1、从应试角度谈谈解析几何的解题策略学勉中学数学组 郭天平一、近几年浙江省理科高考数学试题的考查内容年份 选择题 填空题 解答题题号 知识点 题号 知识点 题号 知识点2008 年7双曲线离心率、准线11椭圆定义20抛物线性质、轨迹方程的求法2009 年9双曲线离心率、渐近线21椭圆方程、抛物线与直线的位置关系，求变量的最值2010 年8双曲线渐近线方程13抛物线的性质与定义21椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系，求直线方程及参数范围2011 年8椭圆、双曲线、圆方程 17椭圆方程（向量共线）21直线与抛物线、直线与圆位置关系，求直线方程二、解析几何主干知识的考查方向直线与圆主要考查与倾
2、斜角、斜率、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题，以及对称问题、直线与圆的位置关系问题。圆锥曲线主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，考查方式大致有以下三类：考查圆锥曲线的概念与性质；求圆锥曲线的方程和求轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系（理科椭圆、抛物线，文科抛物线） 。 三、解析几何解决的主要问题：（1）几何特征问题；（2）运用圆锥曲线定义解决的问题；（3）轨迹问题；（4）最值范围问题；（5）探索性问题四、解题思路总结纵观近几年高考，各地解析几何的难度都不是太大。更重视的是对于通法的掌握，而不是技巧的运用。近几年浙江数学高考以一选择题一填空题和一解答题构成，分值为 2
3、4 分；选择与填空题要讲究方法，节省时间提高解题的效率；解答题必须规范自己的答题步骤，尽量向步骤多要分，同时不断提高自己的分析能力与运算能力，努力做到在解题中不失分。1.选择、填空题的解题高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本要求是四个字准确、迅速。圆锥曲线就是用代数知识解决几何问题，所以有关圆锥曲线的试题大多数涉及比较复杂的计算，但考试时间有限导致我们没有很多的时间去计算，因此在解答有关圆锥曲线问题时能否利用圆锥曲线的几何性质及数形结合的思想将复杂问题简单化成为我
4、们能否取得选择题、填空题的高分的关键。1） 特值法：例 1.已知双曲线 ，过其右焦点 的直线交双曲线于 两点， 的垂直平分线交1692yxFQP,轴于点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. xMPQF35654585提示：取 为双曲线实轴的两端点，则 为坐标原点，则 = = ，故选 B.MPQFac262）极限法：例 2.已 知 点 是 椭 圆 上 的 动 点 , 为 椭 圆 的 左 右 焦 点 ， 为 坐P1862yx0x21 O标 原 点 ， 若 是 的 角 平 分 线 上 的 一 点 ， 且 =0， 则 的 模 的 取 值 范 围M21FF1PM是 （ ）A (0,3) B (
5、,3) C (0,4) D (0, )2提 示 ： P 点 趋 近 于 短 轴 顶 点 ， 趋 近 于 坐 标 原 点 ， 点 趋 近 于 靠 近 的 长 轴 顶 点 ，MP1F趋 近 于 ， 所 以 选 D.M1F3）数形结合：例 3（ 2012 绍 模 ） 已 知 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 点 在 椭 圆21,F012bayx P上 ， 且 ,记 线 段 与 轴 的 交 点 为 , 为 坐 标 原 点 ， 若 与 四 边 形21PF1PyQOOQF1的 面 积 之 比 为 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 （ ）QO2:A. B. C. D.323232413简析：
6、 相似 ,QOF121PF，cSPF33121 由椭圆定义得, a2由 ， 勾 股 定 理 得 ， 建 立 的 恒 等 关21cba,系 解 得 离 心 率 。例 4（ 2012 诸 模 ） 为 双 曲 线 的 右 焦 点 ， 点 在 双 曲 线 上 ，0,cF012bayx P线 段 与 圆 相 切 于 点 ,且 ,则 双 曲 线 的 离 心 率 等 于 （ ）PF932byxQFPA. B. C. D.522提 示 ： 圆心 , , ,03cA32cFc1,得 ， 故QFP21/P1且 ，再由双曲线定义得 ，b1 ab2由勾股定理 得224ca5e从考试的角度来看，解选择题只要选对就行,填
7、空题填对即可，至于用什么“策略” ，可以“不择手段” ，但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，应该充分挖掘题目的“个性” ，观察分析它的几何特性，寻求简便解法，或者利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.2.解答题的解题策略解析几何的解答题通常都是高考的重点、热点、难点这类试题往往以解析几何知识为载体，综合三角、数列、函数、不等式、方程等知识，所涉及到的知识点较多，对考生综合应用知识能力的要求较高考生在解答时，往往都有同感：计算量太大、无从下手对此，我认为解决这一类问题的关键在于xyF1 F2
8、PQOxyF1 F(c,0)PQO A要把握解析几何的本质，注意规范解题步骤，步步为营，向步骤得分例.（2012 杭月考）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，直线1C21xyab0ab3与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切:2Lyx（1）求椭圆 的方程； 1C（2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直1F21LF2L于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .1LP22LM（i）求点 的轨迹 的方程；MC（ii）若 为点 的轨迹 的过点 的两条相互垂直的弦，求四边形 面积的最小BDA, 22FABCD值解：（1） ， ， . 3e2eca2b132
9、ab直线 与圆 相切， ， ， .:Lyx2y223a椭圆 的方程是 . 1C213（2） （i） 2|MPF动点 到定直线 的距离等于它到定点 的距离，1:Lx2(1,0)F动点 的轨迹 是以 为准线， 为焦点的抛物线2C2点 的轨迹 的方程为： . 4yx（ii）由题意可知：直线 的斜率存在且不为零， ，A)0,1(2F设 ，)1(:xkyAC),(),(21yxC则： 0)(4222 kk由韦达定理知： ，221)(kx12x由抛物线定义知： )()(21CFA设点或线 （点坐标化，曲线方程化） 联立方程组 （消元，考虑判别式，得韦达定理）审题求解轨迹方程2221 )1(4)()( kk
10、x而： :kyBCAD同样可得： )1(4)(422k则 )(82122 kBDACSBD（当且仅当 时取“ ”号）3)(81所以四边形 面积的最小值是 32 规范的解题步骤如下：）审题）求解方程（需细心谨慎）设点或线 （点坐标化，曲线方程化）联立方程组 （消元，考虑判别式，得韦达定理）找关系式 （可能会涉及到向量等工具 用好韦达定理）求解 （运算可能会很复杂，而且最后求得的式子可能会是高次的，需要配方等，如若是求解范围，技巧性可能会更强）在求解解析几何综合题时，知晓下面的几点必定对你大有裨益：（1） 求轨迹方程的问题，牢记“定义法，相关点法，坐标法，消参法，交轨法” 。（2） 直线与圆锥曲线
11、相交的问题，牢记“联立方程，韦达定理，把要求的量转化为韦达定理” ，当然别忘记判别式0 的范围限制和直线斜率不存在的情况。（3） 涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法。（4） 求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量” 。不等式的来源可以是0 或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围。（5） 涉及线段分点 的问题，牢记“用向量转化为坐标，或考虑几何意义” 。（6） 求最值的问题，牢记“转化为只含一个变量的目标函数，确定变量的范围”或“考虑几何意义” 。（7） 存在探索性问题，牢记“利用几何性质把问题转化” ，例如转化为方程根存在问题。总之，要解答好解析几何问题，要多从几何特征去分析，解答题从规范解题步骤上下功夫，争取分步得高分找关系（面积与对角线长）求解
