2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题.doc

1、 12011 年“ 北约”13 校联考自主招生数学试题2012 年北约自主招生数学试题1、求 的取值范围使得 是增函数；x 12)(xxf2、求 的实数根的个数；076x3、已知 的 4 个根组成首项为 的等差数列，求 ；)2)(2(nm41nm4、如果锐角 的外接圆的圆心为 ，求 到三角形三边的距离之比；ABCO5、已知点 ，若点 是圆 上的动点，求 面积的最小值。)0,2(,02yxABC6、在 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？1,27、求使得 在 有唯一解的 ；axx3sinsi4n),0a8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对

2、于任意的正整数 ， 必可表示成 的形式，其中nn)21(1sNs22012 年自主招生北约联考数学试题解答342013 年北约自主招生数学试题解析1以 和 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？23解析：显然，多项式 的系数均为有理数，且有两根分别为23()(12fxx和 .于是知，以 和 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大3 3于 5.5若存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 ，其两根分别432()gxabcxde为 和 ，其中 不全为 0，则：231,abcde420(4)(2)ceg bd3 33127()(6)40abcdeaabc0即方程组： ，有非 0 有理数解.4

3、2(1)27033(4)65acebdac由（1）+（3 ）得： （6）1bd由（6）+（2 ）得： （7）0由（6）+（4 ）得： （8）34由（7） （5 ）得： ，代入（7） 、 （8 ）得： ，代入（1） 、 （2 ）知：a0bc.于是知 ，与 不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数0debcde,ade不超过 4 的有理系数多项式 ，其两根分别为 和 .()gx23综上所述知，以 和 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5.2312在 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车，每一行每一列只6有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从 6 行中选取 3 行

4、停放红色车，有 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选6C择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有 5 种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有 4 种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有 3！=6 种选择。所以共有 种停放汽车的方法.365103已知 ，求 的值 .225,xyx323xy解析：根据条件知： 323()(5)(5) 140xy由 两式相减得 故 或25,xyx2xyy26若 则 ，解得 .于是知 或 .xy25x16x16xy16xy当 时，16323 224()5043504(5)3870xyxyxxx.8708当 时16xy

5、323 22415()043504(5)3870xyxxx.()2xy y8716（2 ）若 ，则根据条件知： ，2()(2)()2xxyxy于是 ，2(5)()106xyy进而知 .22xy于是知： .323415()016xx综上所述知， 的值为 或 .y834如图， 中， 为 边上中线， 分别ABCD,DMN的角平分线，试比较 与 的大,DBC小关系，并说明理由.解析：如图，延长 到 ，使得 ，连接NE.易知 ，所以 .又因为BEM、 BNE分别为 的角平分线，所以,AD，知 为线段 的垂直平分线，所以90D.所以 .CMB5数列 满足 ，前 项和为 ，求 .na1n1,42nnSa20

6、13解析：根据条件知： .2 214 4nnnaa又根据条件知： .12112, 5Sa7所以数列 .1221:,5,4nnnaaa又 .令 ，24(2)n 12nba则 ，所以 .即 .1121,3nb 1nb3对 ，两边同除以 ，有 ，即 .令 ，na 1124na124n2nac则 ， ，于是知 .所以134nc12ac3()nc.于是知： .,()nn 2012012013 39a6模长为 1 的复数 ，满足 ，求 的模长.ABC、 、 ABABC解析：根据公式 知， .于是知：z1,1ABCABC( )()( )ABABCA.31ABC所以 的模长为 1.7最多能取多少个两两不等的正

7、整数，使得其中任意三个数之和都为素数.解析：所有正整数按取模 3 可分为三类： 型、 型、 型.3k132k首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为 ， 型数为 ， 型数为 ，3ka1kb2c则 ，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两()(2)()bcac类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类 型的数至3(012)kr、 、少取到三个，设其中三个分别为 ，3arbcr、 、则 ，不可能为素数.所以每类数最多只能取两(3)()()()arbc个.结合上述两条，我们知道最多只能取 个数，才有可能满足题设条件.24另一方面，设所取的

8、四个数为 1、7 、5、11，即满足题设条件.8综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8已知 ，满足 ，且1232013aaR、 、 、 、 1232013aa，求证：4001.1232013解析：根据条件知:， （123420131232013()()()()()aaaaa 1）另一方面，令 ，则12342013m中每个数或为 ，或为 .设其中有 个 ，1234201aaa、 、 、 、 k个 ，则：(0)km12342013()()()(2013)(2013)akmkkm（2）由（1） 、 （2 ）知：（3）(0)km而 为奇数，不可能为 0，所以 .于是知：3.123

9、42120131,aaaa从而知： ，即得 .同理可知： .命题得证.01 32013a9对任意的 ，求 的值.632cos6cos415s解析：根据二倍角和三倍角公式知： 632cos41522 2(cs3)6(cos)15(cos)6 2 2so 15(cos1)6424 232c(cs8scs)(8cs6(30cs5).10910已知有 个实数，排列成 阶数阵，记作 ，使得数阵中的每一行从左到mnmnmxnija右都是递增的，即对任意的 ，当 时，都有 .现将123i、 、 、 、 1212ijija的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的 阶数阵，mxnija n记作

10、 ，即对任意的 ，当 时，都有 .试判断ijjn、 、 、 、 12i12ijij中每一行的 个数的大小关系，并说明理由.mxnij解析：数阵 中每一行的 个数从左到右都是递增的，理由如下：xnija显然，我们要证数阵 中每一行的 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对mxnij于任意 ，都有 ，其中 .123i、 、 、 、 (1)ijija231jn、 、 、 、若存在一组 .令 ，其中 ，(1)pqa(1)()kkqiqm、 、 、 、.则当 时，都有 .也123,mii tp(1)(1)(1)ttiqitqpqpaaa即在 中，至少有 个数小于 ，也即 在数阵 的第 列中，(iq、

11、、 、 、 )ppmxnij至少排在第 行，与 排在第 行矛盾.ppqa所以对于任意 ，都有 ，即数阵 中每一行的 个数从左123i、 、 、 、 (1)ijijamxnija到右都是递增的.2011 年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注 意 事 项 ：1 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 。2 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 ， 写 在 本 试 卷 上 无 效 。3 考 试 结 束 后 ， 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题

12、3 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1 设 复 数 z 满 足 且 ， 则|5|2z|z（ A） （ B） （ C） （ D）4534312【 答 案 】 D102 在 正 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， M， N 分 别 为 PA， PB 的 中 点 ， 且 侧 面 与 地 面 所 成 二面 角 的 正 切 值 为 。 则 一 面 直 线 DM 与 AN 所 成 交 角 的 余 弦 值 为2（ A） （ B） （ C） （ D）13161812【 答 案 】 B3 过 点 的 直 线 与 曲 线 相 切 ， 且 不

13、 是 切 点 ， 则 直 线(,)l32yx(,)的 斜 率 是l（ A） 2 （ B） 1 （ C） （ D）12【 答 案 】 C4 若 ， 则 的 最 小 值 和 最 大 值 分 别 为322cosA（ A） （ B） （ C） （ D）1,13,31,212,【 答 案 】 B5 如 图 ， O1 和 O2 外 切 于 点 C， O1， O2 又 都 和 O 内 切 ， 切 点 分 别 为A， B。 ， 则,A（ A） cosin0（ B） i2（ C） si（ D） in0【 答 案 】 B 或 C？6 已 知 异 面 直 线 所 成 60角 ， A 为 空 间 中 一 点 ， 则

14、过 A 与 都 成 45角 的,ab ,ab平 面（ A） 有 且 只 有 一 个 （ B） 有 且 只 有 两 个（ C） 有 且 只 有 三 个 （ D） 有 且 只 有 四 个【 答 案 】 B7 已 知 向 量 ， ， ， 。 则(0,1)a31,2b31,2c(1,)xyzabc的 最 小 值 为22xyz（ A） 1 （ B） （ C） （ D） 2433【 答 案 】 BB A O1 O O2 C 118 AB 过 抛 物 线 焦 点 F 的 弦 ， O 为 坐 标 原 点 ， 且 ， C 为 抛 物24yx 135OFA线 准 线 与 x 轴 的 交 点 ， 则 的 正 切 值

15、 为ACB（ A） （ B） （ C） （ D）542323【 答 案 】 A9 如 图 ， 已 知 ABC 的 面 积 为 2， D， E 分 别 为 边 AB， 边 AC 上 的 点 ， F 为 线 段DE 上 一 点 ， 设 ， 且 ， 则 BDF 面 积 的 最 大 值 为,DFxyz1yzx（ A） （ B）8271027（ C） （ D）146【 答 案 】 D10 将 一 个 正 11 边 形 用 对 角 线 划 分 为 9 个 三 角 形 ， 这 些 对 角 线 在 正 11 边 形 内 两 两不 相 交 ， 则（ A） 存 在 某 种 分 法 ， 所 分 出 的 三 角 形

16、都 不 是 锐 角 三 角 形（ B） 存 在 某 种 分 法 ， 所 分 出 的 三 角 形 恰 有 2 个 是 锐 角 三 角 形（ C） 存 在 某 种 分 法 ， 所 分 出 的 三 角 形 至 少 有 3 个 锐 角 三 角 形（ D） 任 何 一 种 分 法 所 分 出 的 三 角 形 都 恰 有 1 个 锐 角 三 角 形【 答 案 】二 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。11 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）已 知 ABC 不 是 直 角 三 角 形 。（ I） 证 明 ： ；tanttantatnCABC（

17、II） 若 ， 且 的 倒 数 成 等 差 数 列 ，3Bsi2,si2求 的 值 。cos212 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）已 知 圆 柱 形 水 杯 质 量 为 a 克 ， 其 重 心 在 圆 柱 轴 的 中 点 处 （ 杯 底 厚 度 及 重 量 忽 略 不 计 ，且 水 杯 直 立 放 置 ） 。 质 量 为 b 克 的 水 恰 好 装 满 水 杯 ， 装 满 水 后 的 水 杯 的 重 心 还 在 圆柱 轴 的 中 点 处 。（ ） 若 ， 求 装 入 半 杯 水 后 的 水 杯 的 重 心 到 水 杯 底 面 的 距 离 与 水 杯 高 的 比 值 ；2b（ ） 水 杯

18、内 装 多 少 克 水 可 以 使 装 入 水 后 的 水 杯 的 重 心 最 低 ？ 为 什 么 ？BACDEF1213 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）已 知 函 数 ， ， ， 令 ， 。2()xfab()f123f1x1()nnfx（ ） 求 数 列 的 通 项 公 式 ；n（ ） 证 明 ： 。12xe14 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）已 知 双 曲 线 （ ） ， ， 分 别 为 C 的 左 、 右 焦 点 ， P 为 C2:xyCab0,ab1F2右 支 上 一 点 ， 且 使 ， 又 F1PF2 的 面 积 为 。123FP23a（ ） 求 C 的 离 心 率 e；

19、（ ） 设 A 为 C 的 左 顶 点 ， Q 为 第 一 象 限 内 C 上 的 任 意 一 点 ， 问 是 否 存 在 常 数， 使 得 恒 成 立 。 若 存 在 ， 求 出 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明(0)22A理 由 。15 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）将 一 枚 均 匀 的 硬 币 连 续 抛 掷 n 次 ， 以 表 示 未 出 现 连 续 3 次 正 面 的 概 率 。np（ ） 求 和 ；123,p4（ ） 探 究 数 列 的 递 推 公 式 ， 并 给 出 证 明 ；n（ ） 讨 论 数 列 的 单 调 性 及 其 极 限 ， 并 阐 述 该 极 限

20、的 概 率 意 义 。p解 答 ：（ 1） ， ， ， ， ， ， ， 。 。 。213784136p5461p782（ ） 如 果 第 n 次 出 现 反 面 ， 那 么 前 n 次 不 出 现 连 续 3 次 正 面 和 前 次 不 出 现 连 续 3n次 正 面 是 等 价 的 ， 所 以 这 个 时 候 不 出 现 连 续 3 次 正 面 的 概 率 是 ；12p 如 果 第 n 次 出 现 正 面 ， 第 次 出 现 反 面 ， 那 么 前 n 次 不 出 现 连 续 3 次 正 面 和 前1次 不 出 现 连 续 3 次 正 面 是 等 价 的 ， 所 以 这 个 时 候 不 出

21、现 连 续 3 次 正 面 的 概 率 是2；14np13 如 果 第 n 次 出 现 正 面 ， 第 次 出 现 正 面 ， 第 次 出 现 反 面 ， 那 么 前 n 次 不 出1n2n现 连 续 3 次 正 面 和 前 次 不 出 现 连 续 3 次 正 面 是 等 价 的 ， 所 以 这 个 时 候 不 出 现 连2续 3 次 正 面 的 概 率 是 。38np 如 果 第 n 次 出 现 正 面 ， 第 次 出 现 正 面 ， 第 次 出 现 正 面 ， 那 么 已 经 出 现 连12n续 3 次 正 面 ， 所 以 不 需 要 考 虑 。综 上 ， 有 （ ） 。 其 中 ， ，

22、。12348nnnpp01p21p我 们 先 定 义 几 个 函 数 ：f(n)： 将 一 枚 均 匀 的 硬 币 连 续 抛 掷 n 次 ， 至 少 有 连 续 3 次 相 同 ， 总 共 有 f(n)种 情 况 。g(n)： 将 一 枚 均 匀 的 硬 币 连 续 抛 掷 n 次 ， 至 多 连 续 2 次 相 同 （ 可 以 有 不 同 的 连 续 2次 相 同 ） ， 且 最 后 2 次 连 续 相 同 ， 总 共 有 g(n)种 情 况 。h(n)： 将 一 枚 均 匀 的 硬 币 连 续 抛 掷 n 次 ， 至 多 连 续 2 次 相 同 （ 可 以 有 不 同 的 连 续 2次

23、相 同 ） ， 且 最 后 2 次 不 相 同 ， 总 共 有 h(n)种 情 况 。显 然 ， 下 面 的 等 式 成 立 ：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化 简 得 ：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这 个 著 名 数 列 就 不 再 啰 嗦 了最 后 由 g(n)求 得 f(n)当 然 ， 最 后 的 结 果 是 f(n)/2,因 为 连 续 正 与 连 续 负 的 情 况 是 相 等 的2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.

24、将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1 ）在锐角 中，已知 ,则 的取值范围为（ ）ABCBC cos(A) (B) (C) (D) 20,120,12,1（2 ）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种（3 ）正四棱锥 中，侧棱与底面所成角为 ，侧面与底面所成二面角为 ，

25、SABCD14侧棱 与底面正方形 的对角线 所成角为 ，相邻两侧面所成二面角为SBABCDA， 则 之间的大小关系是（ ）,(A) (B) (C) (D) （4 ）向量 ， 。若 ， 则（ ）ae1tRate(A) (B) (C) (D) ()()()()ae（5 ）若复数 的实部为 0， 是复平面上对应 的点，则点 的轨迹是( )1wZ1w,Zxy(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6 ）椭圆长轴长为 4，左顶点在圆 上，左准线为 轴，则此椭圆离22(4)4xy心率的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 1,81,21,8213,（7 ）已知三棱锥

26、的底面 为正三角形，点 在侧面 上的射影 是SABCASBCH的垂心，二面角 为 30，且 ，则此三棱锥的体积为（ H2）(A) (B) (C) (D) 12323434（8 ）如图，在锐角 中， 边上的高 与 边上的高 交于点 。以ABCCEABDH为直径作圆与 的另一个交点为 。已知 ， ， ，则DEG2507E的长为（ ）AG(A) (B) (C)10 (D) 4254（9 ）已知数列 的通项公式为 ， 。 是数列的前 项na2lg(1)3nan1,2nS和。则 （ ）limS(A) 0 (B) (C) (D) 3l2llg（10 ）已知 ，当 取得最大值时，在61ix(,0),15ix

27、102ix这十个数中等于 的数共有（ ）1210, 6(A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11 ）(本小题满分 14 分)15在 中， 的对边分别为 。已知ABC, ,abc2sin1cos2ABC 求 的大小 若 ，求 的值22cbaosA（12 ）(本小题满分 14 分)已知两点 ，动点 在 轴上的射影是 ，且,0,ABPyH2PABH 求动点 的轨迹 的方程PC 已知过点 的直线交曲线 于 轴下方不同的两点 ，设 的中点为 ，x,MNR过 于点 作直线 ，求直线 斜率的取值范围。R0,2QRQ（13 ）(本小题

28、满分 14 分)系统中每个元件正常工作的概率都是 ，各个元件正常工作的事件相互独(01)p 立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。（1 ） 某系统配置有 个元件， 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式21kk（2 ） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。(14) (本小题满分 14 分)记函数 证明：当 是偶数时，方程2(,12!nnxfn没有实根；当 是奇数时，方程 有唯一的实根 ， 且 。)0nfx ()0nfxn2n(15) (本小题满分 14 分)某乒乓球培训班共有 位学员，在

29、班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好n参加过一场双打比赛。试确定 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。162012 年华约数学参考答案一、选择题ACBCA B 略 DDC二、解答题11 解：（1）C =2/3；（2） =3/4cos2AB12 解：（1 ） 设 P(x,y),则 H(0，y),由 4-,2xy),-(, 22xPH即）得 （2 ） 令 CD: 代入 ，整理得)0(2myx42y84)1(2因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C( )，D( )两点所以上式有两个负根，由1,yx2,018214)(32160222my根据韦达定理，得 CD 中点 M 的坐标

30、为 )12,(),(22 myxM代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率) 得221km所以，k= ,(1 .)1,2(45)(2)213 解答：显然 ,nkKnkpCP1102注意到 ，211212nkkknk所以 =1KPnnkp012)(=nkknnkkpC12021212 )(17=nkkn nknknknk pCpCpC 120 2112121212 )()()(=nkkn nnknknknk 120 210211201212 )()()(=)()()( 20 21212 ppCknnk kkkkp11212 =)()()(120112 ppCkknnkk = )()(

31、12pCPkKkK因此，当 p 时， 递增，当 P 时， 递减。k21kp14 证明：用数学归纳法证明 有唯一解 且严格单调递增， 无实数解，显0)(12xfn12nx0)(2xfn然 n=1 时，此时 有唯一解 ，且严格单调递增，而 无f11 212xf实数解，现在假设 有唯一解 且严格单调递增， 无实数解，于0)(12xfn12nx0)(2xfn是注意到 时，对任意的 0kn 有 x+2k+10,于是,212nnff，所以)1()!)!()(012 kxkxfkn ,0)12(nf又因为 所以由 严格递增知 有唯一根 0 ，,12nf 12fn12xfn 121nx对于 有 ，所以（， ）

32、上，递减，在)(x )()(2xfn 12n（ ，+）上，递增，所以12n ,0)!2()!2()(mi 11122 nxxff nnnRx因此， 无实数解02fn综上所述，对任意正整数 n,当为偶数时 无解，当为奇数 有唯一0)(xfn 0)(xfn18解 。nx再证 ，事实上，由 )(12xfn的严格单调性，只需验证 ，注意到12n 0)(12nxf)(12xfn )(f ，由上述归纳法证明过程中， ，所以)!(!，f 0)12()!12)!()!2(12112 nxnxnnn因此 ，综上所述，原命题得证。12nx15 假设比赛了 K 场，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以

33、=2k，也就是说2nC4k=n(n-1)，那么得到 n=4l 或者 4l+1,期中 l N，下边证明，对于任意的 n=4l，或者 4l+1,其中 l N,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于 L 使用数学归纳法：（1 ） 当 L=1 的时候， N=5，此时假设这 5 名选手为 A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2 ） 设当 L=M 时结论成立，则 L=M+1 时，设 4M+5 选手为 A,B,C,D,E，由归纳假设，可以安排 E,21211,mFF之间的21211, mFF比赛，使得他们之间每两位选手的作为

34、队友恰好只参加过一次比赛，还剩下 A,B,C,D，E,相互的比赛和 A,B,C,D 与2121,m之间的比赛，A,B,C ，D 与2121,m之间的比赛安排如下：A 与 B ,A 与 B ,C 与 D ,C 与 D ,满足要求。1LF2L1FL2LF1最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的 4M+5 位选手之间的的比赛了。由数学归纳法得证，N=4L 时，对 L 使用数学归纳法，可以类似方法证明（略） 。综上所述，N 的所有可能取值是 N=4L 或 4L+1，其中 L N.2013 年华约自主招生数学试题解析1.设 ，且 中元素满足：任意一个元素的各数位的数字互|10,AxNBA不相同；任意一个

35、元素的任意两个数位的数字之和不等于 9；（1 ）求 中的两位数和三位数的个数；B（2 ）是否存在五位数，六位数？19（3 ）若从小到大排列 中元素，求第 1081 个元素.B解析：将 0，1，9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对，考虑（ 0，9） ， （1，8） ， （2，7） ，（3，6） ， （4，5） ， 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.（1）两位数有 个；22147CA三位数有 个；3325 3（2 ）存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数；不存在六位数，由抽屉原理易知，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和

36、为 9，与 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9 矛盾，因此不存在六B位数.（3 ）四位数共有 个，因此第 1081 个元素是四位数，且4433522178CA是第 577 个四位数，我们考虑千位，千位 1，2 ，3 的四位数有 个，3342576CA因此第 1081 个元素是 4012.2.已知 ，求 .1sin3co5xycos(),in()xy解析：由 ， ，平方相加得 ，另一1sin3xy1s5208cos()5xy方面由得 ，由得2ico23xy，除以得 ，因此1sinsi5xy 3tan25xy.2tansi()171xyxy3.点 在 上，点 在 上，其中 ，且 在

37、轴AykxBykx20,1OABk,ABy同侧.（1）求 中点 的轨迹 ；MC（2）曲线 与抛物线 相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线2()xpy方程.解析：（1）设 ，则 ，由12(,)(,)(,ABx12,ykx20得 ，即 ，又21OABk2x2211()()4xx，于是 的轨迹方程为 ，于是 中点121212,xykM21ykAB的轨迹 的焦点为 ，实轴长为 2 的双曲线.MC,0（2）将 与 联立得 ，曲线 与抛物线相2()xpy21yxk20ypkC切，故 ，又因为 ，所以 ，且2420k,0p1，因此两切点分别在定直线 上，两切点,ypxp 2,x为 ，于是在 处的切线

38、方程分别为(2,)(,)xDkEy(2,)Dk，即 ，()yxp21p在 处的切线方程分别为 ，即 .(2,)Ek(,)D2()yxkp21yxp4.7 个红球，8 个黑球，一次取出 4 个.（1）求恰有一个红球的概率；（2）取出黑球的个数为 ，求 的分布列和期望（ ） ；XEX（3）取出 4 个球同色，求全为黑色的概率.解析：（1）恰有一个红球的概率为 ；13784569C（2） 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，X，4 177815 50(0),()9CPPX，2 134787884 415 51560(),(),()99CCPX即 的分别列为X0 1 2 3 4P1950958195

39、61951095所以 .4860234E21（事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为 ，无需繁杂计算）832415EX（3 ）取出 4 个球色，全为黑色的概率为 .48723C5.数列 各项均为正数，且对任意 满足 .na*nN21(0)nnac为 常 数（1 ）求证：对任意正数 ，存在 ，当 时有 ；MM（2 ）设 是 前 项和，求证：对任意 ，存在 ，当1,nnbScab0d*N时有 .N10nd（1 ）证明：因为对任意 满足 ，所以 ，又因为 ，*N0na21nnac0c所以 ，21121nnac所以 ，21221 1()()na a故对任意正数 ，存在 ，当时有 .M*21mx,

40、MNNanM（注： 表示不超过 的最大整数）21a21（2 ）由 得nnc2(1)nnaca所以 ，所以 ，211 1nnnnnca c11ninSbca，且由（1）有 ，所以 ，对任意 ，存10nnS21na21na0d在 ，当 时有 .21max,NdcN10nSdc6.已知 是互不相等的正整数， ，求 .,yz|()()xyzzx,yz解析：本题等价于求使 为整(1)11xz22数的正整数 ，由于 是互不相等的正整数，因此 ，不失一,xyz,xyz |1xyzzx般性不妨设 ，则 于是 ，结合 为正整数，从而13zx.当 时， 即 于是 ，所以1,2z|xy|y2xyx，但另一方面 ，且

41、 是正整数，所以 矛盾，不合题意.yz2当 ，此时 ，所以 ，即 ，z|21xyx1xyx1yx所以 ，即 ，结合 知 ，经检验仅有 符合题意.24534,55因此符合题意的正整数 有,z(,)(,35)(32,),(2,),xyz7.已知 ；()1xfe（1 ）求证：当 时 ；0()f（2 ）数列 满足 ，求证：数列 递减且 .nx11,nnxexnx12n证明：（1）当 时 在 递减，所以 .()0()ff ,)()0fx（2 ）由 ，因为 ，所以 即 ，所以数列 递减，1nnxenx1nnxe1nn下列证明 ，用数学归纳法证明，设 ，则2n()xg，由（1）知当 时 ，所以 ，所以22()()xefxg0x()f()0gx在 递增，由归纳假设 得 ，要证明 只需证0,)n12nng12n明 ，即 ，故只需证明 ，考虑函数 ，112nnxe12(ngxe1()ne2()xhxge因为当 时 ，所以 ，所以02()x 22()()()0xxxh在 递增，因为 ，所以 ，即 ，由归纳法知，()hx,)10n1()0n12()nge23对任意正整数 成立.12nxn