1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013 课标全国,文 1)已知集合 M=x|-3b0)的左、右焦
2、点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,22+22PF2F1F2,PF1F2=30,则 C 的离心率为( ) .A. B. C. D.36 13 12 33答案:D解析:如图所示,在 RtPF1F2 中,|F 1F2|=2c,设|PF 2|=x,则|PF 1|=2x,由 tan 30= ,得 x= c.|2|12|=2=33 233而由椭圆定义得,|PF 1|+|PF2|=2a=3x,a= x= c,e= .32 3 =3=336.(2013 课标全国,文 6)已知 sin 2= ,则 cos2 =( ) .23 (+4)A. B. C. D.16 13 12 23答案:A解析:由半角公式可
3、得,cos 2(+4)= .1+(2+2)2 =1-22 =1-232=167.(2013 课标全国,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=( ) .A.1+12+13+14B.1+12+132+ 1432C.1+12+13+14+15D.1+12+132+ 1432+ 15432答案:B解析:由程序框图依次可得,输入 N=4,T=1,S=1,k=2;T= ,S=1+ ,k=3;12 123T= ,S=1+ ,k=4;132 12+132T= ,S=1+ ,k=5;1432 12+132+ 1432输出 S=1+ .12+132+ 14328.(2013 课标全国,文
4、 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ).A.acb B.bcaC.cba D.cab答案:D解析:log 25log231,log231 0,即 log231log32log520,cab.123 1259.(2013 课标全国,文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ) .答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A
5、.10.(2013 课标全国,文 10)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF| ,则l 的方程为( ).A.y=x-1 或 y=-x+1B.y= (x-1)或 y=- (x-1)33 33C.y= (x-1)或 y=- (x-1)3 3D.y= (x-1)或 y=- (x-1)22 22答案:C解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1.当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
6、设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK 中,由 ,得 ,|=| 3= +4解得 x=2t,则 cosNBK= ,|=124NBK=60,则GFK=60,即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 k=tan 60= ,故直线方程为 y= (x-1).3 3当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y=- (x-1),故选 C.311.(2013 课标全国,文 11)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) .A.x0R,f(x0)=0B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形C.若 x0 是
7、f(x)的极小值点,则 f(x)在区间( -,x0)单调递减D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0答案:C解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x 0)上不单调,故 C 不正确.12.(2013 课标全国,文 12)若存在正数 x 使 2x(x-a)x- (x0).(12)令 f(x)=x- ,该函数在(0,+)上为增函数 ,可知 f(x)的值域为( -1,+),故 a-1 时,存在正数 x 使原不等式(12)成立.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题 第24
8、题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.(2013 课标全国,文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 . 答案:0.2解析:该事件基本事件空间 =(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有 10 个,记 A=“其和为5”=(1,4),(2,3)有 2 个,P(A)= =0.2.21014.(2013 课标全国,文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 = . 答案:2解析:以 为基底 ,则 =0, 而
9、,=12+,= ( )=- |2+| |2=- 22+22=2.=(12+)12| 12515.(2013 课标全国,文 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA 为半径的322 3球的表面积为 . 答案:24解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,V O-ABCD= S 正方形 ABCD|OO1|= ( )2|OO1|= ,13 13 3 322|OO1|= ,|AO1|= ,322 62在 RtOO1A 中,OA= ,即 R= ,|1|2+|1|2=(322)2+(62)2=6 6S 球 =4R2=24.16.(2013 课标全国,文 16)
10、函数 y=cos(2x+)(-0.所以 f(x)在(-,0),(2,+)单调递减,在(0,2)单调递增.故当 x=0 时,f( x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2 时,f( x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2.(2)设切点为(t,f( t),则 l 的方程为 y=f(t)(x-t)+f(t).所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=t- =t+ =t-2+ +3.()() -2 2-2由已知和得 t(-,0)(2,+).令 h(x)=x+ (x0),则当 x(0,+)时 ,h(x)的取值范围为2 ,+);2 2当 x(-,-2)时,h(x )的取值范围是(- ,-3
11、).所以当 t(-,0)(2,+)时,m( t)的取值范围是(- ,0)2 +3,+).2综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是( -,0)2 +3,+).2请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(2013 课标全国,文 22)(本小题满分 10 分) 选修 41:几何证明选讲如图,CD 为ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C 四点共圆.(1
12、)证明:CA 是ABC 外接圆的直径;(2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值.解:(1)因为 CD 为ABC 外接圆的切线 ,所以DCB= A.由题设知 ,=故CDBAEF,所以 DBC=EFA.因为 B,E,F,C 四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA= CFE=90.所以CBA=90,因此 CA 是ABC 外接圆的直径.(2)连结 CE,因为CBE=90,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DBBA=2DB2,所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2.8而 DC2=DBDA=3DB
13、2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值为 .1223.(2013 课标全国,文 23)(本小题满分 10 分) 选修 44:坐标系与参数方程已知动点 P,Q 都在曲线 C: (t 为参数)上,对应参数分别为 t= 与 t=2(02),M 为 PQ 的中点.=2,=2(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有 P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos +cos 2,sin +sin 2).M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数,02).=+
14、2,=+2,(2)M 点到坐标原点的距离d= (02).2+2=2+2当 = 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点 .24.(2013 课标全国,文 24)(本小题满分 10 分) 选修 45:不等式选讲设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ca ;13(2) 1.2+2+2解:(1)由 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得 a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c) 2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以 3(ab+bc+ca)1,即 ab+bc+ca .13(2)因为 +b2a, +c2b, +a2c,2 2 2故 +(a+b+c)2(a+b+c),2+2+2即 a+b+c.2+2+2所以 1.2+2+2
