1、 必修一综合素能检测一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)1已知集合 A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则 A NB( )A1,5,7 B3,5,7 C1,3,9 D1,2,3答案 A 解析 A NB1,3,5,7,91,2,4,5,7,8,10,11,13,14, 1,5,7 2方程 log3x x3 的解所在区间是( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3 ,)答案 C解析 令 f(x)log 3xx 3,f(2) f(3)logy3,B 错由 ylog 4u 为增函数知 log4x y,排除 D.(14) (14) (14)6已知方程|
2、x|ax10 仅有一个负根,则 a 的取值范围是( )Aa1 Da1答案 D解析 数形结合判断7已知 a0 且 a1,则两函数 f(x)a x 和 g(x)log a 的图象只可能是( )( 1x)答案 C 解析 g(x )log a log a(x),( 1x)其图象只能在 y 轴左侧,排除 A、B;由 C、D 知,g(x)为增函数,a1,ya x 为增函数,排除 D.选 C.8下列各函数中,哪一个与 yx 为同一函数( )Ay By ( )2 Cy log 33x Dy2 log2xx2x x答案 C 解析 Ayx(x0),定义域不同; Byx( x0),定义域不同;Dyx(x0)定义域不
3、同,故选 C.9下图为两幂函数 yx 和 yx 的图像,其中 , ,2,3,则不可能的是( )1212答案 B解析 图 A 是 yx 2 与 yx ;图 C 是 yx 3 与 yx ;图 D 是 yx 2 与 yx ,故选 B.12 12 1210设函数 f(x)Error!若 f(a)f(a),则实数 a 的取值范围是( )A(1,0) (0,1) B(,1)(1 , )C(1,0)(1,) D( ,1)(0,1)答案 C解析 解法 1:由图象变换知函数 f(x)图象如图,且 f(x) f (x),即 f(x)为奇函数,f( a)f(a)化为 f(a)0,当 x( 1,0)(1,) ,f(a
4、)f(a) ,故选 C.解法 2:当 a0 时,由 f(a)f(a)得,log 2alog a,a1 ;当 af(a)得,log (a)log 2(a),12 121f(x)得:2(2510 x)100(15%) x,将已知条件代入验证知 x4,所以在 2012 年时满足题意12设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)2 x2xb( b 为常数),则 f(1)( )A3 B1 C1 D3答案 D解析 f(x) 是奇函数,f (0)0,即 02 0b,b1,故 f(1)2213,f(1) f (1)3.二、填空题(13化简:(lg2) 2lg2lg5lg5 _.答案 1 解析
5、 (lg2) 2lg2lg5lg5 lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51.14若 f(x) a 是奇函数,则 a_.12x 1答案 解析 f(x)为奇函数, f (1)f (1),即 a a,a .12 12 1 1 12 1 1215已知集合 Ax| x29x 140 ,Bx|ax 20 若 B A,则实数 a 的取值集合为_答案 0,1, 解析 A2,7,当 a0 时,B27满足 B A;当 a0 时,B 由 B A 知, 2 或 7,a1 或2a 2a 27综上可知 a 的取值集合为0, 1, 2716已知 x x ,则 x 的范围为 _23 35答案 (,0)(1,)解析解法:x
6、0x 成立;x0 时,将 x 看作指数函数的底数 且 x x ,x1.23 35 2335 23 35x 的取值范围是( ,0) (1,) 点评 变量与常量相互转化思想的应用三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)用单调性定义证明函数 f(x) 在( 1,)上是增函数x 2x 1解析 证明:设 x1x21,则f(x1)f (x2) 0f(x 1)f(x2)f(x)在( 1,)上是增函数x1 2x1 1 x2 2x2 1 3(x1 x2)(x1 1)(x2 1)18(本题满分 12 分)已知全集 R,集合 Ax| x2px
7、120,B x|x25xq0,若( RA)B2 ,求pq 的值解析 ( RA)B2 ,2B,由 Bx|x 25x q0 有 410q0,q6,此时 B x|x25x 6 2,3 假设 RA 中有 3,则( RA)B2,3与( RA)B2矛盾,3R 又 3(RA),3A,由 A x|x2px120有 93p120,p7.pq1.19(本题满分 12 分)设 f(x) ,若 0a1,试求:4x4x 2(1)f(a)f(1a)的值;(2)f( )f( )f( )f( )的值11 001 21 001 31 001 1 0001 001解析 (1)f(a)f(1 a) 4a4a 2 41 a41 a
8、2 1 f ( )f ( )f( )f( ) f( )f( )1.原式4a4a 2 44 24a 4a 24a 2 11001 1 0001001 21001 9991001 5001001 5011001500.20(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x22ax2a0 有两个不相等的实根,求分别满足下列条件的 a 的取值范围(1)方程两根都小于 1;(2) 方程一根大于 2,另一根小于 2.解析设 f(x)x 22ax 2a(1)两根都小于 1,Error!,解得 a1.(2)方程一根大于 2,一根小于 2,f(2)0 a2.21(本题满分 12 分)已知函数 f(x)log a(aa
9、 x)(a1) (1)求函数的定义域和值域;(2)讨论 f(x)在其定义域内的单调性;(3) 求证函数的图象关于直线 yx 对称解析 (1)解:由 aa x0 得,a xa,a1,x 1,函数的定义域为(,1)a x0 且 a ax0.0a axa.log a(aa x)(,1),即函数的值域为( ,1)(2)解:uaa x 在(,1)上递减,ylog a(aa x)在(,1) 上递减(3)证明:令 f(x)y,则 ylog a(aa x),a yaa x,a xaa y,xlog a(aa y),即反函数为 ylog a(aa x), f(x)log a(aa x)的图象关于直线 yx 对称
10、点评 (1)本题给出了条件 a1,若把这个条件改为 a0 且 a1,就应分 a1 与 0a1 进行讨论请自己在 0a1 的条件下再解答(1)(2)问22(本题满分 14 分)已知函数 f(x) 的定义域为 , ,(a0)axx2 1 12 12(1)判断 f(x)的奇偶性 (2)讨论 f(x)的单调性(3)求 f(x)的最大值解析 (1)f(x ) f (x),f (x)为奇函数 axx2 1(2)设 x 1x 2 ,f( x1)f (x2) 12 12 ax1x21 1 ax2x2 1 a(x2 x1)(x1x2 1)(xoal(2,1) 1)(xoal(2,2) 1)若 a0,则由于 x 10,x 10,x 2x 10,x 1x2 10.f (x1)f(x 2)021 2f(x 1)f(x 2)即 f(x)在 , 上是减函数12 12若 a0,同理可得,f(x )在 , 上是增函数12 12(3)当 a0 时,由(2) 知 f(x)的最大值为f( ) a.当 a0 时,由(2)知 f(x)的最大值为 f( ) a.12 23 12 23