1、第 1 页 共 9 页第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.1.1. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；2()ccca（4）两数和立方公式 ；33()（5）两数差立方公式 22对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 2(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22
2、()()8练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m264(m)(3 ) 2)cc2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ 2xkk）（A） （B） （C） （D）2m214m213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ab8ab）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数第 2 页 共 9 页1.1.2二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不(0)a能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，23ab2ab而 ， ， 等是有理式21x22xy1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去
3、，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与2， 与 ， 与 ， 与 ，等等 一23a362323般地， 与 ， 与 ， 与 互为有理化因xxbyaxbyaxb式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先(0,)abb写成分式的形式，然后通过分母有理
4、化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)ab64(0)xy解： （1） ；3（2） ；2a（3） 6334()xyxy例 2 计算： ()解法一： 33()39 (1)62解法二： 3()33(1)31()第 3 页 共 9 页 312例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .206426解： （1） ，(1)(1)2 1，10(0)()10又 ，2 （2） 6(2)(26)2,1+ +又 42 ，2 4 2 ，6
5、6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045() 204 ()() 20413 例 5 化简：（1） ； （2） 94521(01)xx解：（1）原式 ()52()（2）原式= ，1xx ， ，0所以，原式 x例 6 已知 ，求 的值 3232,xy2253xy解： ，()()10y第 4 页 共 9 页，321xy 2225()30189xy练 习1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12选择题：等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B） （C） （D）0x2x02x3若
6、，求 的值21abab4比较大小：2 （填“ ”，或“”） 3 5 41.1.分式1分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，A0BA分式 具有下列性质：B； MAMB上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式abcd2mnp例 1 若 ，求常数 的值54()2xABx,AB第 5 页 共 9 页解： ，(2)()254()ABxBAxx 5,24解得 ,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n（2）计算： ；2390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有114(
7、)n（1）证明： ，()1()nn （其中 n 是正整数）成立1()（2）解：由（1）可知23910 1()() 109（3）证明： 4n 1()()()231 ，1又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()n 12例 3 设 ，且 e1， 2c25ac2a 20，求 e 的值ca解：在 2c2 5ac2a 20 两边同除以 a2，得2e2 5e20，(2 e 1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e 2练 习1填空题：第 6 页 共 9 页对任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2选择题：若 ，则 （ ）23xyx（A） （ B） （C） （D）5445653正
8、数 满足 ，求 的值,xy2xy4计算 11.3910习题 11A 组1已知 ，求 的值1xy3xy2填空：（1） _；819()(2)（2）若 ，则 的取值范围是_；2aa（3） _13456B 组1填空： （1） ， ，则 _ _；2a13b225ab（2）若 ，则 _ _；20xy3xy2已知： ，求 的值1,3C 组1选择题：（1）若 ，则 （ 2abba）（A） （ B） （C） （D）0b0ba（2）计算 等于 （ 1a）（A） （B） （C） （D）aaa2解方程 2()3()10xx第 7 页 共 9 页3计算： 112435914试证：对任意的正整数 n，有 1234()2n
9、 1412 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23x 2； （2）x 24x12；（3） ； （4） ()aby1y解：（1）如图 121，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得x24x12(x2)
10、( x6)（3）由图 124，得2)aby()ayb（4） xy (xy)1x(x1) (y+1) （如图 1 25 所示） 2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1） ； （2） 329xx22456xyxy解： （1） = =3()()(3)()= ()12xx图 121 1211图 122 2 611图 123 aybyxx图 124 1 1xy图 125第 8 页 共 9 页或329xx32(1)8x (1)81) 22 2（2） =456xyxy22(4)56xyy= = ()()33)x3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 的两个实
11、数根是 、 ，则二次三项20abx12式 就可分解为 .2(0)abc12x例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 2124xy解： （1）令 =0，则解得 ， ，1x21 =2x()()= 2x（2）令 =0，则解得 ，224xy1(2)y，1()x = 22xy()()xyxy练 习1选择题：多项式 的一个因式为 （ ）2215xy（A） （B） （C） （D）3xy3xy5xy2分解因式：（1）x 26x8； （2）8a 3b 3；（3）x 22x1； （4） (1)(2)xyx习题 121分解因式：（1） ； （2） ； 3a4239x（3） ； （4） 22bcacb54yxy2在实数范围内因式分解：第 9 页 共 9 页（1） ； （2） ； 253x23x（3） ； （4） 24y()7()12x3 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状ABCabc22abcabcABC4分解因式：x 2x (a 2a)
