1、第3 章随 机过程 掌握 随机过程的基本概念、统计特性 掌握 平稳随机过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度 掌握 高斯随机过程的定义、性质、一维概率密度函数和分布函数 理解 随机过程通过线性系统的分析方法，掌握结论 了解 窄带随机过程、正弦波+窄带高斯过程的表达式和统计特性（结论） 了解通信系统中 常见的几种噪声（白、限带和窄带噪声）1 、随机过程的基本概念和统计特性 一、定义： 一、定义： 随机试验 随机试验 S S n n ， ， 其 其 结果 结果是随机的、 是随机的、 无穷 无穷多个样本函数 多个样本函数x i(t) 的集合。 的集合。 12 () () , () , () ,
2、 n tx tx tx t 二、特征： 二、特征： 时间的函数， 时间的函数， 随机变量 随机变量 随机过程视为依赖时间参数的一族随机变量 随机过程视为依赖时间参数的一族随机变量 x 1 (t) x 2 (t) x n (t) t t t 样本空间 S 1 S 2 S n (t) t k ) (t 三、描述（表示） 1、统计特性（一维、二维和多维情况） 分布函数/概率密度函数 2、数字特征 均值/方差/自相关函数、互相关函数 例：接收机噪声 (t) x 1 (t) x 2 (t) x n(t) (t)：x i(t) i=1n随机过程的数字特征 统计平均值：随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心
3、方差：随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度 自相关函数：随机过程在任意2个时刻获得的随机变量之间的关联程度，依赖于起始时刻t 1 以及 t 2 与t 1 间的时间间隔 注意：它们的物理意义！ 1 E () (,) () tx f x t d x a t 22 D ( )=E () - E () () tttt 12 1 2 11 (,) E () () (, ) Rtt t t Rtt 2 、平稳随机过程 一、定义 狭义平稳随机过程的定义 统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程） 广义平稳随机过程的定义 平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 二、性质
4、1、广义平稳随机过程的数字特征 E ( ) ( ) ta ta 常数 22 2 D ( ) E ( ) E ( ) ( ) tttt =常数 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。 但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。 12 21 21 (,) ( ) () Rtt Rt t R t t 特点：可用时间平均值代替统计平均值，例如 各态历经过程的时间均值为： 各态历经过程的时间自相关函数为: 若依概率1 ，有 则平稳随机过程具有各态历经性。 随机过程若具有各态历经性，必定是严格平稳随机过程。 但是，严格平稳随机过程，不一定具有各态历经性。 /2 /2 1 lim ( ) T i
5、 T T ax t d t T /2 /2 1 () l i m () ( ) T ii T T R xtxt d t T 2、“各态历经”性 含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 a () R () i x t () t ,( )( ) aaR R 稳态通信系统的各态历经性：假设信号和噪声都是各态历经的。 均值a= EX(t) 信号的直流分量； 均值的平方a 2 信号直流分量的归一化功率； E 2 ( t ) 信号归一化平均功率； 方差 2 信号交流分量的归一化平均功率 ; 若a= a 2 = 0，则 2 = E 2 ( t ) ； E 2 (t) 1/2 信号电流或电压的
6、均方根值（有效值）； 标准偏差 信号交流分量的均方根值； 若a = 0，则 就是信号的均方根值 。3、自相关函数的性质 4、功率频谱密度 复习：确知信号s(t)的功率谱密度： 类似地，平稳随机过程 (t)的功率谱密度P (f )视为其任意实现x i(t)的功率谱密度P (f )的统计平均： 平均功率： 2 (0) ( ) R EtP ) ( ) ( R R ) 0 ( ) ( R R 2 ()E() Rt 2 (0) ( ) RR T f S f P T T 2 ) ( lim ) ( 2 E() ()E () l i m T T Xf Pf Pf T 2 () () l i m T T EX
7、 f P P f df df T 2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 ( ) /2 /2 () 1 E( )( ) 1 E( )( ) 1 ( ) 21 () 4 iT T jt jt iT TT jt jt ii TT TT jtt TT j G EX f xted txted t TT xte d t xte d t T R t t e dt dt T Re d d k T 5、自相关函数和功率谱密度的关系 由 ()E ( )( ) ii Rt t xt xt T T j T T T j d e R T dk d e R T ) ( 1 2 ) ( 2 1 0 , t t k t t
8、则 结论：P (f )和R( )是一对傅里叶变换 P (f )的性质： P (f ) 0, 并且P (f )是实函数,非负性。 P (f ) P (-f )，即P (f )是偶函数。 () () j PfR ed () () j RP f e d f 2 E ( ) ()l i m l i m 1 () () T T j T TT j Xf P f Red TT Red 【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数i服从泊松分布： 式中， 是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。 试求：其相关函数R( )和功率谱密度P(f)。 +a -
9、a x(t) t t 0 t- () () , 0 ! iT Te pi i i 解： 乘积x(t)x(t- )只有两种可能取值：a 2 或 -a 2 。 因此， R( ) = a 2 a 2 出现的概率 + (-a 2 ) (-a 2 )出现的概率 “a 2 或 -a 2 出现的概率”可以按上述泊松分布 p(i)计算。 若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a 2 ; 若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a 2 。 故， 用 代替泊松分布式中的T，得到 () E () ( ) Rx t x t 2 2 () E () ( ) ( 0 ) ( 2 ) ( 4 ) (
10、1 ) ( 3 ) ( 5 ) Rx t x ta ppp ap p p 2 2 2 3 2 2 ! 3 ) ( ! 2 ) ( ! 1 1 ) ( e a e e a e a R 由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负数。所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成 将上两式合并，最后得到： 其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R( )的傅里叶变换求出： 2 2 ) ( e a R 2 2 ) ( e a R 4 ) ( ) ( 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 a d e e a d e e a d e e a d e R f P j j j jP( f )和R( )
11、的曲线：3 、高斯随机过程 定义:高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。 性质 一维概率密度函数 分布函数 2 ) ( exp 2 1 ) ( 2 2 a x x f dz a z x F x 2 ) ( exp 2 1 ) ( 2 2 a为噪声的数学期望值，也就是均值； 2 为噪声的方差。在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 在通信系统的性能分析中，常常通过求自相关函数或方差的方法来计算噪声的功率。 2 (0) D ( ) n PR n t 2 2 2 22 D () E () E () ) E ( ) E( ( ) (0) (0) nt nt nt
12、nt nt R a R 高斯概率密度函数的进一步讨论： 正态分布的概率密度函数 （1）对称于直线，即有 0 2 1 ) (x p a x ) (x p a x ) ( ) ( x a p x a p （2）在内单调上升，在内单调下降，且在a点处达到极大值; （3） （4）a表示分布中心，表示集中的程度。 （5）当，时，相应的正态分布称为标准化正态分布，这时有 ) (x p ) , ( a ) , ( a 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( a a dx x p dx x p dx x p 0 a 1 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 x x p exp 已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数
13、可以表示为： 与正态分布相关的还有误差函数和互补误差函数，它们的定义式分别为： x dz z p x F ) ( ) ( x z dz e x erf 0 2 2 ) ( ) (x erfc ) (x erf x z dz e x erf x erfc 2 2 ) ( 1 ) ( 可以证明，利用误差函数的概念，正态分布函数可表示为： 为了方便以后分析，在此给出误差函数和互补误差函数的主要性质： a x a x erfc a x a x erf x F ， ， 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ) (（1）误差函数是递增函数，它具有如下性质： （2）互补误差函数是递减函数，它具有如下性质： )
14、 ( ) ( x erf x erf 1 ) ( erf ) ( 1 ) ( x erfc x erfc 0 ) ( erfc 1 1 ) ( 2 x e x x erfc x ， 结论： 若输入过程平稳，输出过程也是平稳的 若输入过程是高斯的，输出过程也是高斯的 4 、随机过程通过线性系统 输出过程、输入过程 输出过程功率谱密度 输入过程功率谱密度 ) (t o ) (t i ) ( o P ) ( i P ) ( ) ( ) ( t h t t i o ) ( ) ( ) ( 2 i o P H P 广义平稳过程通过线性系统 h(t) x(t) y(t) R h ( ) |H( )| 2
15、R x ( ) S X ( ) R y ( ) S Y ( ) 均值： ) 0 ( H a a X Y 相关函数： ) ( * ) ( ) ( h x y R R R 功率谱密度： ) ( | ) ( | ) ( 2 X Y S H S 5 、窄带随机过程 1、其同相分量和反相分量仍是平稳高斯过程，且均值为0、方差相等；同一时刻上、互不相关或统计独立。 2、其包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布；就一维分布而言，、 统计独立。 ) ( cos ) ( ) ( t t t a t c t t t a t t t a c c sin ) ( sin ) ( cos ) ( cos )
16、 ( t t t t c s c c sin ) ( cos ) ( ) (t c ) (t s ) (t c ) (t s ) (t a ) (t ) (t a ) (t 均值为0、方差为的窄带平稳高斯过程 2 t 窄带高斯噪声可表示为： 式中，为噪声的随机包络；为噪声的随机相位，相对于载波的变化而言，它们的变化要缓慢的多。 () () c o s ( t ) c nt t t (t) (t) f f (t) f c f c f ) ( f N ) (t n c f窄带高斯噪声的另外一种表达形式： 其中 式中及分别称为的同相分量和正交分量，其变化相对于载波要缓慢的多。 t t n t t n
17、 t n c s c c sin cos ) ( ) ( ) ( (t) ) ( ) ( cos t t n c (t) ) ( ) ( sin t t n s ) (t n c ) (t n s统计特性 （1）一个均值为零，方差为的窄带高斯噪声，假定它是平稳随机过程，则它的同相分量、正交分量同样是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同。即 2 n ) (t n c ) (t n s E( )E( )E( )0 cs nt n t n t 2 2 2 2 s c n（2）该窄带高斯噪声其随机包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。即 0 2 ) ( 2 2 2 exp p 2 0 2 1 ) (
18、p e 1 0 ) ( p ) ( p 2 / 1 06 、正弦波+窄带高斯过程 合成信号的包络 服从广义瑞利分布。 - 小信噪比时，服从瑞利分布 - 大信噪比时，服从高斯分布 合成信号的相位 较复杂。 - 小信噪比时，服从均匀分布 - 大信噪比时，集中在信号相位附近 ) ( ) ( ) ( 2 2 t z t z t z s c ) ( ) ( ) ( t z t z arctg t c s ) ( f ) ( ) cos( t n t A c t t n A t t n A c s c c sin ) ( sin cos ) ( cos t t z t t z c s c c sin )
19、( cos ) ( ) ( cos ) ( t t t z c 正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可以表示为： t t t t t n Asis t t n A t t n t t n t A t A t n t A t r c c s c c c s c c c c c cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( t n A t n A t s c sin cos ) ( ) ( ) ( ) ( t n A t n A t c s cos sin arctan可以证明，
20、正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性： （1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布）。 （2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布。平稳高斯白噪声 平稳高斯限带噪声 附：通信系统中常见的几种噪声 平稳高斯窄带噪声平稳高斯白噪声 一、特点（白；广义平稳；遍历性；高斯分布） 1、白噪声的定义 若随机噪声n(t)，它的功率谱密度P n( )在所有频率上 为一常数，则称n(t)为白噪声。即 其中，n 0为正实常数，称为单边功率谱密度； 为n(t)的双边功率谱密度。 0 () 2 n n P 2 0 n 2 0 n P n(
21、 ) 0 n P n( )2、n(t)的广义平稳性 均值平稳 相关函数平稳 其中， 功率谱密度 () E () E ( ) nn at nt nt t a 1, 2 1 2 ()E () () n Rtt ntnt 2 1 t t 12 E ( ) ( ) ( ) n nt tnt t R () n R () n P R n( ) 0 ) 2 ( 0 n () () 2 o n n R 3、遍历性 均值遍历 相关遍历 E ( ) ( ) n nt nt a () E ()( ) () n n Rn t n t R ()( ) ntnt 4、 高斯分布、均值为零 高斯分布的随机变量n的概率密度函
22、数为 其中，a、 2 分别为均值和方差。 2 2 1() () e x p 2 2 n x a fx a 2 1 0 x f n (x)二、白噪声通过线性系统 1、白噪声通过理想低通滤波器 传递函数 功率传递函数 R h ( ) |H( )| 2 R ni ( ) S ni ( ) R no ( ) S no ( ) 其它 0 | | ) ( 0 m t j d e K H 其它 0 | | ) ( 2 0 2 m K H () i nt () o nt 输出功率谱 输出功率 2 00 1 () 2 o on m NP d Knf 2 0 2 0 n K P no ( ) m - m 0 其中
23、， m =2 f m 2 ()|() | () oi nn PHP 其它 0 | | 2 0 2 0 m n K 2、白噪声通过理想带通滤波器 传递函数 功率传递函数 其它 0 ) ( 0 h l t j d e K H 其它 0 ) ( 2 0 2 h l K H 输出功率谱 输出功率 2 ()|() | () oi nn PHP 其它 0 | | 2 0 2 0 m m n K 2 1 () 2 () o on oo h l NP d Kn f f 2 0 2 0 n K P no ( ) l 0 h - h - l三、噪声通过乘法器 输出功率谱密度： 0 00 1 () ( ) ( )
24、4 ii nnn PPP n i (t) cos c t n o (t) 非平稳 随机信号 平稳 随机信号 可视为平稳高斯白噪声通过低通系统而成，也称低通噪声。 其自相关函数 在处得到的随机变量不相 关（若抽样，则得到的样值互不相关）。 m m m o ft j f f o f f f n df e n R m m 2 2 sin 2 ) ( 2 ) , 2 , 1 ( 2 k f k m 平稳高斯限带噪声 一、特点 c + m c - m 0 - c c - c + m - c - m S N ( ) m - m 0 n o/2 n o/8 ) ( o N S 二、平稳高斯限带噪声通过乘法器平稳高斯窄带噪声一、特点：可视为平稳高斯白噪声通过窄带系统而成。 c m 2 0 n c 0 - c c + m - c - m - c + m c - m n c (t) ：同相分量； n s (t) ：正交分量 n(t) 、 n c (t)、 n s (t)均为零均值、高斯、遍历 功率 () ()c o s ()s i n ccsc nt n t t n t t 222 () () () cs nt nt nt () n P 二、带通噪声通过乘法器 l 0 h - h - l 1 0 - c c 1/4 () o n P () i n P
