1、目录诚信申明3课题及摘要4引言51. 全概率公式和贝叶斯公式61.1 全概率公式61.2 贝叶斯公式61.3 全概率公式和贝叶斯公式的关系62. 全概率公式和贝叶斯公式的应用72.1 商业市场中的应用72.2 医疗诊断中的应用932.3 实际比赛中的应用103. 全概率公式和贝叶斯公式的推广及应用123.1 全概率公式的推广123.2贝叶斯公式的推广15 3.4 全概率和贝叶斯推广公式的应用17总结19参考文献203河 西 学 院 本 科 生 毕 业 论 文 （ 设 计 ） 诚 信 声 明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计） ，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果
2、不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名： 二 O 年 月 日 （ 打 印 ）4全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广摘 要：全概率公式和贝叶斯公式是计算复杂事件概率的公式，本文对两个公式在医疗诊断、商业市场和实际比赛等的应用举例说明了其用法和使用的概型。为了解决更多的实际问题，对两个公式进行了简单的推广及推广后的应用。 关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用；推广Abstract: The total probability
3、 formula and Bias formula is to calculate the complex event probability formula, the application of two formulas in medical diagnosis, the commercial market and the actual game, illustrates its use and the use of probability. In order to solve the actual problem more, for the two formula for the app
4、lication and promotion of simple after.Key words：Total Probability Formula ;Bayes Formula; Application; Promotion5引言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于 17 世纪。发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域。从十七世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究。概率论的重要课题之一, 就是希望从已知的简单事件概率推算出未知的复杂事件的概
5、率。为了达到这个目的, 经常把一个复杂的事件分成若干个互不相容事件, 再通过分别计算这些简单事件的概率, 最后利用概率的可加性得到最终结果。 这就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率论中一个非常重要的基本公式，通过对概率论课程的研究，发现有多内容可以进一步深化与挖掘，从而得到更广泛，更简洁，更实用的结论，以丰富和完善概率论的理论体系。它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简。在概率论中起着很重要的作用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便。蕴涵的数学思想方法：全概率公式蕴含了化整为零，化复杂为简单的数学思想；全概率
6、公式的本质：全概率公式中的 P(B)是一种平均概率，是条件概率 P 的加()权平均，其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件 发生的概率.贝叶斯公式首先出现在英国学者 T贝叶斯（1702-1761）去世后的 1763年的一项著作中。从形式推导上看，这个公式平淡无奇，它不过是条件概率定义与全概率公式的简单推导。其之所以著名，在于其现实乃至哲理意义的解释上：原以为不甚可能的一种情况，可以因某种事件的发生变得甚为可能；或者相反，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。其
7、中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具。概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。利用好全概率公式和贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中。两个概率公式及推广形式的正确应用6有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式和贝叶斯公式会给我们的解题带来很大方便，而其推广形式将进一
8、步拓展公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具1.全概率公式和贝叶斯公式定义 设 S为试验 E的样本空间， 为 E的一组事件，若1, 2, （i） = ，i ，i，j=1,2n； （ii） =S，12 则称 为样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件 中1， 2 1， 2必有一个且仅有一个发生。例如，设试验 E为“掷一颗骰子观察其点数” 。它的样本空间为 。=1,2,3,4,5,6E的一组事件 =1,2,3， =4,5， =6是 S 的一个划分。而事件组 =1,2,3，1 2 3 1=3,4， =5,6不是 S 的划分。2 31.1 全概率公式定理 设试验 E 的样本空间为 S，A
9、为 E 的事件， 为 S 的一个划分，且1， 2P（ ）0(i=1,2,n)，则P(A)= P( P( ) P(A 丨 )P( ) P(A 丨 )P( ) （1.1）丨 1) 1 + 2 2 + + （1.1）式称为全概率公式。在很多实际问题中 P(A)不易直接求得，但却容易找到 S 的一个划分 ，且1， 2P（ 和 P(A 丨 )或为已知，或容易求得，那么就可以根据（ 1.1）式求出 P(A)。） 1.2 贝叶斯公式定理 设试验 E的样本空间为 S，A 为 E的事件， 为 S的一个划分，且 P(A)1， 20，P（ ）0(i=1,2,n)，则P( ) （1.2）丨 =P(A丨 )P（ ）=1
10、P(A丨 )P（ ）（1.2）式称为贝叶斯公式1.3全概率公式和贝叶斯公式的关系全概率公式的“全”是指要把能影响 A 事件的因素找全。定理说明目标事件 A 发生的概率是在划分（i=1,2 ， ，n）基础上两两互斥事件组 A(i=1,2，n)的概述之7和，可视为为事件 A 的诱发事件， P( )为诱发成功的可能；若 A 已经发生，则来自诱发成功的可能是 ，这本是一个条件概率 P ,使用乘法公式和全概率()() ()公式之后成为贝叶斯公式。在全概率公式和贝叶斯公式中， 是伴随结果 A1,2,发生的各种原因，P（ 是各种原因发生的概率，它一般是有经验给出的，称为先）验概率。P 反映试验后各种情况发生
11、的概率的新结果，可用来修正()P（ 。 “由因索果”用全概率公式， “由果索因 ”用贝叶斯公式。）2.全概率公式和贝叶斯公式的应用2.1 在商业市场中的应用例 1.某电子设备制造厂所用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为 0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。设这三家厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此品出自何厂，需求出此品由三家工厂生产的概率分别是多少？解：设 A 表示 “取到的是一只次品 ”， （i
12、=1,2 ，3 ）表示“所取到的产品是由第 i家工厂提供的” 。易知 ， 是样本空间 S的一个划分，且有1 2， 3P( )=0.15 P( )=0.80 P( )=0.051 2 3P( =0.02 P( =0.01 P( =0.03丨 1) 丨 2) 丨 3)1.由全概率公式P(A)= P( P( ) P(A 丨 )P( ) P(A 丨 )P( )丨 1) 1 + 2 2 + + =0.01252.由贝叶斯公式P( ) = = = 0.241丨 (丨 1)（ 1）() 0.020.150.0125P( ) = 0.64 P( ) = 0.122丨 3丨 以上结果表明，这只产品来自第二家工厂
13、的可能性最大。例 2.某厂生产的产品次品率为某厂生产的产品次品率为 01 ，但是没有适当的仪器进行检验有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为 5试问厂长8能否采用该人所发明的仪器?分析“5的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率” 解：设事件 A表示“客观的次品” ，事件 B表示“经榆验判为次品的产品” ，由题意知P(A)=0.001 P()=0.999P( ) = 0.95 P( ) = 0.05丨 丨 由贝叶斯公式可计算“被检验出次品的实际次品率”为P( ) = 丨 (丨 )（ ）(丨 )（ ） +(丨 )（ ） =
14、 (0.0010.95)/(0.0010.95+0.9990.05)=0.018664同理， “被检验出的正品中实际正品率”为P( ) 0.99947丨 由 P(A B)=0.018664 可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，丨因为被仪器判为次品的产品中实际上有 98以上的是正品，这样导致损耗过高同时，我们也注意到该仪器对 正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品” ，这就降低了损耗，叉保证了正品具有较高的可信度例 3. 一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“S” ，失败记作“D” ，推销员的主观概率 P(S)
15、 0.3，P(D) 0.7，成功的收益为 50000元，失败的收益为-3000 元，请= =咨询公司作预测调查，有两种调整方法 1，2，其费用分别为 2000元，3000 元，若同时进行 1，2，费用为 4000元，了解咨询公司的业绩，预报的结论为：对 1： P P()=0.6 ()=0.1对 2：P P (F：可行；E：不可行)()=0.8 ()=0.1现有如下六种决策:a.不进行调查 ； b.只进行 1 ； c.只进行 2 ; d.1，2 同时进行；e.先做 1，视情况后做 2 ； f.先做 2，视情况后做 1.若效益系数为风险中性，请试选择一种最好的决策？解: 分别计算各决策的期望效益(
16、收支)：.不进行调查：推销 EU 0 P(S) ( 30000) P(D)a=5000 + 950000 0.3 30000 0.7 = =6000不推销，期望效益(收支)为 0. EU(a) 6000 0 3000= 12+ 12=.只进行调查方法 1.bP( ) 06 0.25；. P( )1=(1)() +(1)()= 0.3+0.10.7= 10.75=表示调整结果为不可行，已用咨询费 2000元.1表示可行，导致推销，此时运用贝叶斯公式:1P ) 0.72(1)= (1)()(1)()+(1)()=因而 P 0.28 (1)=期望收支(效益)：EU( ) 500001= 0.7230
17、0000.28=27600EU(b) ；=276000.2520000.75=5400c.只进行 2，同(b)一样用贝叶斯公式有：EU(c) =6796d.同时进行 1.2，有四种可能结果： 12， 12， 12， 12P( )12 =(12)+(12)();=(1)(2)()+(1)(2)()=0.151同理有 P( ) ,P( ) ,P( ) 再运用贝叶斯公式，12=0.09912=0.15912=0.591注意到此时咨询费用为 4000元，进一步计算有 EU(d) =5808e.先进行 l，若结论为不可行(E)，则不进行 2.若结论为可行，则进行 2，经计算(同以前方法)有：EU(e)
18、=4196f.同 e，有 EU(f) =6188根据期望效益准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为6796，对应的决策是 C，即只进行 2是最好的决策，此例中还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合联用是统计决策中的一个重要方法.2.2在医疗诊断中的应用例 1.据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为 0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为 0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率是多少？解：C=患肺癌 A=吸烟10依题意有 P(C)=0.001 P(A)=0.20 P = 0.004 ,需要求条件概率 P .() ()由全概率公式
19、有 P(C) = P P(A) + P P( ) 将数据代入，得() () 0.001 = 0.004 0.20 + P P( )() 0.004 0.20 + P 0.80()P = 0.00025()例 2.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 A表示事件“试验反应为阳性” ，一 C事件表示“被诊断者患有癌症” ，则有 P = 0.95，()P = 0.95。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 0.005，()即 P(C) = 0.005，试求 P 。()解：已知 P = 0.95， P( ) = 0.95() ()P()=1()=10.95=0.0
20、5P(C) = 0.005， P( ) = 0.995 由贝叶斯公式P = = 0.087 ()(丨 )() ()()+ ()()本题的结果表明虽然 P = 0.95，P = 0.95，这两个概率都比较高。() ()但若将此试验用于普查，则有 P = 0.087，亦即其正确性有 8.7%。如果不()注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明 P。()和 ()混淆了会造成不良的后果 例 3.据调查，在 50个耳聋人中有 4人色盲，在 9950个非耳聋人中有 796人色盲，分析两种疾病是否相关.分析:设事件 A 为耳聋人，事件 B 为色盲人，P( ) ，=则 P(A)=1 p.依题意可得， 0.0
21、8， 0.08 ()=450= ()=7969950=由全概率公式，P(B) =1()()=()()+()()=0.08+(1)0.08=0.08所以，P(B) ,事件 A 与事件 B 相互独立.=()=()=0.08经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.112.3 在实际比赛中的应用例 1. 某射击小组共有 20名射手, 其中一级射手 4人, 二级射手 8人, 三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？分析：问题实质上涉及到两个部分：第一, 选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为
22、全面.第二, 某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为： “选出的 级射手” ，i ，则 构 = i=1,2,31， 2， 3成一个完备事件组，有：，且 ， ，123AijAij,3i、由题意： , ,14()20P28()03()2PA“选出的射手能通过选拔进入比赛” ，要求：B ()?B则： 112233()(|)(|)|ABBA=480.9.70.42=62%即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为 62%.这个数比 0.9、0.7 都小，但比 0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例 2. 甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得 1分，每次甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，
23、平局概率为 ,( +=1).比赛进行到一方比对方多 2分为止，多 2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设 为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以 1作为第一、二甲胜的概率， 2作为第一、二次均平局的概率， 3作为第一、二次各胜一局的概率， 1， 2， 3满足定理 1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理 1知：；)/()/()/()( 33221 ABPABPABP易知 ；,/1 所以 ；)()()(2即 .12例 1. 某射击小组共有 20名射手, 其中一级射手 4人, 二级射手 8人, 三级射手 8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0
24、.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？分析：问题实质上涉及到两个部分：第一, 选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为全面.第二, 某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为： =“选出的 级射手” ， ，则 构成一个iAi1,23i123,A完备事件组，有：，且 ， ，123ijij,i、由题意： , ,14()20P28()03()2P“选出的射手能通过选拔进入比赛” ，要求：B ()?B则： 112233()(|)(|)|ABABA=480.9.70.42=62%即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为 62%.这个数比
25、 0.9、0.7 都小，但比 0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例 2. 甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得 1分，每次甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，平局概率为 ,( +=1).比赛进行到一方比对方多 2分为止，多 2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设 为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以 1作为第一、二甲胜的概率， 2作为第一、二次均平局的概率， 3作为第一、二次各胜一局的概率， 1， 2， 3满足定理 1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理 1知：；)/()/()/()( 33221 ABPABPABP易知 ；,/1 所以 ；)()()(2
26、即 .1321)(BP3.全概率公式和贝叶斯公式的推广3.1 全概率公式的推广及应用全概率公式在概率论的计算中有广泛的应用，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，事实上，我们可以对全概率公式进行推广，从而拓展全概率公式的使用范围3.1.1全概率公式推广 1几何概率的严格定义:设某一事件 A(也是 S中的某一区域),S 包含 A,它的量度大小为 (A),若以 P(A)表示事件 A发生的概率,考虑到“均匀分布”性,事件 A发生的概率取为:P(A)=(A)/(S),这样计算的概率称为几何概率。设（） 。是 n+1维随机变量,其分布函数为:F(x,y)F()。其中是 n维连续型随机变量。为一维取值为
27、 0、1 的离散型随机变量。易见 F(x,0.5)/F()和 F(x,)分别是某个随机向量的分布函数,设它们都有密度函数(x,0.5),(x,)。设:p(x,y) (x,0.5) F(x,0.5) （当 y=0）p(x,y)0 （当 y0，y1）p(x,y)(x,)-(x,) F() （当 y=1）则 y0 时, F(x,y)0 (x,0.5)dx当 0 0, 0 (i=1,2,，n) 时, ()CABPCABPCBAP iiiii | .15所以 () =1() ()故 ()=()()=1() (|)而当 C 与 独立时，有：P P(A)1,2, ()=此时： () =1() ()3.1.4
28、 全概率公式的推广 4在第一节对全概率公式的条件和结论作如下改动,就可以得到推广的全概率公式.设 n 个 事件互不相容, 且 ,m个事件 中的 (i = 1 ,2 , 1,2, =1= 1,2, ,m) 只能与事件 之一同时发生, (i=1,2,m)则有 P ( )=1,2, =1 (i=1,2,m)=1()()3.1.5全概率公式的推广 5因为 P ( )= (i=1,2,m) =1()()即 112121)/(/).()/)nnBAPABPAB212 2().1122()(/)(/).()/)mmmnmnP按矩阵的乘法,有= 12()()mBP11212 211(/)(/)(/)(/)(/
29、)(/)nmmmnAPBPBA 12()()n3.2贝叶斯公式的推广 设事件 互不相容,且 ,在事件 中的 (i = 1 ,2 , ,m) 只1,2, 1njA1,2, 能与事件 之一同时发生,则在事件 (i=1,2,m)发生的条件下,事件 1,2, (j=1,2,n)发生的概率 ()/)(/ (1,2.;,.)jijjiPABmjn16将所有的 排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有(/)jiPAB(1,2.;,.)mjn=1212 212/ (/()(/)/(/nmmmPABPAB 1121122 21211()()()/)/)/)()(/)/)/) )nnnmmmnPAPABBPBPAAPAB
30、B =12()1()mPBPB 11212 211(/)(/)(/)(/)(/)(/)nmmnAPBPBA 12()()nPAPA即 12112 212(/)(/)(/)(/)(/)(/)nmmnmBBPAPA =12()1()mPBP1121221(/)(/)(/)/nmmmBBPAPA 12()()nPA17容易证明 1(/)(1,2.)njijPABm3.3全概率公式及贝叶斯公式推广的应用例 1.设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为 ，一人击P中目标被摧毁的概率是 ,两人击中目标被摧毁的概率是 ，三人击中目标被摧毁P 2的概率是 ，求目标被摧毁的概率.3解：令 B=
31、“目标被摧毁” ，A i=“有 i个人击中目标”i=1,2,3, ,213)()(pqCApqpC223)1()(3)(pA其中 .q虽然 A1,A2,A3不构成样本空间 的分割，但添加 C=“三人均未击中”后就构成 的分割，而 .于是由推广结论得：0)(Bp ppqpqpBpiii 3)2(323)( 2231例 2.设有两箱相同的产品，第一箱内装 50件，其中 10件合格品；第二箱内装 30件，其中 18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率.解 ：设 表示“抽取第 箱” ； 表示“第 次取出的产品是合格品” iBi2,1jAj
32、.得： , , ,2,1j21P5|B53|2P| 22111A由于:, ,4| 111 PBBP43|12AP,49|12A297|2A由推广结论 3得：49.0217349| 211212112 BAPBPBP例 3某厂有号码 1、2、3 的箱子个数分别为 其中 1号箱子装有一等品 件，3,n1a18二等品 件，三等品 件，2 号箱子装有一等品 件，二等品 件，三等品 件，31b1c2a2b2c号箱子装有一等品 件，二等品 件，三等品 件，现任选一个箱子，并从中任取一3a3b3c件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解 设 ：“取出的一件是 j号箱的”(j=1，2，3)，且j
33、D31jjDA: 取出的一件是一等品B: 取出的一件是二等品C: 取出的一件是三等品由条件知 P( )= (j=1,2,3) jD123jn11(/)aPAbc22(/)aPAbc33(/)aPADbc11/B22/B33/B11(/)cPCDab22(/)cPCDab33(/)cPCab= =()AB 312(/)/(/)()/AB 123()D=31211122331aabccbcabccabc 123132nn311232212312331 2123213()()()()()()()()()()ann bcbbnacacn 123()()nabc 例 4 炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片
34、,这三种弹片击中坦克的概率依次分别为 0. 191 、0. 3 、0. 6 ,若这三种弹片击中坦克,则其击穿坦克的概率依次分别为 0. 9 、0. 2 、0. 05 ,已知坦克被弹片击穿,求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率解：设 B：“坦克被弹片击穿”:“大弹片击中坦克” ，则 =0.11A1()PA:“中弹片击中坦克” ，则 =0.32 2:“小弹片击中坦克” ，则 =0.6 且 =3 3()123A0.9, =0.2, =0.051()PBA 2()PBA 3PBP(B)P( ) P( ) P( )1 2() 3()0.10.90.30.20.60.050.18所以 123()()(
35、)PABPAB ()123)()()123()(PA .0.189.05.0.61236总结本文详细介绍了全概率公式、全概率公式的应用、全概率公式的推广及其应用、贝叶斯公式以及它与全概率公式的联系、贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用、贝叶斯公式在医疗诊断中的应用、贝叶斯公式在统计决策中的应用、贝叶斯公式的推广定理及其的应用。通过这些详细的讲述，可以看到两个概率公式的应用是多方面的。灵活使用两个概率公式会给我们的解题带来很大方便, 而两个概率公式的推广将进一步拓展两个概率公式的使用范围, 成为我们解决更复杂问题的有效工具。但由于研究周期较短，本研究还有很多不足之处，本文只是举了几个例子来说明它们的
36、应用，事实上它们的应用远不止这些，还可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中。另外还有什么样的问题应该用全概率公式来解决？什么样的问题应该用贝叶斯公式来解决？什么样的问题要综合两个公式来解决？在什么样的问题中要具体应用几步全概率公式20或贝叶斯公式才能解决？本文都没有得出明确的方法和分类，这些都是今后有待进一步深入研究的问题。随着社会的飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。利用数学方法,定量地对医学问题进行相关分析，使其结论具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治等。总之这两个概率公式及推广形式的正确应
37、用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息，进而成为我们解决问题的有效工具。参考文献 1 李贤平. 概率论基础M. 北京: 高等教育出版社, 1997.2 陈希孺. 概率论与数理统计M. 北京: 中国科学技术大学出版社, 2009.3 李贤平,沈崇圣,陈子腾.概率论与数理统计M.上海: 复旦大学出版社,2003.4盛骤.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，1989.5魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，1988.6庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用J.辽宁省交通高等专科学校学报:自然科学版,2003.7复旦大学.概率论M.高等教育出版社.20
