1、山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试数学试题（理科） （2012.12）注意事项：本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题） ，共两卷。其中第卷为第 1 页至第 2 页，共 60 分；第卷为第 3 页至第 6 页，共 90 分；两卷合计 150 分。考试时间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。第卷（选择题 共 60 分）1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、设 ，则 是 的（ ）2,2aNM， ”“1MNA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、下列函数中，在
2、其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D.xf)( xf)( xf2)(xftan)(3.若 ，则 等于（ ）34tancotA.2 B. C. D.-221214.函数 的零点有（ ）xxfln)(A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个5.已知两条直线 和 互相平行，则 等于（ ）2ay01)(3yaaA.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 36.设命题 ：曲线 在点 处的切线方程是： ；命题 : 是任意实数，pxe），（ eexyqba,若 ，则 ，则（ ）ba1bA.“ 或 ”为真 B.“ 且 ”为真 C. 假 真 D. ， 均为假命
3、题qpqpqp7.已知函数 ，则 的大致图象是（ ）xxfsin2)()(f8.在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 的值等于na2013nnS2102S013（ ）A.-2012 B.-2013 C.2012 D.20139.已知 P（x,y)是直线 上一动点，PA，PB 是圆 C： 的两)(4kykx 2yx条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 的值为（ ）kA.3 B. C. D.221210.已知等差数列 的公差 不为 0，等比数列 的公比 q 是小于 1 的正有理数。若nadnb， 且 是正整数，则 q 的值可以是（ ）da1,2b321baA.
4、B.- C. D.-7712111.已知二次函数 的导数 ，且 的值域为 ，则cxaf2)( 0)(,fx)(xf),0的最小值为（ ）)0(1fA.3 B. C.2 D.252312.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在点)0(1bayx )0,(,21cF（P 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）1221sinsinFPcFaA.（0， B.（ ） C.（0， ） D.（ ，1）， 22第卷（非选择题 90 分）题号 二 17 18 19 20 21 22 总分分数2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13.若焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 =
5、 .12myx2m14.若直线 与函数 （ 的图像有两个公共点，则 的取值范围是 .ay|x)0a且 a15.若不等式组 的解集中所含整数解只有 -2，求 的取值范围 .5)2(,0kx k16.当实数 满足约束条件 （ 为常数）时 有最大值为 12，则实y, 0ayx yxz3数 的值为 .a3、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.（本小题满分 12 分）记 ，若不等式 的解cbxaf2)( 0)(xf集为（1，3） ，试解关于 的不等式 .t ()8|2tft18.（本小题满分 12 分）在 内， 分别为角 A，B，C 所对的ABCcba
6、,边，a,b,c 成等差数列，且 a=2c。（1）求 的值；（）若 ，求 b 的值。Acos4153ABCS19.（本小题满分 12 分）设函数 .axxf 2cossin3)(得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人（）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求 的解析式；3,6x)(xf 23)(xf（）将满足（）的函数 的图像向右平移 个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 21倍，再向下平移 ，得到函数 ，求 图像与 轴的正半轴、直线 所围成图形的21)(xg)(x2x面积。20.（本小题满分 12 分）已知单调递增的等比数列 满足：na，且 是 的等差
7、中项。28432a342,a（）求数列 的通项公式；na（）若 ，求 成立的正整数 的最小值。nnbSb2121,log 501nSn21.（本小题满分 12 分）已知长方形 ABCD， ， BC=1。以 AB 的中2AB得分 评卷人得分 评卷人点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy.（）求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程；（）过点 P（0，2）的直线 交（）中椭圆于 M，N 两点，是否存在直线 ，使得弦 MN 为直l l径的圆恰好过原点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。l22.（本小题满分 14 分）已知函数 的导数)(xf为实数， .bafx
8、xf ,)0(,3)(221a（）若 在区间-1，1上的最小值、最大值分别为-2、1，求fa、b 的值；（）在（）的条件下，求经过点 且与曲线 相切的直线 的方程；）（ ,2P)(xfl（）设函数 ，试判断函数 的极值点个数。xexfF16)(F实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准 2012.2得分 评卷人1、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B A A B B D C C D2、填空题：13. ；14. ；15. 16.-12210a） ；,33、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分）17.由题意知 .)()()(1xxxf且 故二次函
9、数在区间 上是增函数.4 分0a,2又因为 ， 6 分,8|tt故由二次函数的单调性知不等式 )2()8|(tftf等价于 即 10 分2|t06|故 即不等的解为： .12 分3|t 3t18.解：（）因为 a,b,c 成等差数列，所以 a+c=2b， 2 分又 ，可得 ， 4 分ca2cb2所以 ，6 分41349os2caA（）由（） ，所以 ， 8 分),0(,41cs5sinA因为 ，bcSSABCABCsi2,53所以 ，10 分41531sin2bc得 . 12 分3,42c即19.解（） ， （2 分）1)62sin(2co1sin2)( axaxxf .T由 ，得 .kk36
10、2kk36故函数 的单调递减区间是 . （6 分）)(xf )(2,Z（2） .1sin1.5,3xxQ当 时，原函数的最大值与最小值的和 ，3,6x 23)1()21aa（. （8 分）21)6sin(),0xfa（3）由题意知 （10 分）g=1 （12 分）2020|cossixd20、解：（）设等比数列 的首项为 ，公比为 q，na1依题意，有 ，423)a（代入 得 2 分,84220,43解之得 4 分0213qa311aq或又 单调递增， 6 分n n2,（） ，7 分nnb2log1ns3142 2)(21 nn-得 1022)( 113 nns分，5021ns 52,0211
11、nn又 ， 11 分534时 ，当当 时， .故使 ，成立的正整数 的最小值为 5. 12n641n 01ns n分21.解：（）由题意可得点 A，B，C 的坐标分别为 .）， 12()2(设椭圆的标准方程是 ).0(12bayx则 2,4)01()2(2 22 aBACa2 分.2422cab椭圆的标准方程是 . 4 分1yx（）由题意直线的斜率存在，可设直线 的方程为 .5 分l )0(2kxy设 M，N 两点的坐标分别为 .),(,21yx联立方程： 42yxk消去 整理得，y08)1(kx有 7 分2221,kx若以 MN 为直径的圆恰好过原点，则 ，所以 ，8 分ONM021yx所以
12、， ，0)2(12kxx即 4)k（所以， 0216(4k即 ， 9 分0218k得 . 10 分,所以直线 的方程为 ，或 .11 分l2xy2xy所在存在过 P（0，2）的直线 ： 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。l12 分22.解：（）由已知得， ，1 分baxxf23)(由 得 .,0)(xf21,，当 时， 递增；aQ)0,1x)(,0)(xff当 时， ， 递减.,(x)(f(f在区间-1，1上的最大值为 .3 分)f1,)(bf又 .)1(,231)1(,231)( ffafaf 由题意得 ，即 ，得 为所求。 5 分4,ba故（）解：由（1）得 ，点 P（2，1）在曲线
13、上。xfxf 3)(,)( 223 )(xf（1）当切点为 P（2，1）时，切线 的斜率 ，l 4k的方程为 .6 分l074),(yxy即（2）当切点 P 不是切点时，设切点为 切线 的余率),2(,xQl，023)(0xxfk的方程为 。又点 P（2， 1）在 上，l )(4(0xy l，)2(100x，)2(43()(),(3()1 00203 xxxx . 切线 的方程为 .,40020 x即 l1y故所求切线 的方程为 或 .8 分l7y1（）解： .xxeaeaxxF 222 )(3)63() .xee2(6( . 10 分xxax28)二次函数 的判别式为ay3)(2得：0,1)2(31)2(14)3(6 令a.令 ，得 ，或 。32,1aa03，,02ex时， ，函数 为单调递增，极值点个数 0； 23a当 0)(xF)(xF12 分当 时，此时方程 有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，1)(x可知函数 有两个极值点. 14 分)(xF
