1、110.3 二项式定理1二项式定理二项式定理 (a b)nC anC an1 bC an rbrC bn(nN *)0n 1n rn n二项展开式的通项公式Tr1 C an rbr，它表示第 r1 项rn二项式系数 二项展开式中各项的系数 C (r0,1,2， n)rn2.二项式系数的性质(1)0 k n 时，C 与 C 的关系是 C C .rn n rn rn n rn(2)二项式系数先增后减中间项最大当 n 为偶数时，第 1 项的二项式系数最大，最大值为 ；当 n 为奇数时，第 项和n2 2n 12项的二项式系数最大，最大值为 C n和 C n.n 32 n 12 n 12(3)各二项式系
2、数和：C C C C 2 n，0n 1n 2n nC C C C C C 2 n1 .0n 2n 4n 1n 3n 5n知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)C an rbr是二项展开式的第 r 项( )rn(2)二项展开式中，系数
3、最大的项为中间一项或中间两项( )(3)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关( )(4)在(1 x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项( )(5)若(3 x1) 7 a7x7 a6x6 a1x a0，则 a7 a6 a1的值为 128.( )21(1 x)7展开式中 x2的系数是_答案 21解析 Tr1 C 17 rxrC xr，令 r2，则 T3C x2，即展开式中 x2的系数为r7 r7 27C 21.272在( )n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是x2 13x_答案 7解析 由题意有 n8， Tk1 C ( )8 k(1) k ，
4、k812 483xk6 时为常数项，常数项为 7.3已知 C 2C 2 2C 2 3C 2 nC 729，则 C C C C _.0n 1n 2n 3n n 1n 2n 3n n答案 63解析 逆用二项式定理得 C 2C 2 2C 2 3C 2 nC (12) n3 n729，即 3n3 6，0n 1n 2n 3n n所以 n6，所以 C C C C 2 6C 64163.1n 2n 3n n 0n4设( x1) 21 a0 a1x a2x2 a21x21，则 a10 a11_.答案 0解析 a10， a11分别是含 x10和 x11项的系数，所以 a10C ， a11C ，112 1021所
5、以 a10 a11C C 0.1021 112题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数例 1 已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 123x)(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思维点拨 由通项公式写出第 6 项，令 x 的幂指数为 0.解 (1)通项公式为Tr1 .3Cnrx2331()()2rnrn3因为第 6 项为常数项，所以 r5 时， 0，即 n10.n 253(2)令 2，得 k2，10 2k3故含 x2的项的系数是 C 2 .210(12) 454(3)根据通项公式，由题意Error!令 r (rZ)，则 102 k3 r， k5 r，
6、10 2k3 32 kN， r 应为偶数 r 可取 2,0，2，即 k 可取 2,5,8，第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C 2x2，C 5，210(12) 510( 12)C 8x2 .810(12)思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可(1)(2014湖北改编)若二项式(2 x )7的展开式中 的系数是 84，则实数ax 1x3a_.(2)设二项式( x )6(a0)的展开式中 x3的系数为 A，常数项为 B，若 B4 A，则
7、a 的值是ax_答案 (1)1 (2)2解析 (1)二项式(2 x )7的展开式的通项公式为axTr1 C (2x)7 r( )rC 27 rarx72 r，r7ax r7令 72 r3，得 r5.故展开式中 的系数是 C 22a584，解得 a1.1x3 57(2)因为( x )6展开式的通项公式为axTr1 ( a)rC x6 r.r6324所以 A( a)2C ， B( a)4C ，26 46由 B4 A，得( a)4C 4( a)2C ，解得 a2.46 26又 a0，所以 a2.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例 2 在(2 x3 y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的
8、和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和思维点拨 应用赋值法解 设(2 x3 y)10 a0x10 a1x9y a2x8y2 a10y10，(*)各项系数和为 a0 a1 a10，奇数项系数和为 a0 a2 a10，偶数项系数和为a1 a3 a5 a9， x 的奇次项系数和为 a1 a3 a5 a9， x 的偶次项系数和为a0 a2 a4 a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为 C C C 2 10.01 10 10(2)令 x y1，各
9、项系数和为(23) 10(1) 101.(3)奇数项的二项式系数和为 C C C 2 9，01 210 10偶数项的二项式系数和为 C C C 2 9.10 310 910(4)令 x y1，得到 a0 a1 a2 a101，令 x1， y1(或 x1， y1)，得 a0 a1 a2 a3 a105 10，得 2(a0 a2 a10)15 10，奇数项系数和为 ；1 5102得 2(a1 a3 a9)15 10，偶数项系数和为 .1 5102(5)x 的奇次项系数和为 a1 a3 a5 a9 ；1 5102x 的偶次项系数和为 a0 a2 a4 a10 .1 5102思维升华 (1)“赋值法”
10、普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如( ax b)n、( ax2 bx c)m (a、 bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x15即可；对形如( ax by)n (a， bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可(2)若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，偶数项系数之和为 a1 a3 a5f 1 f 12.f 1 f 12已知 f(x)(1 x)m(12 x)n (m， nN *)的展开式中 x 的系数为 11.(1)求 x2的系数取最小值时 n 的值；(2
11、)当 x2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和解 (1)由已知得 C 2C 11， m2 n11，1m 1nx2的系数为 C 2 2C 2 n(n1)2m 2nm m 12 (11 m) 2 .m2 m2 (11 m2 1) (m 214) 35116 mN *， m5 时， x2的系数取得最小值 22，此时 n3.(2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时， m5， n3， f(x)(1 x)5(12 x)3.设这时 f(x)的展开式为f(x) a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1， a0 a1 a2 a3 a4 a52 53 359，令 x1， a0
12、a1 a2 a3 a4 a51，两式相减得 2(a1 a3 a5)60，故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.题型三 二项式定理的应用例 3 (1)已知 2n2 3n5 n a 能被 25 整除，求正整数 a 的最小值；(2)求 1.028的近似值(精确到小数点后三位)思维点拨 (1)将 2n2 3n变形为 4(51) n，然后展开(2)1.028(10.02) 8，展开后取前几项的值解 (1)原式46 n5 n a4(51) n5 n a4(C 5nC 5n1 C 52C 5C )5 n a0n 1n n 2n n 1n n4(C 5nC 5n1 C 52)25 n4 a，0n 1n
13、 n 2n显然正整数 a 的最小值为 4.(2)1.028(10.02) 8C C 0.02C 0.022C 0.0231.172.08 18 28 386思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)设 aZ，且 0 a13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a_.(2)SC C C 除以 9 的余数为_127 27 27答案 (1)12 (2)7解析 (1)51 2 012 a(521) 2 012 a C 522
14、 012C 522 02 12 12 012011C 52(1) 2 011C (1) 2 012 a.2 0112 2 012因为 52 能被 13 整除，所以只需 C (1) 2 012 a 能被 13 整除，2 012即 a1 能被 13 整除，且 0 a13，所以 a12.(2)SC C C 2 2718 91127 27 27(91) 91C 99C 98C 9C 109 19 89 99(C 98C 97C )2.09 19 89因为 C 98C 97C 是整数，09 19 89所以 S 被 9 除的余数为 7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(14 分)(1)已知( x
15、1) 6(ax1) 2的展开式中含 x3的项的系数是 20，求 a 的值(2)设(5 x )n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M N240，求展x开式中二项式系数最大的项易错分析 解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系规范解答解 (1)( x1) 6(ax1) 2的展开式中 x3的系数是 C C (1)36 26aC a26 a215 a20，3 分16 x3的系数为 20，6 a215 a2020， a0， a .6 分52(2)依题意得， M4 n(2 n)2， N2 n，8
16、分于是有(2 n)22 n240，(2 n15)(2 n16)0，2 n162 4，解得 n4.10 分要使二项式系数 C 最大，只有 k2，12 分k47故展开式中二项式系数最大的项为T3C (5x)2( )2150 x3.14 分24 x温馨提醒 (1)对于( ax b)n展开式中，第 k1 项的二项式系数是指 C ，第 k1 项的系数kn是 C an kbk.kn(2)对于( ax b)n展开式中各项系数之和，令 x1 即得：( a b)n；( ax b)n展开式的二项式系数之和为 C C C 2 n.0n 1n n方法与技巧1通项 Tr1 C an rbr是( a b)n的展开式的第
17、r1 项，而不是第 r 项，这里rnr0,1， n.2二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 C ，C ，C ，它只0n 1n n与各项的项数有关，而与 a， b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a， b 的值有关3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法4运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系失误与防范1项的系数与 a、 b 有关，二项式系数只与
18、 n 有关，大于 0.2求二项式所有系数的和，可采用“赋值法” 3关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法4展开式中第 r1 项的二项式系数与第 r1 项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1(2014四川改编)在 x(1 x)6的展开式中，含 x3项的系数为_答案 15解析 因为(1 x)6的展开式的第 k1 项为 Tk1 C xk， x(1 x)6的展开式中含 x3的项为 Ck6x315 x3，所以系数为 15.2682(2014湖南改编)( x2 y)5的展开式中
19、 x2y3的系数是_12答案 20解析 ( x2 y)5展开式的通项公式为 Tr1 C ( x)5 r(2 y)rC ( )5 r(2)12 r512 r5 12rx5 ryr.当 r3 时，C ( )2(2) 320.35123(4 x2 x)6(xR)展开式中的常数项是_答案 15解析 设展开式中的常数项是第 k1 项，则 Tk1 C (4x)6 k(2 x)kC (1)k6 k6k212x2 kx2 kxC (1) k212x3 kx，12 x3 kx0 恒成立 k4，k6 T5C (1) 415.464若在( x1) 4(ax1)的展开式中， x4的系数为 15，则 a 的值为_答案
20、4解析 ( x1) 4(ax1)( x44 x36 x24 x1)( ax1)， x4的系数为4a115， a4.5若(1 x)(1 x)2(1 x)n a0 a1(1 x) a2(1 x)2 an(1 x)n，则a0 a1 a2(1) nan_.答案 (3n1)32解析 在展开式中，令 x2 得 33 23 33 n a0 a1 a2 a3(1) nan，即 a0 a1 a2 a3(1) nan3 1 3n1 3 (3n1)326若 C C (nN *)且(3 x)n a0 a1x a2x2 anxn，则3n 123 n 623a0 a1 a2(1) nan_.答案 256解析 3 n1 n
21、623， n4，令 x1，则 a0 a1 a2(1) nan(31) 4256.7若将函数 f(x) x5表示为 f(x) a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a5(1 x)5，其中a0， a1， a2， a5为实数，则 a3_.答案 10解析 f(x) x5(1 x1) 5，它的通项为 Tr1 C (1 x)5 r(1) r，r59T3C (1 x)3(1) 210(1 x)3， a310.258(2013课标全国改编)设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，( x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a7 b，则 m_.答案 6解析 ( x
22、y)2m展开式中二项式系数的最大值为 C ，m2 aC .同理， bC .m2 m 1213 a7 b，13C 7C .m2 m 1213 7 . m6. 2m ！m！ m！ 2m 1 ！ m 1 ！ m！9已知(12 x)7 a0 a1x a2x2 a7x7.求：(1) a1 a2 a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6；(4)|a0| a1| a2| a7|.解 令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a71.令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a73 7.(1) a0C 1， a1 a2 a3 a72.07(2)()2，得 a
23、1 a3 a5 a7 1 094. 1 372(3)()2，得 a0 a2 a4 a6 1 093. 1 372(4)方法一 (12 x)7展开式中， a0、 a2、 a4、 a6大于零，而 a1、 a3、 a5、 a7小于零，| a0| a1| a2| a7|( a0 a2 a4 a6)( a1 a3 a5 a7)1 093(1 094)2 187.方法二 | a0| a1| a2| a7|，即(12 x)7展开式中各项的系数和，令 x1，| a0| a1| a2| a7|3 72 187.10已知 n，(12 2x)(1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，
24、求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项10解 (1)C C 2C ， n221 n980.4n 6n 5n n7 或 n14，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. T4的系数为 C 423 ，37(12) 352T5的系数为 C 32470，47(12)当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. T8的系数为 C 7273 432.714(12)(2)C C C 79， n2 n1560.0n 1n 2n n12 或 n13(舍去)设第 k1 项的系数最大， 12 12(14 x)12，(12 2
25、x) (12)Error! 9.4 k10.4， k10.展开式中系数最大的项为第 11 项，且 T11C 2210x1016 896 x10.102 (12)B 组 专项能力提升(时间：25 分钟)1若( x a)2( 1) 5的展开式中常数项为1，则 a 的值为_1x答案 1 或 9解析 由于( x a)2 x22 ax a2，而( 1) 5的展开式通项为 Tr1 (1) rC xr5 ，其中1x r5r0,1,2，5.于是( 1) 5的展开式中 x2 的系数为(1) 3C 10， x1 项的系数为1x 35(1) 4C 5，常数项为1，因此( x a)2( 1) 5的展开式中常数项为 1
26、(10)451x2 a5 a2(1) a210 a10，依题意 a210 a101，解得 a210 a90，即 a1 或 a9.2(2014浙江改编)在(1 x)6(1 y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)_.答案 120解析 因为 f(m， n)C C ，m6n4所以 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)C C C C C C C C 120.3604 2614 1624 0634113从( )20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为_4x1x答案 27解析 ( )20的展开式的通项公式为4
27、x1xTr1 C ( )20 r( )rC ，其中 r0,1,2，20.r204x1x r20 354而当 r0,4,8,12,16,20 时，5 r 为整数，对应的项为有理项，34所以从( )20的展开式中任取一项，4x1x则取到有理项的概率为 P .621 274在二项式( x )n的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2项的系数1x是_答案 56解析 在二项式( x )n的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，1x n8，展开式的通项公式为 Tr1 C x8 r( )rr81xC (1) rx82 r，r8令 82 r2，则 r3，展开式中含 x2项的系数是C 56
28、.385若( x)10 a0 a1x a2x2 a10x10，则( a0 a2 a10)2( a1 a3 a9)2的2值为_答案 1解析 设 f(x)( x)10，则2(a0 a2 a10)2( a1 a3 a9)2( a0 a1 a10)(a0 a1 a2 a9 a10) f(1)f(1)( 1) 10( 1) 101.2 26若( )n展开式中前三项的系数成等差数列，求：x124x(1)展开式中所有 x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项12解 易求得展开式前三项的系数为 1， C ， C .121n 142n据题意得 2 C 1 C n8.121n 142n(1)设展开式中的有理项为 Tk1 ，由 Tk1 C ( )8 k( )k( )kC ，k8 x124x 12 k8 634 k 为 4 的倍数，又 0 k8， k0,4,8.故有理项为 T1( )0C x4，12 08 63T5( )4C x，12 48 63358T9( )8C x .12 816 384 16341256x2(2)设展开式中 Tk1 项的系数最大，则：( )kC ( )k1 C 且( )kC ( )12 k8 12 k 18 12 k8 12k1 C k2 或 k3.k 18故展开式中系数最大的项为 T3( )2C ，12 28 634x527T4( )3C .12 38 64x74
