1、中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）1一、根据正弦定理判断三角形解的个数例 1在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况,abA分析：先由 可进一步求出 B；siniB则 08()C从而 sinacA1当 A 为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。ab2当 A 为锐角时，如果 ，那么只有一解；b如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：a（1）若 ，则有两解；sin（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。i注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sibAa附加练习：（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断
2、此三角形的解的情况。80a1b045A（2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2cC（3）在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。xm0B（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x二、由余弦定理判断三角形的形状例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，判断 ABC 的类型。7a5b3c分析：由余弦定理可知 22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角c是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角 是 锐 角 三 角 形解： ，即 ，227532ab 。ABC是 钝 角 三 角 形附加题
3、：（1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC 的类型。 sin:isi1:23ABC（2）已知 ABC 满足条件 ，判断 ABC 的类型。 co（答案：（1） ；（2） ABC 是等腰或直角三角形是 钝 角 三 角 形三、利用三角形面积定理解题：例 3在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值06A1b3sinisinabcABC中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）2分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理11sinisin22SabCcBbAsiniabABsincCiiicAB解：由 得 ，132S则 =3，即 ，2coaba从而 sinisinABC2iA附加习题：（1）在 ABC
4、中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C5a16b203S（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C24abc（答案：（1） 或 ；（2） ）0604练习题：（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。103B（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。（3）在 ABC 中， ， ， ，判断 ABC 的形状。0Aa2bc（4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 的根，25760x求这个三角形的面积。四、利用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题：解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题
5、意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= ， ACB= 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)5175解：根据正弦定理，得= ACBsinACsinAB = B= sin5中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）3= )7180sin(= 54 65.7(m)答:A、B 两点间的距离为 65.7 米变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在
6、观察站 C 的北偏东 30 ，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得 BCA= ，ACD= ， CDB= ， BDA = ，在 ADC 和 B
7、DC 中，应用正弦定理得AC = = )(180sina)sin(aBC = = i计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = cos22BCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得 BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6五、应用解三角形的应用举例1、现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度（不可到达底部的
8、建筑物高度）例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）4分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A的仰角，就可以计算出 AE 的长。解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、 ，CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在 ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(aAB = AE + h= AC + hi= + h)sin(a例
9、 4、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =54 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 =50 。04 1已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)解:在 ABC 中, BCA=90 + , ABC =90 - , BAC= - , BAD = .根据正弦定理,= )sin(BC)90si(A所以 AB = =)sin()sin(coBC中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）5解 Rt ABD 中,得 BD =ABsin BAD=)sin(coBC将测量数据代入上式,得BD = )1504sin(ico3.27= 93si.177 (m)CD
10、=BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为 150 米.例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度 CD. 解:在 ABC 中, A=15 , C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理 ,= ,ABCsiniBC = =is10in5 7.4524(km)CD=BC tan DBCBC tan8 1047(m)答:山的高度约为 1047 米2、在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确
11、保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向例 6、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）6解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22= 1370.54670.54.67113.15根据正弦定理,= CABsi
12、nsinsin CAB = C= 15.37si040.3255,所以 CAB =19.0 ,75 - CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile补充例 1、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ，再继续前进 10 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 ，求 的大小和建筑物 AE 的高。3解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=10 ，3ADC =180 -4 ，= 。2sin10)48i(0因为 sin4
13、 =2sin2 cos2中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）7cos2 = ,得 2 =303=15 ，在 Rt ADE 中，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 Rt ACE 中,(10 + x) + h =30322在 Rt ADE 中,x +h =(10 )2两式相减，得 x=5 ,h=153在 Rt ACE 中,tan2 = =xh1032 =30 , =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得BAC= ， CAD=2 ，AC =
14、 BC =30m , AD = CD =10 m3在 Rt ACE 中，sin2 = - 0x在 Rt ADE 中，sin4 = , - 314 得 cos2 = ,2 =30 , =15 ，AE=ADsin60 =152答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m补充例 2、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75 的方向以 10 海 里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型中慧课外辅导中
15、心试题（高中数学必修 5）8分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB= + = 754120(14x) = 9 + (10x) -2 9 10xcos2120化简得 32x -30x-27=0，即 x= ,或 x=- (舍去)36所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sin BAC = = =ABC120sin5143BAC =38 ,或 BAC =141 （钝角不合题意，舍去），3 738 + =83145答：巡逻艇应该
16、沿北偏东 83 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.313 h =bsinC=csinBah =csinA=asinCbh =asinB=bsinaAc师：根据以前学过的三角形面积公式 S= ah,应用以上求出的高的公式如 h =bsinC 代入，可以推导出下面21a的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？21生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB例 7、在 ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm ） 2（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=
17、3.16cm;（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用 S= acsinB，得21S= 14.8 23.5 sin148.5 90.9(cm )2(2)根据正弦定理，= BbsinCcsic = 中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）9S = bcsinA = b2121BACsinA = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5S
18、 = 3.16 4.0(cm )2127.62sin5182(3)根据余弦定理的推论，得cosB = cab2= 4.1738.20.7697sinB = 0.6384B2cos2697.0应用 S= acsinB，得1S 41.4 38.7 0.6384511.4(cm )22例 8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm ）？2解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= cab2= 0.753268172sinB=
19、0.6578253.0应用 S= acsinB S 68 127 0.65782840.38(m )212答：这个区域的面积是 2840.38m 。2例 3、在 ABC 中，求证：（1） ;sin22CBAcba（2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设= = = kAasinBbiCcsin显然 k 0，所以中慧课外辅导中心试题（高中数学必修 5）10左边= CkBAcba222sin= =右边B2sin（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc +ca +ab )bca2cab2abc2=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边22变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积 S3提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 ;a=12,S=1833变式练习 2：判断满足下列条件的三角形形状，（1） acosA = bcosB（2） sinC = BAcosini(2)（解略）直角三角形
