1、徐州市 2017 届高三年级摸底考试数学参考公式：锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面面积， 是高13VShh一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集 ，集合 ，则 1,02U,2AUA2已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的实部为 z(i)iz3函数 的最小正周期为 cos26yx4右图是一个算法的流程图，则输出 的值为 x5某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员 120 人，其中足球、篮球、排球的成员分别有 40 人、60 人、20 人现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取 24 人来调查活动开展情况，则在足球兴
2、趣小组中应抽取 人6若随机地从 1，2，3，4，5 五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 7设实数 ， 满足 则 的最大值为 xy0,1,xy 32xy8设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则 的值为 nSna2a416S99将斜边长为 的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 410如图 ， 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 分别为椭圆xOyA1B22:1(0)xyCab的 右、下、 上顶点 ， 是椭圆 的右焦点若 ， 则椭圆 的离心率是 FC1F11若 ，且 ，则 的值为 tan2t2cosin3sin()12已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
3、 b195ab13已知 为圆 的直径， 为圆 的弦 上一动点， ， ，则 的取值范围是 ABOMOCD8AB6CDMAB 14已知函数 ， 若 的最大值是 ，则实数 的取值范围是 2()|4|2|fxax3,()fx0a二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15 （本小题满分 14 分）在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ABC ABCabctan2Bta3C开始结束Yx2，n1输出 xnn+1x2x+1n3N（第 4 题）y（第 10 题）xOFAB2B1（1）求角 的大小；A（2）若 ，求 的长
4、3cb16 （本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱 中，已知 ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，且1BCDEBC1F1C求证：1EFD（1）直线 平面 ；A（2）直线 平面 117 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ， xOy2:40Cxy(1,)A(,2)B（1）若直线 平行于 ，与圆 相交于 ， 两点， ，求直线 的方程；lABMNl（2）在圆 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的个数；若不存在，说明理CP1ABP由18 （本小题满分 16 分）某城市有一直角梯形绿地 ，其中 ， km， km现过ABCD90ABD2AC1B边界 上的点 处铺设一条
5、直的灌溉水管 ，将绿地分成面积相等的两部分CDEEF（1）如图，若 为 的中点， 在边界 上，求灌溉水管 的长度；EF（2）如图，若 在边界 上，求灌溉水管 的最短长度F19 （本小题满分 16 分）在数列 中，已知 ， ， ，设 为 的前 项和na13a1123nna*NnSan（1）求证：数列 是等差数列；n（2）求 ；nS（3）是否存在正整数 ， ， ，使 成等差数列？若存在，求出 ， ， 的值；pqr()r,pqr pqr若不存在，说明理由20 （本小题满分 16 分）设函数 ， 为正实数2()lnfxaxABCD（第 18 题图）EF ABCD（第 18 题图）EFy（第 17 题）
6、xOBA CABACADAEDAA1B11C1FF（第 16 题）（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2a()yfx1,()f（2）求证： ；1()0f（3）若函数 有且只有 个零点，求 的值xa21选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 41：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图， 是圆 的直径，弦 ， 的延长线相交于点 ，OAE过 作 的延长线的垂线，垂足为 EBF求证： 2DECB选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分）求椭圆 在矩阵 对应的变换作用下所得的曲线的方程2:19xyC
7、1032AC选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角sin()3x坐标系，求曲线 的直角坐标方程CD选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设 ， ， ，求证： 0c|1|3cx|cy|23|xyc【 必 做 题 】 第 22 题 、 第 23 题 ， 每 题 10 分 ， 共 计 20 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， PABCDPABCD90BAD， ， 为
8、的中点4ADM（1）求异面直线 ， 所成角的余弦值；（2）点 在线段 上，且 ，若直线 与NNN平面 所成角的正弦值为 ，求 的值4523 （本小题满分 10 分）A BCDEF(第 21A 题)OAB CDNPMB（第 22 题）设 ， *nN()372nf（1）求 ， ， 的值；()f（2）证明：对任意正整数 ， 是 8 的倍数fn参考答案与评分标准一、填空题1 21 3 423 58 6 7 8810,359 10 11 1236 13 14635139,0(,5二、解答题15 （1）因为 ， ， ，tan2BtaCAB所以 2分()tan()ACt1，4分23又 ，所以 6分(0,)A
9、4A（2）因为 ，且 ，sinta2coB22sincos1B又 ，所以 ，8分(0,)5i同理可得， 10分310sinC由正弦定理，得 14分25is310cBb16 （1）连结 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，EDEC1所以 且 ，1B 1所以四边形 是平行四边形，2 分所以 且 ，又 且 ，1 11BA 1所以 且 ，A所以四边形 是平行四边形，4 分1ED所以 ，又因为 ， ，1 11DC平 面 1ADC平 面所以直线 平面 7 分（2）在正三棱柱 中， 平面 ，1BC1B又 平面 ，所以 ，AA又 是正三角形，且 为 的中点，所以 ，9 分 B又 平面 ， ，1,11C所以 平面
10、，D又 平面 ，所以 ，11 分EF1BCDEF又 ， 平面 ， ，,A1ADA BA CADAEDAA1 B11 C1FF（第 16 题）所以直线 平面 14 分EF1ADC17 （1）圆 的标准方程为 ，所以圆心 ，半径为 C2()4xy(2,0)C2因为 ， ， ，所以直线 的斜率为 ，lB ,0,l1设直线 的方程为 ， 2 分m则圆心 到直线 的距离为 4 分l202md因为 ，2MNAB而 ，所以 ， 6 分2()Cd()4解得 或 ，0m故直线 的方程为 或 8 分l0xy0xy（2）假设圆 上存在点 ，设 ，则 ，P(,)2()4y，222(1)11PAB即 ，即 ， 10 分
11、3xy2因为 ，12 分2|0()所以圆 与圆 相交，()422()4xy所以点 的个数为 14 分18 （1）因为 ， ， ，ADC1B90ACBD所以 ，2 分3取 中点 ，BG则四边形 的面积为 ，EF2EFGABCDBSS梯 形 梯 形即 ，13()21313()2解得 ，6 分6所以 (km)221()3EF故灌溉水管 的长度为 km8 分（2）设 ， ，在 中， ，DabABC 221(3)所以在 中， ，AC D所以 ，60所以 的面积为 ，EF 1sin6024EFSabab又 ，所以 ，即 12 分32ABCDS梯 形 343在 中，由余弦定理，得 ， 23当且仅当 时，取“
12、 ”ab故灌溉水管 的最短长度为 km16 分EF319 （1）证明：因为 ，所以 ，2 分1123nn132nna又因为 ，所以 ，a=a ABC（第 18 题图）EFGDABCD（第 18 题图）EF所以 是首项为 1，公差为 的等差数列 4 分3na2（2）由（1）知 ，所以 ，6 分()3nn1(32)nna所以 ，121()()3nS 所以 ，3 +1)(5)()(33nn 两式相减得 2 12()2nn ，11)13(3)(39nn1()3n所以 10 分nS（3）假设存在正整数 ， ， ，使 成等差数列，pqr()r,pqrS则 ，即 2qr23pr由于当 时， ，所以数列 单调
13、递减n 1()0nnan又 ，所以 且 至少为 2，所以 ， 12 分pq 13pq1233q当 时， ，又 ， 13pq 0r所以 ，等式不成立14 分3pr当 时， ，2q所以 ，所以 ，所以 ( 单调递减，解唯一确定 )419r19r3rnS综上可知， ， ， 的值为 ， ， 16 分p220 （1）当 时， ，则 ，2 分2a()lnfxx1()42fx所以 ，又 ，1f10所以曲线 在点 处的切线方程为 4 分()yf,()f 0y（2）因为 ，设函数 ，lnfaln1gx则 ， 6 分1()xgx令 ，得 ，列表如下：0(,)1()()x0g极大值 所以 的极大值为 ()g所以 8
14、 分1()ln1fa（3） ， ，211()2axfx0x令 ，得 ，因为 ，0f28844a2804a所以 在 上单调增，在 上单调减()fx2,)a2(,)所以 10 分84ff设 ，因为函数 只有 1 个零点，而 ，20ax()fx(1)0f所以 是函数 的唯一零点1()fx当 时， ， 有且只有 个零点，010f ()f此时 ，解得 12 分284aa下证，当 时， 的零点不唯一0x()fx若 ，则 ，此时 ，即 ，则 1102814a01a由（2）知， ，又函数 在以 和 为端点的闭区间上的图象不间断，()fa()fx0所以在 和 之间存在 的零点，则 共有 2 个零点，不符合题意；
15、0xf()f若 ，则 ，此时 ，即 ，则 10()1ff2814aa10a同理可得，在 和 之间存在 的零点，则 共有 2 个零点，不符合题意ax()fx()fx因此 ，所以 的值为 16 分0x21选做题本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A证明：连结 ，因为 为圆 的直径，O所以 ，90又 ， ，EFBAE则 四点共圆，,D所以 ，5 分F又 ，即 ，C BAEC所以 10 分BEAFBAF2BB设椭圆 上的点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，1(,)xy (,)xy则 ， 5 分1
16、10332y A BCDEF (第 21A 题)O则 代入椭圆方程 ，得 ，13,2xy2194xy21xy所以所求曲线的方程为 10 分2C由 得 ，5 分sin()313sincos又 ， ，coxy所以曲线 的直角坐标方程为 10 分60xyD因 为 ， 所 以 ，|1|32|3c故 5 分221xyxy|，3c故 10 分|2|xy22 （1）因为 平面 ，且 平面 ，PABCD,ABCD所以 ， ，又因为 ，所以 两两互相垂直90,P分别以 为 轴建立空间直角坐标系，,xyz则由 ， 可得24， ， ， ， ，(0,)A()B(2)(0,4)(,04)P又因为 为 的中点，所以 MC
17、1M所以 ， ，2 分1,AP所以 cos|，0()1463所以异面直线 ， 所成角的余弦值为 5 分APBM（2）因为 ，所以 ，则 ，N(0,)4) (1,2)MN， ，(0,2)BC2设平面 的法向量为 ，,xyzm则 即 令 ，解得 ， ，,PDm40.20y1z所以 是平面 的一个法向量7 分(2,01)PBC因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，MN45所以 ，2|cos, (1)m解得 ，104所以 的值为 10 分23 （1）代入求出 ， ， 3 分()8f(2)56f(3)8fAB CDNPMB（第 22 题）yxz（2）当 时， 是 8 的倍数，命题成立4 分1n()f假设当 时命题成立，即 是 8 的倍数，k()372kf那么当 时， ，1()4(71)kkfk 因为 是偶数，所以 是 的倍数，747又由归纳假设知 是 8 的倍数，3(2)所以 是 8 的倍数，(1)fk所以当 时，命题也成立n根据知命题对任意 成立10 分*nN
