由它在边界上的函数值和法向导数值来确定。其中 为域内任一场点（不动点）， 为域内源点。,设 即为所求的速度势，则 。若能适当选取 ，使得,则,现若选取 则,它是 的一个特解，表示在q点放置单位强度的点源在 p点诱导的速度势，而 表示极矩在 方向的偶极子诱导的速度势。在p=q 点外， 处处满足 。其中， 为p点和q点间的直线距离：,60,（4）赫斯-斯密斯方法 格林第三公式,设 p 点在 内，以p点为圆心、 （小量）为半径 作一小球面 ，并沿虚线所示的虚面剪裂 S 和 。 于是，在现在的域 内，有
32、 及,而在小球面上，因为,或者,从而，有,由,62,（4）赫斯-斯密斯方法 格林第三公式,同理，如 p点在 S 上和 S 外，则不难分别得到：,上述三种情形，总结为：,称之为格林第三公式。其中， 代表偶极子， 代表点源，而 和 则分别相当于偶强和源强的分布密度。上式表明，场内任一点处 可 以由边界面上的分布奇点来表示。,64,（4）赫斯-斯密斯方法 格林函数,只是 的一个特解，故 的具体形式并不唯 一。如在域内 存在处处调和的函数 , 则在域内处处满足 , 则,都是泊松方程 的解。因此，更一般地，将格林第三公式写成,为了求解场内 ，现在的问题就是要寻找既满足Laplace方程又满足给定边界条件
33、的Green函数。上述是混合分布模型，解算存在困难，设法建立单一分布模型（如只有源分布）。,Green Function,65,（4）赫斯-斯密斯方法 面源分布方法,设 和 为外部域和内部域（虚构），分界面为S，法线均指向域外。按格林第三公式，对 内 和 内 ，分别有,两式相减，有,67,（4）赫斯-斯密斯方法 面源分布方法,因在S上有 , 并记 。于是，上式成为,上式左端为含参数积分，相当于在S上有密度为 的源分布在场内某点 p 引起的速度势（单层势），这样的速度势在S上连续( )，其法向导数则不连续( )，即法向导数的阶跃构成了源强的分布密度 。,68,（4）赫斯-斯密斯方法 面源分布方法
34、,上式对内、外域及S 均成立，式中的 由边界条件确定，而而 上的积分即是由其上的分布源诱导的法向速度，由 ， 即当 p 趋于 时，有,于是,69,（4）赫斯-斯密斯方法 Hess-Smith方法,现讨论无界绕流问题。设远处来流速度为 ，在固定于物体的直角坐标系下，流场扰动速度势 满足,（物体外） （物面S上） （无穷远处）,这里的单位法线指向物体内（即域外）。在物面上布置源汇，由物面条件，有,上式的右端项为已知项，构成了关于分布源密度 的线性积分方程。解此方程可获得物面上的源密度 的分布，继而由下式确定流场内的速度势和诱导速度,这就是Hess-Smith方法的基本思想。,70,（4）赫斯-斯密
35、斯方法 Hess-Smith方法,将物面S 离散成N个单元小块 ，只要单元足够小，可认为每个单元上的源密度 为一常值，则有,并让物面条件在每个单元的某一点处（控制点：控制物面条件使之成立的点）成立，于是，积分方程离散成线性代数方程组：,这里，称 为影响系数，即第j 个单元上的分布源在第i 个控制点上的影响。上述数值离散求解方法称为基于分布源模型的面元法，又称Hess-Smith法。,i :场点 j :源点,71,（4）赫斯-斯密斯方法 Hess-Smith方法,对于无界绕流问题，物面S外的流场内一点p 处的速度势 为,同理，令点 p 在流场中沿物面上点 处法线方向趋于 ，得到,上式既有分布源，
36、又有分布偶极，称为混合分布模型。离散后，有其中，,73,（4）赫斯-斯密斯方法 诱导速度公式,总结上述涉及到的单元曲面 上的积分有以下三类：,具体计算时，可用平面四边形或三角形（三角形也可以看成四边形）来近似代替小曲面 。具体处理如下：取其四个顶点坐标之算术平均值为中心 点 的坐标，该点视为控制点；计算对角线向量的向量积并取其单位向量 作为该单元的单位法线 ； 过控制点 作垂直于 的平面，并以四个 顶点向该平面投影，得四个投影点构成平面四边形（或三角形） 。,pj,74,（4）赫斯-斯密斯方法 诱导速度公式,直接给出 上常值分布源密度为1时在 p (x,y,z)点的诱导速度计算公式：,其中,75,（4）赫斯-斯密斯方法 诱导速度公式,顺便，直接给出以下两组的计算公式： ,单层位势,分布偶极诱导速度,76,（4）赫斯-斯密斯方法 模型比较,分布源模型 源-偶混合分布模型,单元几何：三角形代替四边形。分布源：高阶分布源代替均匀分布源。,边界面元上的 ，精度高,流场速度,改善途径：,
