1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页，第卷 3 至4 页，共 4 页.共 150 分.考试用时 120 分钟.祝考试顺利第卷（选择题 共 50 分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分
2、，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 =1,3abx3baA. B. C. D. 2, 23, 4,10,12.若互不相等的实数 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，且 ，则abccab103cba=aA.4 B.2 C.-2 D.-43.若 的内角 满足 ，则ABC32sinAAcossinA. B. C. D. 315155354.设 ，则 的定义域为xxf2lgxff2A. B. C. D. 4,0,4,1,2,1,4,2,5.在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有231xxA.3 项 B.4
3、项 C.5 项 D.6 项6.关于直线 、 与平面 、 ，有下列四个命题：mn 且 ，则 ； 且 ，则 ；/,/n/ nm, nm 且 ，则 ； 且 ，则 ./ /其中真命题的序号是：A. 、 B. 、 C. 、 D. 、7.设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关yxP,xyABQP于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，则 点的轨迹方程是OPAB21OQPA. B. 0,123yxyx 0,23yxyxC. D. 8.有限集合 中元素个数记作 card ，设 、 都为有限集合，给出下列命题：SSAB 的充要条件是 card = card + card ；BA
4、 的必要条件是 card card ； 的充分条件是 card card ；AB 的充要条件是 card card . 其中真命题的序号是BAA. 、 B. 、 C. 、 D. 、9.已知平面区域 由以 、 、 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D3,12,51,3CD上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则yx, myxzA. B. C. D. 4210.关于 的方程 ，给出下列四个命题：0122k存在实数 ，使得方程恰有 2 个不同的实根；k存在实数 ，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 ，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 ，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中假命
5、题的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第卷（非选择题 共 100 分）注意事项：第卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设 、 为实数，且 ，则 + =_.xyiiyix3121xy12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为_.（精确到 0.01）13.已知直线 与圆 相切，则 的值为_.025ayx022yxa14.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完
6、成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同的排法种数是_.（用数字作答）15.将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，rnCrnC1就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出 ，其中 =_.rnxnrnCC11x令 ，2216032nnCa 则 =_.nlim三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分）设函数 ，其中向量cbaxfxbxacos3,sin,cos,sin.Rc,sin,o（）求函数 的最大值和最小正周期；xf（
7、）将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对yd称，求长度最小的 .d17.（本小题满分 13 分）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 .数列 的前xfy26xfna项和为 ，点 均在函数 的图像上.nnS*,Nnxfy（）求数列 的通项公式；a（）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立13nbTnb20mTn*Nn的最小正整数 .m18.（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 中，1DCBA是侧棱 上的一点， .p1CmP（）试确定 ，使得直线 与平面 所1成角的正切值为 ；23（）在线段 上是否存在一个定点 ，使得1CAQ对任意的
8、 ， 在平面 上的射影垂直于 .mQD1PAP并证明你的结论.19.（本小题满分 10 分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 .已知成10,7N绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名.（）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表 00xPx0x0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780
9、.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.985720.（本小题
10、满分 14 分）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且AB0,12bayx为它的右准线.4x（）求椭圆的方程；（）设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 、 分别与椭圆相交P APB于异于 、 的点 、 ，证明点 在以 为直径的圆内.ABMNBMN（此题不要求在答题卡上画图）21.（本小题满分 14 分）设 是函数 的一个极值点.3xRxebaxf 32（）求 与 的关系式（用 表示 ） ，并求 的单调区间；abf（）设 ， .若存在 使得 成立，0xeaxg4254,0,21121gf求 的取值范围.a湖北省 2006 高考试题理科答案及解析一、选择题:1-
11、5、BDABC；6-10、DDBCB；二、填空题：11、4； 12、0.94; 13、8 或18； 14、20； 15、r1，1/2 。部分试题解析：10、解：本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令 ，则方程化为 ，作出函数 的图21xt(0)20tk21yx象，结合函数的图象可知：（1）当 t=0 或 t1 时方程有 2 个不等的根；（2）当 00， 0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，M故点 B 在以 MN 为直径的圆内。解法 2：由（）得 A（2 ，0） ，B（2，0）.设 M（x 1， y1） ，N（x 2， y2） ，则23x 1，
12、则在区间（，3）上，f (x)0 ， f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4 时，x 20 ， f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么 f (x)在区间0， 4上的值域是min(f (0) ， f (4) )，f (3) ，而 f (0)（2a3）e 30，f (3)a6，那么 f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e 3，a6.又 在区间0，4 上是增函数，5()4xgx且它在区间0，4上的值域是a 2 ， （a 2 ）e 4，45由于（a 2 ）（a6）a 2a （ ） 20，所以只
13、须仅须451（a 2 ）（a6）0，解得 0b”是“a 2b2”的充分条件；“a3sinx B2xN 时，对任意 b0，都有 奎 屯王 新 敞新 疆51naEA BCDP2005 年高考理科数学 湖北卷1B 2B 3C 4D 5A 6B 7C 8C 9D 10C 11D 12A13-6，2 14 15-2 165002617解法一：依定义 奎 屯王 新 敞新 疆txxtxf 232)1()()则 ，txf3)(2若 在（-1，1）上是增函数，则在（ -1，1）上可设 0 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf 0 在（-1，1）上恒成立 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf xt2考虑函数 ，由于 的图象是
14、对称轴为 ，开口向上的抛物线，故g3)(g31x要使 在（-1，1）上恒成立 ，即 t5 奎 屯王 新 敞新 疆xt21t而当 t5 时， 在（-1，1）上满足 0，即 在（-1，1）上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆)(f )(xf)(xf故 t 的取值范围是 t5 奎 屯王 新 敞新 疆解法二：依定义 ，ttxf 232)()() 奎 屯王 新 敞新 疆若 在（-1，1）上是增函数，则在（ -1，1）上可设 0 奎 屯王 新 敞新 疆txxf3)(2f )(xf 的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 ，且 时， 在（-1，1）上满足 0，0)1(tf 05)(tf )(xf )(xf即 在（
15、-1，1）上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆 故 t 的取值范围是 t5 奎 屯王 新 敞新 疆(xf18解法一：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 ，设 BE=x 奎 屯王 新 敞新 疆3621ABDE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，Bcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆328cos22 BCABAC 321AC又 ，故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆630sinB6301sin470sin解法二：以 B 为坐标原点， 为 x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点 A 位于第一象限
16、奎 屯王 新 敞新 疆C由 ，则 ，630sin )354,()sin34,co(BA设 =（x，0） ，则 奎 屯王 新 敞新 疆BC)52,6(xBD由条件得 奎 屯王 新 敞新 疆)3()4(| 22从而 x=2， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆 故 奎 屯王 新 敞新 疆31x )54,(CA于是 奎 屯王 新 敞新 疆143980916|cos BA 奎 屯王 新 敞新 疆1470cos1sin2解法三：过 A 作 AHBC 交 BC 于 H，延长 BD 到 P 使 BP=DP，连接 AP、PC 奎 屯王 新 敞新 疆过窗 PNBC 交 BC 的延长线于 N，则 ，354,cosA
17、HB，10)354()2(222 ABPBN而 ，BC=BN=CN=2， ，34HCHC 奎 屯王 新 敞新 疆212A PDAB NCH故由正弦定理得 ， 奎 屯王 新 敞新 疆63021sinA1470sinA19解： 的取值分别为 1，2，3，4 奎 屯王 新 敞新 疆=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故 P（ =1）=0.6 奎 屯王 新 敞新 疆=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故 P（ =2）=（1-0.6）0.7=0.28 奎 屯王 新 敞新 疆=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ =3）=（1-0.6）（1-0.7）0.8=0.096
18、 奎 屯王 新 敞新 疆=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P（ =4）=（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8 ）=0.024 奎 屯王 新 敞新 疆李明实际参加考试次数 的分布列为1 2 3 4P 0.6 0.28 0.096 0.024 的期望 E =10.6+20.28+30.096+40.024=1.544 奎 屯王 新 敞新 疆李明在一年内领到驾照的概第为1-（1-0.6 ）（1-0.7 ）（1-0.8 ）（1-0.9）=0.9976 奎 屯王 新 敞新 疆20解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C 、 D、P 、E 的坐标分别为 A（0，0，0） ，
19、B （ ，0，0） ，C （ ，1，0） ，33D（0，1，0） ，P （0，0，2） ，E（0， ，2） 奎 屯王 新 敞新 疆1从而 =（ ，1，0） ， =（ ，0，-2 ） 奎 屯王 新 敞新 疆3B3设 与 的夹角为 ，则 ，ACB14732|cosPBACAC 与 PB 所成角的余弦值为 奎 屯王 新 敞新 疆1473（）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x ，0，z） ，则 奎 屯王 新 敞新 疆)1,2(zxME由 NE面 PAC 可得： 即,0ACEP,0),13(),21( ,2,zx化简得 .1,63.2,zxx即 N 点的坐标为（ ，0， 1） ，从
20、而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1， 奎 屯王 新 敞新 疆63解法二：（）设 ACBD=O，连 OE，则 OE/PB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 奎 屯王 新 敞新 疆在 AOE 中， AO=1，OE= PB= ，AE= PD= ，217215 奎 屯王 新 敞新 疆 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 奎 屯王 新 敞新 疆143275cosEOA 1473（）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则 奎 屯王 新 敞新 疆6AD连 PF，则在 RtADF 中 DF= 奎 屯王 新 敞新 疆3tan,32cosFA设 N 为 PF 的中点
21、，连 NE，则 NE/DF，DFAC ，DFPA，DF面 PAC 奎 屯王 新 敞新 疆 从而 NE面 PAC 奎 屯王 新 敞新 疆N 点到 AB 的距离= AP=1，N 点到 AP 的距离= AF= 奎 屯王 新 敞新 疆2121621 （）解法一：依题意，可设直线 AB 的方程为 y=k（x-1）+3，代入 ，整理得：23yx 奎 屯王 新 敞新 疆0)3()()( 22 kxkkoEA BCDPxy8z设 A（ ） ，B （ ） ，则 ， 是方程的两个不同的根，1,yx2,yx1x2 ，0)3()(42k且 奎 屯王 新 敞新 疆 由 N（1，3）是线段 AB 的中点，得 =2，21x
22、 21x 奎 屯王 新 敞新 疆 解得 k=-1，代入得 ，)3(k 12即 的取值范围是（12，+） 奎 屯王 新 敞新 疆于是直线 AB 的方程为 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆)(3xy04y解法二：设 A（ ） ，B （ ） ，则有1,x2, 奎 屯王 新 敞新 疆0)()(3.3 21212121yxy依题意， 奎 屯王 新 敞新 疆2121,ykxABN（1，3）是 AB 的中点， =2， =6，从而 奎 屯王 新 敞新 疆x21y1ABk又由 N（1，3）在椭圆内， ，32 的取值范围是（12，+） 奎 屯王 新 敞新 疆直线 AB 的方程为 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆)1(3x
23、y04y（）解法一：CD 垂直平分 AB，直线 CD 的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0 奎 屯王 新 敞新 疆 代入椭圆方程，整理得 奎 屯王 新 敞新 疆042x又设 C（ ） ，D（ ） ，CD 的中点为 M（ ） ，3,y4,yx0,yx则 ， 是方程的两根，3x4 + =-1，且 ，即 M（ ， ） 奎 屯王 新 敞新 疆34 23,2010 xyx 123于是由弦长公式可得 奎 屯王 新 敞新 疆 )(|)(| 432kCD将直线 AB 的方程 代入椭圆方程得04yx奎 屯王 新 敞新 疆 016842x同理可得 奎 屯王 新 敞新 疆 )12(| 212xkAB当 时， ，)3(|AB|N 时，都有 奎 屯王 新 敞新 疆5a
