1、由 sin18所引发的思考周欣孟 （重庆巴蜀中学）数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾。乔治.波利亚题目： .2cos18(in)cos36in18解析：对三角函数中两角和差正余弦公式结构很熟悉的人来说，此题简单：22(i)csisin36co18s36n18o54i()ssi1原 式但是对多数学生来说，似乎此题入手就直接将 用降幂公式来做了2cos18回顾此题，利用学生的思路解下去： 22(1cos36)(in18)36inin8cs4ii原 式做到这里，就会想若知道 ， 的值，那么此题就解出来了sin18o，非特殊角的三角函数值，也是可以用代数方法求出来的。sin18一、优
2、先想到的就是构造关于 的方程求解：si原理： 且sico()2n解法一： 18sin7si36co4si18cos36，令 ，24(18)t(0,)2，通过试根知： 为方程的根，则因式分解：30t2t，则： ，即 .2(1)4)tt514t51sin84回顾下，构造三次方程需要较好的因式分解能力，简单改进下，构造二次方程直接一步到位。解法二： ，sin36cos522sin18cos(3618)cos3618sin361836in则： ，令 ， ，2i iit(0,)2则： ， ，即 .2410t514t 51sin84既然 的三角函数可以求出来，那么是不是所有非特殊角的三角函数都可以用代数法
3、求出来？18答案是肯定的！（引进大学知识）棣莫弗定理：设两个复数（用三角形式表示） ，则：111222(cosin),(cosin)zrzr.121212cos()sin()zr推广：设 个复数（用三角形式表示） ， ，n 1cosin)zr222(cosin)zr，则 .(cosi)nnnzr121211s(innkknn 利用棣莫弗定理求 的值.si8解法三：令 ， （ ）conz5890，即： ，55(s1i)cos(1)sin(1) 5(cos18in)i展开：53244235(cos80cin8i8)(5cin0si18in)i i所以： ，5321osi1os1，令 ，42 2csc()(c)02cos18t则： ， ， .21605t58tt255os18in4 由此，我们进一步可以算出 的三角函数值，这样通过三角函数的和差公式可以求出任意9,631整数度角的三角函数值。通过解法三，我们还可以得出一个很重要的结论：三角函数多倍角公式（利用等式左右两边实部、虚部对应相等）cosin(cosin),kk N当 时， ； ；3343cos4sco当 时， ； .5k5si16si20i5in5316s20cos5
