抛物线的标准方程及性质教案2.doc

1、抛物线的标准方程及性质教案 2教学目的通过教学，不仅要求学生熟记抛物线的定义、标准方程的四种形式，会用标准方程确定抛物线的几何性质，而且要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力教学过程一、揭示课题师：我们已学习了哪几种圆锥曲线？生：已学过圆、椭圆、双曲线师：今天我们学习第四种圆锥曲线抛物线它的标准方程及性质怎样呢？(板书课题：抛物线的标准方程及性质)师：同学们对抛物线已有了哪些认识？生：在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨道在函数中，抛物线是二次函数的图像师：在二次函数中研究过的抛物线有什么特征？生：这里研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴的

2、(只是开口向上或向下的)情形师：如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那么就不能作为二次函数的图像来研究了我们这里，就是要打破在函数研究中的这种局限，从更一般的意义上来研究抛物线二、讲述新课1抛物线的定义师：为了认识抛物线是满足什么条件的动点的轨迹，我们可以从研究最简单的二次函数 yax 2所决定的抛物线的性质入手：思维从问题开始生：(板书)设 P(x，ax 2)，则所以，抛物线上任意一点到已知定点和已知定直线的距离相等师：由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？生：不能！轨迹必须既满足纯粹性，又满足完备性，这里只证明了抛物线所具有的几何性质，即纯粹性，还未证明完备

3、性师：这里完备性的证明，要研究什么命题呢？问题 2：满足到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点一定在抛物线上师：上述命题的证明并不困难这里，我们还可以作一个直观的演示直观演示不仅为了对抛物线定义先作形象的认识，而且在于使得对抛物线 yax 2的研究引向一般把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上(图 2)；把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘；把一条绳子的一端固定在三角板另一条直角边上的一点 A，截取绳子的长等于从点 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在画图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这

4、样铅笔就描出一条曲线(教师可以反复演示后，请学生来归纳抛物线的定义，教师总结，并将定义板书在黑板上)师：这样，可以把抛物线的定义概括成(板书)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程师：设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(这是已知数且大于零)下面，我们来求抛物线的方程怎样选择平面直角坐标系，才能使所得的方程取较简的形式呢？(让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结一下学生中建立平面直角坐标系的方法大致有以下六种，可以分组让学生对各种情况，分别求得相应的方程，并把结果填入小黑板上预

5、先列出的表里如下表)师：比较所得的各个方程，应该选哪些方程作为抛物线的标准方程呢？生：应该选(3)(6)这四个方程作为抛物线的标准方程因为这些方程不仅具有较简的形式，而且方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍yax 2由此可见，用曲线方程的观点研究抛物线比用二次函数的观点研究抛物线，更具有一般性3四个标准方程的应用例 1 (1) 已知抛物线的标准方程是 y26x，求它的焦点坐标和准线方程；(2) 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程x28y例 2 根据下列所给的条件，写出抛物线的标准方程：(2) 焦点到准线的距离是 2y2x(2) 因为焦点到准线的距

6、离为 p，所以 p2，由于焦点不定，因而四个标准方程都合适，故y24x，y 24x，x 24y，x 24y(让学生边看、边做、边研究、边讨论)师：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含有一个系数 p，因此只要给出确定 p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程也就唯一确定如果抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解4抛物线的几何性质师：怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？(以 y22px，p0 为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写)师：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点呢？

7、(学生和教师共同小结)(1)抛物线只位于半个坐标平面内，尽管它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线，或同顶点和焦点的连线重合抛物线没有中心(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率的规定要联系椭圆、双曲线的第二个定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为 1(这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一了起来)三、布置作业课本习题：略教案说明(1)本节课研究的是抛物线，实际是解析几何基本思想方法的又一次应用我们从研究已经熟悉的抛物线 yax 2的性质入手，按照轨迹必须满足纯

8、粹性、完备性的要求，概括出了抛物线的定义；运用坐标的观点，选取适当的平面直角坐标系，求得了抛物线标准方程的四种形式；通过对所得代数方程的讨论，按照椭圆、双曲线几何性质的项目，得到了抛物线的几何性质，从而完成了用解析法研究抛物线的两个基本课题即求抛物线方程；由抛物线方程的讨论确定抛物线的几何性质当然，我们这里对抛物线的研究仍有局限性，当抛物线的对称轴不平行于坐标轴时，上述两个基本课题的研究这里还未全部完成这要留待下一章再作研究(2)抛物线定义的得出，从二次函数图像抛物线上任意一点到已知定点和已知定直线的距离相等着手，再去研究满足到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点一定在抛物线上，这种从

9、必要条件中寻找充要条件的考虑是中学数学中重要的思想方法，它可以使寻找范围大大缩小但不能以必要条件代替充要条件这里概括抛物线定义的设计，渗透了这种思想，且加深了对轨迹概念、曲线和方程概念的理解从研究抛物线 yax 2的性质入手概括抛物线定义的上述过程，对坐标系的适当选取，已作了提示，不仅可以免除硬性规定坐标系的突然性，而且可以发展学生联想对比的能力学生对抛物线并不陌生，如果直接给出定义，硬性规定坐标系的选法，也可以得到其标准方程，但是学生往往觉得比较突然，而且总认为已经研究过了采用“顺应”学生认识的方法引入，不仅可以免去学生因悬念产生的思维干扰，而且可以点明新意，以调动学生的学习积极性(3)总体

10、设计从具体到抽象，从学生比较熟悉的二次函数图像抛物线研究中的局限性为突破口，还可以根据抛物线的定义，用求轨迹方程的一般方法去求抛物线的非标准方程例如：求顶点为 O(1，2)，焦点为 F(1，4)的抛物线方程这里由于焦点不在坐标轴上，顶点也不在坐标原点，因此所求的抛物线方程一定不是标准方程不难得到，焦点在准线上的射影为(3，0)，又过顶点和焦点的直线的斜率为 1，所以准线方程为 y(x3)，即xy30设所求抛物线上任意一点为(x，y)，则化简后得x22xyy 210x22y250至于怎么对所得的方程进行讨论，确定相应抛物线的性质，将在下一章研究为新一章学习留下伏笔(4)依据一定条件写出抛物线的标准方程是熟悉和运用抛物线标准方程的基本训练教师出几个题让学生去做是常采用的方法如果围绕怎样决定抛物线标准方程这一中心课题，让学生在思考解决它的两个关键问题(几何对象代数化，即求抛物线的方程；代数结论几何化，即由抛物线方程的讨论确定抛物线的几何性质)中去研究一些题目，不仅可以增加训练的思考性、目的性，而且可以培养学生使用已学知识去分析问题、解决问题的能力抛物线几何性质的研究项目、方法和结果同椭圆、双曲线很类似学生自己研究也无困难让学生填充给出的上表，不仅可以使三种圆锥曲线的性质得到对比，而且可以提高学生对新知识的探索能力