1、浅谈建模的策略及应用船营教师进修学校 朴海英数学课程标准 (修改稿)指出课程设计要符合数学本身的特点,体现数学的精神实质;要符合学生的认知规律和心理特征,有利于激发学生的学习兴趣;要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。在培养目标上也作了修改,提出了“四基” 。即 基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 “四基”的提出称为这次新课标修订的“神来之笔” 。一、观点描述。数学模型是近些年发展起来的新学科,是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题,并在此基础上利用数学
2、的概念、方法和理论进行深入的分析和研究,从而从定性或定量的角度来刻画实际问题,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。二、建模策略数学课程标准倡导以“问题情境建立模型解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式,并在教材中初步体现。1精选生活情境,激发建模兴趣。数学模型都具有现实的生活背景,这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“统一长度单位”模型时,可以创设这样的情境:让学生用身边熟悉的铅笔、文具盒、小刀、橡皮等长短不一的物体量数学书的长度,结果学生量出的数据各种各样,谁也不知道数学书的具体长度,这时需要寻求一种新的策略,于是构建“统一长度单位”的模型成为学生的需求,同时
3、也揭示了模型存在的背景与适用的条件。 2感知积累表象,培育建模基础。感性材料是学生建立数学模型的基础,因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料,多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系,为数学模型的准确构建提供平台。如“表内乘法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“2-6 的乘法口诀 ”的算法,初步了解乘法的意义,学会能用找规律的方法算出几个相同加数的和,感知乘法口诀的来源及编制的方法;接着采取半扶半放的方式学习“7 、8 的乘法口诀” ,进一步引导学生感知归纳法、演绎法更广的适用范围;最后学习“9 的乘法口诀” ,运用以前已有的思想和方法灵活解决相关的计算问
4、题。在此过程中,学生经历了观察、操作、实践等活动,充分体验了“表内乘法”的内涵,为形成“表内乘法”的模型奠定了坚实的基础。3跃进升华表象,构建数学模型。具体生动的情境及肤浅的生活经验是学生构建数学模型的基础,如果教师不能引导学生通过现象看本质,实现“鲤鱼跳龙门”式的飞跃,就无法建模。如“平行与相交”一课,如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材,而没有透过现象看本质的过程,当学生提取“平行线”的模型时,呈现出来的一定是形态各异的具体事物,而不是具有一般意义的数学模型。 “平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变” 。因此,教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直
5、线间的距离。可以让学生通过如下活动来引导认识过程:提出问题:为什么两条直线永远不相交?动手实验思考:在两条平行线间作垂线。量一量这些垂线的长度,你发现了什么?你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗?经历这样的学习过程,学生对平行的理解必定走向半具体、半抽象的模型,从而构建起真正的数学认识,完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。4提炼方法思想,优化建模过程。不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决,核心问题都在于数学思想方法的运用,它是数学模型的灵魂。如“平行四边形的面积”一课教学,在建构面积公式这一模型的过程中要突出与之相伴的数学思想方法:一是
6、转化,将未知平行四边形的面积转化成已知长方形的面积;二是演绎思想,让学生探索规律,进而为其他规则平面图形的面积进行方法与思想的渗透。重视数学思想方法的提炼与体验,可以催化数学模型的建构,提升建构的理性高度。5融入现实生活,拓展模型外延。从具体的问题经历抽象提炼的过程,初步构建起相应的数学模型,还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实,使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如“鸡兔同笼”的问题模型,是通过研究“鸡” 、 “兔”建立起来的,但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此,教师要带领学生继续扩展考察的范围,分析当情境、数据变化时模型的稳定性。可以出示如下问
7、题让学生分析:“甲、乙两个车间共有 126 人,如果从甲车间每8 人中选一名代表,从乙车间每 6 人中选一名代表,正好选出 17 名代表。甲、乙两车间各有多少人?”这样,使模型的外延不断得以丰富和拓展。三、建模的方法途径开展数学建模活动, ,不能仅仅是看重结果,更要关注的是建模的过程,更多培养思维能力,特别是创造能力。因此,在小学数学教学中,教师要转变观念,革新课堂教学模式,以“建模”的观点来处理教学内容。1结合教学内容,开展建模活动。人教版数学教材中的大部分内容已经按照建模的思路编排,教师要多从建模的角度解读教材,充分挖掘教材中蕴含的建模思想,精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境,将实际
8、问题数学化,建立模型,从而解决问题。2利用实践活动课,进行建模指导。可以结合教材内容,整合各知识点,使之融进生活背景,产生好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如教材中安排了“角的大小”这个模型,我让学生用图钉把两个硬纸条钉在一起做一个活动的角,让学生动一动,变一变,想办法让角变大变小,怎样知道它是一个直角等活动,让学生建立“角的大小与两边的长短无关,与两边叉开的大小有关”的数学模型。3改编教材习题,加强建模教学。教材中有些问题需要改编,使其成为建模的有效素材。如:“一个正方形面积是 8 平方厘米,求它四边中点组成的小正方形的面积。 ”让学生通过做对称轴,用平移互补的方法,探讨出大正方形的面积
9、与小正方形面积之间的关系后,建立起关系模型,进而解决问题。二、 “数学模型”的应用活用“数学模型”可以在很大程度上帮助学生深刻领会所学知识,顺利构建数学体系,从而大大提高学生解决实际问题的能力,使学生数学素质得以提升。1解决实际问题。要学会把复杂问题纳入已有模式之中,使原有模型成为构建和解决新问题的工具。例如:“爸爸今年 30 岁,明明今年 8 岁,10 年后爸爸比明明大几岁?”以前解决的问题都是求一个数比另一个数大几的问题,现在出现了 3 个数,我们可以把它变成以前学过的数学模型,计算 10 年后爸爸与明明的年龄差,引导学生发现 10 年后的年龄差与现在的年龄差有什么关系,利用原认知模型解题
10、,进而培养学生能够以原认知模型的“不变”应数学问题的“万变”的举一反三和触类旁通能力及思想。2用“旧模型”构建 “新模型” 。数学的概念、法则、关系等都是数学模型,并且总是建立在其他数学模型的材料、模型的应用及体现在对新知的逐级构建上。如“万以内数的读写法”是一个模型,在教学“亿以内数的读写法 ”时可以放手让学生自主探究,在其过程中,旧模型被调用,为构建更高一级的法则模型发挥重要作用。随着知识的不断更新,学生头脑中的认知结构不断得到重组优化,旧模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或统一,使得数学模型更具有了概括性的特征。3、运用生活实例进行探究成因,预测未来。如对统计中城乡人口的变化,中国男
11、女平均寿命的变化,教师要指导学生从对比中获得中国城市化进程的发展思想,及随着人们生活水平的提高,医疗条件的改善,人们的寿命会越来越长,由此产生社会保险及卫生保障的问题意识,从身边的具体事例中培养学生的情感、态度、价值观。四、注意的问题:1、因材施教,循序渐进。结合学生的实际水平、分层次逐步推进。注意开始时起点要低,形式应有利于更多学生能参与。2、开源扩流,学以致用。向“源”的方向展开,教师应向学生介绍知识的产生、发展的背景;向“流”的方向深入,引导学生了解知识的功能,在实际生活中的作用,了解数学应用,并从中找出“数学建模”与数学应用的“切入点”引导学生在学中用,在用中学。3、灵活机动,激发兴趣。在开展“数学建模 ”教学时,应该看重学生的参与过程,采用多种形式,调动学生主动思考的积极性,培养学生进取精神和创造意识。4、要处理好生活、方法思想与基础知识、基本技能的关系。5、对学生的建模成果要有儿童喜闻乐见的形式进行表述,以培养学生建模的信心及兴趣。总之、为了学生未来生活、工作和学习的需要,教师可以通过各种途径,采用各种思想进行建模教学,使学生充分感知数学与生活的紧密联系,让他们从已有的生活经验出发亲历数学过程,提炼方法思想,焕发数学教学的生机,铸造数学学科的灵魂。