1、信息学奥赛中的基本算法,一、枚举法,一、算法相关知识,从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤 。 从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。 程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。算法是程序设计的灵魂 。,算法的基本特征,有穷性： 一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环； 确切性： 算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的
2、运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。 输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。如在5个数中找出最小的数，则有5个输入。 输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果，这是算法设计的目的。它们是同输入有着某种特定关系的量。如上述在5个数中找出最小的数，它的输出为最小的数。如果一个程序没有输出，这个程序就毫无意义了； 可行性： 算法中每一步运算应该是可行的。算法原则上能够精确地运行，而且人能用笔和纸做有限次运算后即可完成。,如何评价算法的好坏？,时间复杂度：算法运行所占用的时间
3、空间复杂度：算法运行时所占用的空间 信息学奥赛中，对程序的运行时间作出了严格的限制，如果运行时间超出了限定就会判错，因此在设计算法时首先要考虑的是时间因素，必要时可以以牺牲空间来换取时间,1.for i:=1 to 100 do for j:=1 to 100 do si,j:=0;执行次数100*100次，时间复杂度O(1) 2.for i:=1 to n do for j:=1 to 200 do si,j:=0;执行次数n*200次，时间复杂度O(n) 3.for i:=1 to n do for j:=1 to n div 2 do si,j:=0;执行次数n*n/2次，时间复杂度O(
4、n2) 4.for i:=1 to n do for j:=1 to n-1 do for k:=1 to n-2 do si,j,k:=0;执行次数n*(n-1)*(n-2)次，时间复杂度O(n3),时间复杂度怎么算？,5.for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do si,j,0:=0; for j:=1 to n do for k:=1 to n dosi,j,k:=1; end; 执行次数n*(n+n*n)次，时间复杂度O(n3),按数量级递增排列，常见的时间复杂度有： 常数阶O(1) 对数阶O(logn) 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlogn)
5、 平方阶O(n2) 立方阶O(n3) . k次方阶O(nk), 指数阶O(2n),用例子说明一下改进算法对降低时间复杂度的好处。 例：求N！所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）,算法一：从1乘到n，每乘一个数判断一次，若后面有0则去掉后面的0，并记下0的个数。为了不超出数的表示范围，去掉与生成0无关的数，只保留有效位数，当乘完n次后就得到0的个数。var i,t,n,sum:longint; begint:=0; sum:=1;readln(n);for i:=1 to n dobegin,sum:=sum*i;while sum mod 10=0 dobeginsum:=sum div
6、10;inc(t);计数器增加1end;sum:=sum mod 1000;舍去与生成0无关的数end;writeln(t:6); end.,时间复杂度为O（N）,例：求N！所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）,算法二：此题中生成0的个数只与含5的个数有关，n！的分解数中含5的个数就等于末尾0的个数，因此问题转化为直接求n！的分解数中含5的个数。 var t,n:integer; begin,readln(n);t:=0; repeatn:=n div 5 ;inc(t,n); 计数器增加nuntil n5;writeln(t:6); end.,时间复杂度为O（logN）,在程序设计中，我
7、们经常需要根据给定的一组条件求满足条件的解。如果问题的解可以用公式，或者按一定的规则、规律求出，那么就可以很容易地写出相应的程序。但是对于许多问题，我们都难以找到明确的公式和计算规则，在这种情况下，我们可以利用计算机高速运算的特点，用穷举法来求解。,枚举法（穷举法）,基本思想：穷举也叫枚举，它的基本思想是先依据题目的部分条件将所有可能解列举出来，然后用其余的条件对所有可能解进行一一验证，删去那些不符合条件的解，剩下符合条件的解就是整个问题的解。,适用枚举法求解的问题必须满足两个条件:1、可事先确定解元素的个数n；2、解变量，n的可能值为一个连续的值域。,例1:百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱
8、，打算买一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？,算法分析：此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，穷举各种鸡的个数。,程序一： var x,y,z:integer; begin for x:=0 to 100 dofor y:=0 to 100 dofor z:=0 to 100 do枚举所有可能的解if (x+y+z=100)and(x*3+y*2+z div 3
9、=100)and(z mod 3=0)then writeln(x=,x,y=,y,z=,z); 验证可能的解，并输出符合题目要求的解 end.,改进后： var x,y,z:integer; beginfor x:=0 to 33 dofor y:=0 to 50 dobeginz:=100-x-y;if (x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln(x=,x,y=,y,z=,z);end; end.,例2、猜算式,设有下列的除法算式：请根据上述算式中的信息求出被除数和除数。,其它信息：设除数为x，被除数为y，则10=100。,我们不可能对1
10、4个格子中的数都进行枚举，本题的关键在于找出适当的元素进行枚举。,本题已给出了商和余数，只要再知道被除数或除数，就可确定整个算式。枚举除数枚举量较小，我们选择枚举除数，而被除数则可按公式y=809*x+1计算得出。,varx,y:integer; beginfor x:=10 to 99 dobeginy:=（ ）; 计算出被除数if y9999 then break;优化语句if （ ）then writeln(y, ,x);end; end. 运行结果： 9709 12,枚举所有可能的除数,验证,穷举法是一种比较笨拙的算法，因为它需要列举出许多个可能解来一一验证，程序往往需要运行很长时间，
11、效率较低。 针对穷举法效率较低的缺点，在设计穷举算法时，我们必须注意以下二点：减少枚举变量：充分挖掘各解元素之间的联系，将一些非枚举不可的解元素列为枚举变量，然后在此基础上直接计算出其它解元素的可能值。减少枚举变量的值域：枚举前要尽可能多地将不符合条件的情况预先排除。,809*x+1,(y=1000) and (8*x=100),例3、将1,2.9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数. 例如:三个三位数192,384,576满足以上条件.,算法分析：此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位
12、一位地去枚举： for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 do for i:=1 to 9 do 这样下去，枚举次数就有9次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。,vart,x:integer;s,st:string;c:char; beginfor x:=123 to 321 do枚举所有可能的解begint:=0;str(x,st);把整数x转化为字符串，存放在st中str(x*2,s);,st:=st+s;str(x*3,s);st:=st+s; for c:=1 to 9 do枚举9个字符
13、，判断是否都在st中if pos(c,st)0 then inc(t) else break;如果不在st中，则退出循环 if t=9 then writeln(x, ,x*2, ,x*3);end; end.,例4:方格填数,如下图所示的八个格子中填入1至8八个数字，使得相邻的和对角线的数字之差不为1。请编程找出所有放法。,分析：由题意可知，放入b3，b6这两个格子中的数，必须和六个数不连续，仅可以和一个数是连续的，这样的数只能是1和8。因此，b1，b3，b6，b8这四个格子中数的放法可以先确定下来：2，8，1，7或7，1，8，2。接着，我们只需枚举b2、b4、b5三个变量，范围都是3至6，
14、而b7可通过计算来得到。(1,2),(1,4),(2,5),(4,7),(5,8),(7,8)共6对格子中的数需要验证。,const link:array16,12 of integer=(1,2),(1,4),(2,5),(4,7),(5,8),(7,8); var b:array18 of integer;存放摆放方案 procedure print; 输出一种满足条件的放法beginwriteln(b1:4);writeln(b2:2,b3:2,b4:2);writeln(b5:2,b6:2,b7:2);writeln(b8:4);writeln;end; function choose
15、:boolean; 检验当前放法是否符合要求var i:integer;beginchoose:=false;for i:=1 to 6 doif abs( blinki,1 - blinki,2 )=1 then exit;choose:=true;end;,procedure try; var b2,b4,b5,b7:integer;beginfor b2:=3 to 6 do 枚举b2，b4，b5，计算b7for b4:=3 to 6 doif b2b4 thenfor b5:=3 to 6 doif (b5b2)and(b5b4) thenbeginb7:=18-b2-b4-b5;b2:=b2;b4:=b4;b5:=b5;b7:=b7;if choose then print;end;end;,beginb1:=2; b3:=8; b6:=1; b8:=7;情况一try；b1:=7; b3:=1; b6:=8; b8:=2;情况二try；readln; end.,枚举法的优点由于枚举算法一般是现实生活中问题的“直译”，因此比较直观，易于理解；由于枚举算法建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法的正确性比较容易证明。,枚举法的缺点 枚举算法的效率取决于枚举状态的数量以及单个状态枚举的代价，因此效率比较低。,枚举法的优缺点,
