1、数学运算数学运算的特点：一、题型种类多，解法固定 如何判断属于哪类题型？二、信息量少，曲折 如何才能在有限的信息内构建关系？三、运算难度低，运算量小 需要的是怎样的数学思维？数学运算的方法体系：一、突破口数学的信息有两类，一类是固定数，一类是关联数。关联数是做题的突破口。【例 1】：2010 年某种货物的进口价格是 15 元/公斤，2011 年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了 20%。问 2011 年该货物的进口价格是多少元每公斤？（ ）A.10 B.12 C.18 D.24【练习提示】： 如果遇到题目自己不熟悉或不是有特殊解法的题型时，先要从关联数来作为突破口来进行运算。【例 2】：
2、农民小张在 2010 年种植了水稻、小麦和玉米，收入分别占总收入的 50%、30%和20%，2011 年小张种植的这三种产品的产量不变，价格分别比上年提高了10%、20%和 15%，问 2011 年小张总收入比上年增加了多少？（ ）A.12% B.14% C.16% D.17%【练习提示】： 当题干中所给的数据没有足够的固定数时，应当着重考虑“假设法” 。即假设固定数据，来简化运算过程。【例 3】：一项工程，甲一人做完需 30 天，甲、乙合作完成需 18 天，乙、丙合作完成需 15 天。甲、乙、丙三人共同完成该工程需（ ） 。A. 10 天 B. 12 天 C. 8 天 D. 9 天【练习提示
3、】： 假设法适用的两种情况：一、题目中全是关联数而没给出固定数二、 “三元素”类型的题目仅知道其中一个元素的固定数。【单元练习 1-1】：1阅览室看书的学生中，男生占 25%，又来了一些学生后，总人数增加了25%，男生占总数的 24%，男生增加了( )。A.40% B.23.5% C.44% D.20%2. 某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了 11%和 9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？（ ）A.9.5% B.10% C.9.9% D.10.5%3. 某网店以高于进价 10%的定价销售 T 恤，在售出 2/3 后，以
4、定价的 8 折将余下的 T 恤全部售出，该网店的预计盈利为成本的：A.1.6% B.2.7% C.3.2% D.不赚也不亏4. 商店销售某种商品，在售出总进货数的一半后将剩余的打八折出售，销售掉剩余的一半后在现价基础上打五折出售，全部售出后计算毛利润为采购成本的 60。问如果不打折出售所有的商品，采购成本是销售额的多少？ （ ）A.40 B.45 C.50 D.555、某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打 9 折出售，同样的预算可以比平时多买 10 台电脑。问该公司的预算在平时能买多少台电脑？（ ）A. 60 B. 70 C. 80 D. 90【单元练习 1-2】：1、某钢铁厂生产一
5、种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了 20%。为了推销该种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降 40%，不过销售量比去年增加了 80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？A、4% B、8% C、20% D、54%2、某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了 20%。为了推销该种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降 40%，不过销售量比去年增加了 80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？A、4% B、8% C、20% D、54%3、某游乐园提供打折的团体门票。当
6、团队人数低于 50 时，票价为 10 元/人；团队人数在 51-100 时，票价为 8 元/人；团队人数超过 100 时，票价为 5 元/人。某校甲班有 50 多人，乙班不足 50 人，如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付 944 元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付 530 元。问乙班有多少人？A、46 B、47 C、48 D、494、甲、乙、丙三个工厂承接 A 和 B 两批完全相同的加工订单，如果甲厂和乙厂负责 A 订单而丙厂负责 B 订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚 15 天完成；如在上述条件下甲厂分配 1/3 的生产资源或者乙厂分配 1/5 的生产资源用于 B 订单的生产
7、，则 A、B 两个订单同时完成。问如果合并三个工厂的生产能力，第几天可以完成 A 订单的生产任务？A、22 B、24 C、25 D、265、甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为 4、5、6 棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工？A、37 B、53 C、74 D、1066、服装店买进一批童装，按每套获利 50%定价卖出这批童装的 80%后，按定价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了 390 元，问服装店买进这批童装总共花了的多少元？A、5500 B、6000 C、6500 D、7000二、提问提问内容与方式直接决定着运算的方法。【
8、例 1】：一个三位数的各位数字之和是 16。其中十位数字比个位数字小 3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大 495，则原来的三位数是多少（ ）？A. 169 B.358 C.469 D.736【练习提示】： 问题与题干直接相关，仅需要简单运算就能检验一个选项的正误，那么就可以使用“代入法” 。【例 2】：体育课上，全班同学站成一排按 1 至 5 报数，凡报到 5 的同学出列。余下的同学仍按 1 到 5 报数，同样报到 5 的同学出列。这样进行了 6 轮，还剩下 19 人，则全班共有人数可能为（ ）A.114 B.82 C.74 D.66 【
9、练习提示】： 如果要使用代入法，应直接从“中间选项”开始代入。【例 3】：有 300 名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有 100、80、70 和 50 人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有 70 名找到工作的人专业相同？（ ）A.71 B. 119 C.258 D.277【练习提示】： 问题中出现了“最多/最少” 、 “至多/至少” 、 “保证” 、 “一定”等关键字时，一定要想到“极限”的情况。【单元练习 2-1】：1. 去某地旅游，旅行社推荐了以下两个报价方案：甲方案成人每人 1000 元，小孩每人 600 元；乙方案无论大人
10、小孩，每人均为 700 元。现有 N 人组团，已知1 个大人至少带 3 个小孩出门旅游，那么对于这些人来说（ ）A. 只要选择甲方案都不会吃亏 B. 甲方案总是比乙方案更优惠 C. 乙方案总是比甲方案更优惠 D. 甲方案和乙方案一样优惠2某数加上 5 再乘以 5 再减去 5 在除以 5 结果还是 5，这个数是多少？（ ）A.0 B.1 C.-1 D.53. 有编号为 1-13 的卡片，每个编号有 4 张，共有 52 张卡片。问至少摸出多少张，就能保证一定有 3 张卡片编号相连？A.27 B.29 C.33 D.374.某宾馆一层客房比二层客房少 5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每
11、间 4 人，房间不够，每间 5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每间 3人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间?( )A. 9 B. 11 C. 10 D. 135.某社团共有 46 人，其中 35 爱好戏剧，30 人爱好体育，38 人爱好写作，40 人爱好收藏，这个社团至少有（ ）人以上四项活动都喜欢。A.5 B.6 C.7 D.86.一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的 1/3，第
12、三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体枳之比是多少？A.1：3：5 B.1：4：9 C.3：6：7 D.6：7：8【单元练习 2-2】：1、一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得 125 分，如果甲再多得 4 分，乙再少得 4 分，丙的分数除以 4，丁的分数乘以 4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得了多少分？A、24 B、20 C、16 D、122、将 2 万本书籍分给某希望小学 9 个班的学生。在 9 个班中，其中 1 个班有学生 32 人，其余 8 个班人数相同且在 40 到 50 人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？A、40 B、50 C、60 D、803、学校体育部
13、采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个 80 元和100 元。由于购买数量较多，商店分别给予足球 25%、篮球 20%的折扣，结果共少付了 22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？A、4：5 B、5：6 C、6：5 D、5：44、8 个人比赛国际象棋，约定每两人之间都要比赛一局，胜者得 2 分，平局得 1 分，负的不得分。在进行了若干局比赛之后，发现每个人的分数都不一样。问最多还有几局比赛没比？A、3 B、7 C、10 D、145、加油站有 150 吨汽油和 102 吨柴油，每天销售 12 吨汽油和 7 吨柴油。问多少天后，剩下的柴油是剩下的汽油的 3 倍？（）A、9 B、10 C
14、、11 D、126、在 2011 年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名中，中国中兴公司提交了 2826 项专利申请，日本松下公司申请了 2463 项，中国华为公司申请了1831 项，分别排名前 3 位，从这三个公司申请的专利中至少拿出多少项专利，才能保证拿出的专利一定有 2110 项是同一公司申请的专利？A、6049 B、6050 C、6327 D、6328三、背景内容背景内容的情况能提供一些额外的捷径。【例 1】：某单位有工作人员 48 人，其中女性占总人数的 37.5%，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的 40%，问调来几名女性？A.1 人 B.2 人 C.3 人 D.4
15、 人【练习提示】： 如果问题的背景是人、车、树、房，甚至钱、时间、路程等内容时，它们的数量都不能拆分成小数，分数，而必须是一个整数。【例 2】：20122012的末位数字是？A.2 B.4 C.6 D.8【单元练习 3-1】：1. 某村有甲乙两个生产小组，总共 50 人，其中青年人共 13 人。甲组中青年人与老年人的比例是 2:3，乙组中青年人与老年人的比例是 1:5，甲组中青年人的人数是： A.5 B.6 C.8 D.122大小两个西瓜共重 20 斤，小西瓜比大西瓜每斤贵两分钱，甲用 8 角钱买了那只小西瓜，乙用 2 元 8 角 8 分买了那只大的。问大西瓜比小西瓜重多少斤？A.12 B.1
16、0 C.8 D.63. 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组，则只剩下 8 名男员工；如果按 9 男 5 女搭配分组，只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为（ ） 。A、446 B、488 C、508 D、5764. 某产品售价为 67.1 元，在采用新技术生产节约 10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。问该产品最初的成本为多少元？A. 51.2 B. 54.9 C. 61 D. 62.55. 书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、3 本小说、4 本教材”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边
17、的一本是什么书？A.小说 B.教材 C.工具书 D.科技书6. 根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年 8 月份有 22 个工作日，那么当年的 8 月 1 日可能是：A.周一或周三 B.周三或周日C.周一或周四 D.周四或周日【单元练习 3-2】：1、五名工人按甲乙丙丁戊的顺序轮流值夜班，每人值班 1 天休息4 天。某日乙值夜班，问再过 789 天该谁值班？A、甲 B、乙 C、丙 D、戊2、某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是 70。问小周排名第几？A、7 B、8 C、9 D、103、某班级的一次考试阅卷后，发现有一道选择题
18、的答案有误，正确答案应为 A，但误写为 C，此题分值为 3 分。调整答案时发现，此题未选 A、C 两个选项的人数为班级总人数的 1/3，修改分数后班级平均分提高了 1 分。问选择 A 答案的人数占班级总人数的多少？A、1/2 B、1/3 C、1/4 D、2/54、甲杯中有浓度为 20%的盐水 1000 克，乙杯中有 1000 克水。把甲杯中盐水的一半倒入乙杯中，混合后再把乙杯中盐水的一半倒入甲杯中，混合后又把甲杯中的一部分盐水倒入乙杯中，使得甲乙两杯中的盐水同样多。问最后乙杯盐水的浓度为多少？A6% B7% C8% D9%5、某单位利用业余时间举行了 3 次义务劳动，总计有 112 人次参加。
19、在参加义务劳动的人中，只参加 1 次，参加 2 次和 3 次全部参加的人数之比为541。问该单位共有多少人参加了义务劳动？A、70 B、80 C、85 D、1026、从 A 市到 B 市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年 2 月最后一天是星期三。问当年从 A 市到 B 市的最后一次航班是星期几出发的？A、星期一 B、星期二 C、星期三 D、星期五四、多元关系题干所给的数学信息有可能在关联数等信息上有所缺失，这时可以通过方程式的方法来确定各元素之间的关系。【例 1】：甲购买 3 支签字笔、7 支圆珠笔、1 支铅笔共花费 32 元，乙购买同样价格的笔，其中签字笔 4 支，圆珠笔 10 支，铅笔
20、 1 支，共用去 43 元，问单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支多少钱？A.21 B.11 C.10 D.17【练习提示】： 如果题干中全部都是固定数或者没有明显入手的关联数时，采用方程式法来寻找数字之间的关系，来“构建”突破口 【例 2】：甲、乙两个车间共有 94 个工人，每天共加工 1998 竹椅。由于设备和技术的不同，甲车间平均每个工人每天只能生产 15 把竹椅，而乙车间平均每个工人每天可以生产 43 把竹椅。甲车间每天竹椅产量比乙车间多几把?( )A.1095 B.903 C.73 D.192【练习提示】： 在方程式法中，尽量假设与题干相关的未知数，这样再运算过程中一般要简单一些。【单
21、元练习 4-1】：1.某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：张、王、李平均分为 91分；王、李、陈平均分为 89 分；张、陈平均分为 95 分；那么张得了多少分？（ ）A. 95 B. 76 C. 94 D. 982. 快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路去追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用 6 分、10 分、12 分追上骑车人，现在知道快车每小时行 24千米，中车每小时行 20 千米，那么慢车每小时行多少千米？A.19 B.16 C.15 D.143 某单位今年一月份购买 5 包 A4 纸、6 包 B5 纸，购买 A4 纸的钱比 B5 纸少 5元；第一季度该单位共购买 A4 纸
22、 15 包、B5 纸 12 包，共花费 510 元；那么每包B5 纸的价格比 A4 纸便宜：A1.5 元 B2.0 元 C2.5 元 D3.0 元4. 某单位共有职工 72 人,年底考核平均分数为 85 分,根据考核分数,90 分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为 92 分，其他职工的平均分数是 80 分，问优秀职工的人数是多少？A.12 B.24 C.30 D.425、甲乙两辆型号不同的挖掘机同时挖掘一个土堆，连续挖掘 8 小时即可将土堆挖平。现在先由甲单独挖，5 小时后乙也加入挖掘队伍，又过了 5 小时土堆被挖平。已知甲每小时比乙能多挖 35 吨土，则如果土堆单独让乙挖，需要
23、多少个小时？A、10 B、12 C、15 D、206、A、B、C 三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路 900 米，李庄要修路1250 米。已知 A、B、C 队每天分别能修 24 米、30 米、32 米，A、C 队分别在王庄和李庄修路，B 队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问 B 队在王庄工作了几天？A、9 B、10 C、11 D、12【单元练习 4-2】：1、甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？A、400 B、420 C、440 D、4602、某旅行团共有
24、48 名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的 4 倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？A、48 B、72 C、78 D、843、在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为 80 分，女选手的平均得分为 65分，全部选手的平均得分为 72 分。已知全部选手人数在 35 到 50 之间，则全部选手人数为（ ）A、48 B、45 C、43 D、404、办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装 29 份相同的文件。每个红色文件袋可以装 7 份文件，每个蓝色文件袋可以装 4 份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色
25、、蓝色文件袋的数量分别为（ ）个。A.1、6 B.2、4 C.3、2 D.4、15、一些员工在某工厂车间工作，如果有 4 名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有 4 名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（ ）名。A、36 B、40 C、48 D、726、一名顾客购买两件均低于 100 元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了 27 元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（ ）元。A、42 B、63 C、85 D、96知识体系：基本方法五、排列组合问题排列组合的中心问题是研究给定要求的
26、排列和组合可能出现的情况总数。在考试中出现频率非常高。排列组合问题的解题核心是搞清楚分类、分步的情况，数量掌握排列、组合的运算方式，以及特殊的提问方式和解题方法。【例 1】： 有三个居委会的居民共订 600 份华西都市报 ，每个居委会至少订 199 份，最多订 201 份，则不同的订报方式有（ ）种。 A. 3 B. 5 C.6 D.7【练习提示】： 题目中涉及到“方式” 、 “方法”等字眼，则多半属于“排列组合问题” 。做排列组合问题时，首先要考虑“分类” ，即是按照题目所给的分配方式，是否能够分类，如果有分类的话，具体分成了几类。然后再详细考虑每一类的具体情况，最后用“加减法”的方式来计算
27、结果，分类的判定看“情况是否确定” 。分类完毕后，对于每个小类考虑时，首先考虑是否用“分步”的方法分配，如果是，则用“乘法”解题。 【例 2】：张明去玩具店给儿子买玩具，他准备挑选四种玩具枪中的一种，三种球类中的一类，五种积木中的两种，若不考虑挑选的次序，问可以有几种选择方法？A.120 B.130 C.140 D.150【练习提示】： 在计算每一步或每一类的情况时，要考虑其顺序性，有顺序的话，直接用排列的乘法计算。若无顺序性，则使用组合的计算方法。 从 m 个物体中取出 n 个作为一组，这样的计算方式被称为组合。组合的计算公式记作 Cmn，其计算方法是取 m 中前 n 个最大的相乘积，再除以
28、后 n 个最小数的乘积。比如： C107 =（10987654）（7654321） = C103 Cmn = Cmm-n 【例 3】：甲、乙两个科室各有 4 名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出 4 人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选 1 人，问有多少种不同的选法？A.67 B.63 C.53 D.51【练习提示】： 复杂的排列组合题，其难度主要加在“要求”更多、更复杂，但解题的方法依然是“先判断、再分类、继分步”的思路。不过分类的时候要求更加细致缜密。如果一种分类时其种类太多太杂，那么可以通过“逆向思维”的方式加以考虑。这种题型一般也会出现“最、至、保证”等字眼
29、。 【例 4】：六个人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？A.720 B.60 C.480 D.120【练习提示】： 因为圆形中没有“开头和结尾” ，所以参与排列的每一个元素都可以看成开头排列出实际上相等的一种情况而造成重复，所以，计算 X 个人圆形排列的方法为：A XXX 因为每个类别中都有相对应的重复的部分，在最后计算时需要将重复的部分减去（或除去） ，这样的一种运算方式被称为“剔重” 。 【例 5】：从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有qu（qu 相连且顺序不变）的不同排列有多少种？A.120 B.480 C.720 D.840【练习提示】： 如果题目中的
30、特殊要求涉及到了“相邻” ，那么首先考虑使用捆绑法。 捆绑法的原理其实就是把必须相邻的元素捆绑在一起，看成一个整体，然后再进行相应的排列组合运算。 【例 6】：某道路旁有 10 盏路灯，为节约用电，准备关掉其中 3 盏，已知两端的路灯不能关，并且关掉的灯不能相邻，则有（ ）种关灯方法？A.20 B.40 C.48 D.96【练习提示】： 如果题目中的特殊要求涉及到了“不相邻”的要求，那么首先考虑使用插板法。 插板法的用法是先让“隔板”竖立起来，然后在把不能相邻的元素插在它们中间即可。 回顾-特殊题型-排列组合问题：【单元练习 5-1】：1、南阳中学有语文教师 8 名、数学教师 7 名、英语教师
31、 5 名和体育教师 2名。现要从以上四科教师中各选出 1 名教师去参加培训，问共有几种不同的选法？A.96 种 B.124 种 C.382 种 D.560 种2、把 5 件相同的礼物全部分给 3 个小朋友，使每个小朋友都分到至少一个礼物，分礼物的不同方法一共有（ ）种。 A.3 B.4 C.5 D.63、大学生小陈和小姜想从 4 门课程中各选出 2 门，则小陈和小姜恰有 1 门相同的选法有多少种？A.12 B.24 C.48 D.964、某人射击 8 枪，命中 4 枪，恰有 3 枪连续命中的情形有多少种？A.720 B.480 C.224 D.205、从 2000 到 6000 的自然数中，不
32、含数字 5 的自然数有多少个：A、2188 个 B、2187 个 C、1814 个 D、1813 个6、一名医生给三名学生打疫苗，这种疫苗必须按顺序注射 a、b、c 三针，请问这一共九针有多少种不同的注射顺序。A.1200 B.1440 C.1530 D.1680【单元练习 5-2】：1、盒子里有红、黄、绿三种颜色的大小相等的球，其中红球有 7 个，黄球有 5 个，从盒中任意拿出一个球，拿到黄球的可能性为 1/3，问拿到绿球的可能性是多少？A、1/3 B、1/4 C、1/7 D、1/52、数字 3、5 至少都出现一次的三位数有多少个？A、48 B、52 C、54 D、603、速算比赛，小李全对
33、的概率为 95%，小杨全对的概率为 92%，问这次比赛两人中只有一个人全对的概率为：A、0.046 B、0.076 C、0.122 D、0.8744、某宾馆有 6 个空房间，3 间在一楼，3 间在二楼。现有 4 名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼房间。问宾馆共有多少种安排？A、24 B、36 C、48 D、725、某人要从 A 市经 B 市到 C 市，从 A 市到 B 市的列车从早上 8 点起每 30 分钟一班，全程行驶一小时；从 B 市到 C 市的列车从早上 9 点起每 40 分钟一班，全程行驶 1 小时 30 分钟；在 B 市火车站换乘需用时 15 分钟。如果想在出发当天中午 12
34、 点前到达 C 市，问他有几种不同的乘车方式？A、3 B、2 C、5 D、46、某单位要从 8 名职员中选派 4 人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时参加。问有多少种选派方法？A、40 B、45 C、55 D、60六、行程问题行程问题是数学运算中难度较高的一类题型，其难点在：运动过程复杂，题干所给条件少，运动对象较多。行程问题的核心内容是“路程=速度时间”这三元素之间的相互变换。【例 1】：小英和小明为可测量飞驶而过的火车的长度和速度，他们拿了两块秒表，小英用一块表记下火车从他面前通过所花的时间是 15 秒，小明用另一块表记下了从火车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是 18
35、 秒，已知两根电线杆之间的距离是 60 米，求火车的全长和速度。A.300 米,20 公里/小时 B.250 米,20 米/秒C.300 米,720 公里/小时 D.300 米,20 米/秒【练习提示】： 行程问题的出题方式大多是固定数+行动描述。其解法即是通过行动描述来构建固定数的运算式。 如果运动过程是较为简单的连续运动，那么可以通过“作图法”来直观的反应运动。 如果题目所给的数据较少，难以找到突破口。那么在画图之后，要通过图像和数据比对，来构建运算式。 【例 2】：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达 B 地、乙车到达 A
36、地后均立即按原路返回，第二次在距A 地 60 千米处相遇。求 A、B 两地间的路程是多少千米？A.130 B.150 C.180 D. 200【例 3】：下图是一个边长为 100 米的正三角形，甲自 A 点、乙自 B 点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 150 米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误 10 秒。乙出发后多少分钟能追上甲 ?( )A.3 B.4 C.5 D.6【练习提示】： 周期间歇问题是行程问题中的一种特殊题型，其运动过程较为复杂，遇到这种题型可以直接用周期代入法解决。 如果问题涉及到循环，那可以考虑代入法的使用；如果问题涉及到周期，则应着
37、重从周期情况来进行考虑。 回顾-特殊题型-行程问题：【单元练习 6-1】：1. 甲以每小时 6 千米的速度步行从 A 地前往 B 地，在甲出发 90 分钟时，乙发现甲落下了重要物品，立即骑自行车以每小时 12 千米的速度追甲，终于在上午 11 点追上了甲。问甲出发时间是上午几点？ （ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 102. 某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需 35 秒，而轿车过桥的时间是动车的 3 倍。已知该动车的速度是每秒 70 米，轿车的速度是每秒 21 米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）：A.120 米 B.122.5 米 C.240 米
38、D.245 米3. 公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为 63 公里，乙、丙两车的时速均为 60 公里，但由于水箱故障，丙车每连续行驶 30 分钟后必须停车 2 分钟。早上 10 点，三车到达同一位置，问 1 小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（ ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 114. 甲、乙两地相距 10 千米。A 以每小时 5 千米的速度从甲地步行前往乙地，每行走 60 分钟他要休息 20 分钟。B 以每小时 3 千米的速度从乙地步行前往甲地，每行走 30 分钟他要休息 10 分钟。如果他们都是 8 点整出发，那么他们相遇的时间是（ ）A. 9 点 15 B. 9 点 3
39、5 C. 9 点 40 D. 9 点 505. 甲乙两地相距 20 公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为 4.5 公里/小时，小张速度为 27 公里/小时。出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里？A.8.1 B.9 C.11 D.11.96、小伟从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小伟发现没带物理课本，他立即回家拿书（假设在学校耽误时间忽略不计） ，往返共用 36 分钟，假设小明上坡速度为 80 米/分钟，下坡速度为 100 米/分钟，小明家到学校有多远？A、2400 米
40、B、1720 米 C、1600 米 D、1200 米【单元练习 6-2】：1、环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是 1 米/秒、3 米/秒和 6 米/秒，问小王第 3 次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？A、3 B、4 C、5 D、62、箱子里有大小相同的 3 种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出 3 颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有 2 组玻璃珠的颜色组合是一样的？A、11 B、15 C、18 D、213、甲乙两辆车从 A 地驶往 90 公里外的 B 地，两车的速度比为 56，甲车于上午 10 点半出
41、发，乙车于 10 点 40 分出发，最终乙车比甲车早 2 分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时？A、10 B、12 C、12.5 D、154、某有色金属公司四种主要有色金属总产量的 1/5 为铝，1/3 为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的 1/4，而铅的产量比铝多 600 吨。问该公司镍的产量为多少吨？ A、600 B、800 C、1000 D、12005、某人乘坐缆车下山，发现每隔半分钟就能看到一架对面上山的缆车。如果所有的缆车速度相同，那么每隔几分钟发一架缆车？A、0.25 B、0.5 C、1 D、26、一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比
42、为 4:3。两车相遇后，客车的行驶速度减少 10%，货车的行驶速度增加 20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有 17 公里。东、西两个车站的距离是（ ）公里。A、59.5 B、77 C、119 D、154各单元环节 2 参考答案单元练习 1-21、 【解析】 B。全是百分比的关联数，可以使用假设法，最好假设利润及销量。设去年单件盈利为 100，总销量为 100，则去年总盈利为 100100=10000则今年的单件盈利为 100（1-40%）=60，总销量为 100（1+80%）=180，总盈利为 60180=10800。故总共相比盈利提高了 8%，选 B。2、 【解析】 B。全是百分比
43、的关联数，可以使用假设法，最好假设利润及销量。设去年单件盈利为 100，总销量为 100，则去年总盈利为 100100=10000则今年的单件盈利为 100（1-40%）=60，总销量为 100（1+80%）=180，总盈利为 60180=10800。故总共相比盈利提高了 8%，选 B。3、 【解析】 C。突破口为关联数。两班作为团体购票，需要 530 元。因为 530 是 5 的倍数而不是 8 的倍数，所以两班人数之和为 5305=106 人。又因为两班分别购票之和为 944 元，乙班不足 50 人，故乙班的费用应为 10元的倍数，甲班的费用为 8 的倍数。944 元的尾数是 4，仅能够由甲
44、班提供，说明甲班人数的尾数为 3 或8（38=24,88=64）根据选项，仅有 C 的尾数是 8，即选 C。4、 【解析】 D。关联数多，固定数少，假设法。因为甲分配 1/3 和乙分配 1/5 的效果一样，说明甲的 1/3 等于乙的 1/5，故可以假设甲的效率为 3，乙的效率为 5。两者均是分配 1 给丙工厂。A、B 两批订单相同，分配 1 给丙工厂后订单能同时完成，说明分配之后A、B 订单的工作效率相等，甲乙分配前的效率之和为 8，分配之后的效率之和为7，故说明丙得到 1 效率帮助之后效率为 7，原效率即为 6。如果不进行帮助，甲乙的效率和为 8，丙的效率为 6，丙落后 2 个效率，晚15
45、天完成。总共 15 天内，丙完成了开始时落后的 156=90 份工作。因为丙在开始时每天落后 2 份，所以落后的 90 份工作说明之前工作了902=45 天。则 A 订单的总量为 845=360 份。现在三厂共同生产，所需时间为 360（3+5+6）=25 余 10，说明需要 26 天才能全部完成所有任务，故选 D。5、 【解析】 A。仅知道人均植树的固定数，因此可以使用假设法。假设每科室植树的树木为 4、5、6 的最小公倍数 60 棵，则甲科室有 15 人，乙科室有 12 人，丙科室有 10 人，三科室总共有 37 人，故选 A。注意问题中的“至少”有多少职工，因此不选 C。6、 【解析】 C。仅知道利润比预期少了 390 元，可以使用假设法。假设成本为 100，总销量是 10。则定价是 150，原价销售 8 件，打折后销售2 件。如果不打折，销售总额为 15010=1500，打折后的销售总额为
