1、第2章2.4 抛物线,2.4.2抛物线的几何性质,1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一抛物线的几何性质,答案,x0,x0,y0,y0,直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，,知识点二焦点弦,答案,故AB .,x1x2p,知识点三直线与抛物线的位置关系,直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程_的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有两个
2、不同的公共点；当0时，直线与抛物线有个公共点；当0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？,返回,答案,答案有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形.,(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？,答案影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小.,题型探究 重点突破,题型一抛物线的几何性质,解析答案,反思与感悟,(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距
3、离之间的转化，简化解题过程.,反思与感悟,跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，2).求抛物线的标准方程和准线方程.,解析答案,解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2mx(m0).将点M(1，2)代入，得m4.抛物线的标准方程为y24x；(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2ny(n0).,例2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB,题型二抛物线的焦点弦问题,解析答案,反思与感悟,求AB所在的直线方程.,所以直线AB的斜率存在，设为k，,反思与感悟,消去x，整理得ky22pykp20.,
4、解析答案,解得k2.,反思与感悟,(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,反思与感悟,跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；,解析答案,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25，,AB538.,x1x2p.,解 因为直线l的倾斜角为60，,(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知,x1x
5、2px1x23，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，,解析答案,例3已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？,题型三直线与抛物线的位置关系,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,消去y，得k2x2(2k4)x10.(*),当k0时，方程(*)为一元二次方程，(2k4)24k2，当0，即k0)，,2|y|2p8，p4.,解析答案,1,2,3,4,5,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_.,解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P
6、在线段OF的垂直平分线上，,解析答案,1,2,3,4,5,3.抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为 .,解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.,解析答案,设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.,1,2,3,4,5,4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是_.,6x4y30,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.,解析答案,直线与抛物线相切，a0且14a0.,课堂小结,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法
7、求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.,(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0).,返回,有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；,直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,本课结束,
