1、2.2.2 反证法,第二章2.2直接证明与间接证明,学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点反证法,王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”,思考1,本故事中王戎运用了什么论证思想？,答案,答案运用了反证法思想.,思考2,反证法解题的实质是什
2、么？,答案,答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.,(1)反证法的概念一般地，由证明pq转向证明：綈qrt，t与 矛盾，或与 矛盾，从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法.(2)反证法常见的几种矛盾与假设矛盾；与 、定理、公式、定义或 矛盾；与矛盾(例如，导出01,00之类的矛盾).,梳理,假设,某个,綈q,真命题,q,数学公理,已被证明了的结论,公认的简单事实,(3)反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的 ；做出与命题 相矛盾的假设；由 出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 不真，于是 成立，从而间接地证明命题为真.,条件和结论,结论,假
3、定,假设,原结论,题型探究,类型一用反泟法证明否定性命题,证明,a，b，c成等比数列，b2ac， ,ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立.,对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.,反思与感悟,跟踪训练1已知正整数，a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数.,证明,证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾.假设不成立，a，b，c不可能都
4、是奇数.,类型二用反证法证明“至多、至少”类问题,例2a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明,证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾.所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：,反思与感悟,证明,跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：
5、由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.,证明,类型三用反证法证明唯一性命题,例3求证：方程2x3有且只有一个根.,证
6、明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根.下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的.假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则 3, 3，两式相除得 1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾.假设不成立，从而原命题得证.,反思与感悟,用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.,证明,跟踪训练3求证：两条相交直线有且只有一个交点.,证明设两直线为a、b，假设结论不成立，即有两
7、种可能：无交点；至少有两个交点.(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点.,当堂训练,1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角,答案,2,3,4,5,1,2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小
8、于60C.有一个内角大于60 D.每一个内角都大于60,答案,2,3,4,5,1,3.“abC.ab D.ab或ab,答案,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于cC.ab D.a与b相交,答案,证明,2,3,4,5,1,5.已知f(x)x2pxq.(1)求证：f(1)f(3)2f(2)2；,证明f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.,证明,(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 .,证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|
9、中至少有一个不小于 不成立，,则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.因为|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，这与|f(1)|2|f(2)|f(3)|2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，,2,3,4,5,1,规律与方法,用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,本课结束,
