广西南宁市2017年高考文科数学一模试卷.doc-道客多多

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1、2017 年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知集合 A=x|（x 2）（x +6）0，B=x|3x4，则 AB 等于（）A（3 ，2） B（3，2） C（2，4） D（2，4）2复数 z= 的虚部为（）A B1 C D3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为80，82），82 ，84），84，86 ），86，88），88，90），90 ，92），92，94），94 ，96，则样本的中位数在（）A第 3 组 B第 4 组

2、C第 5 组 D第 6 组4已知函数 f（x）=cos（x ）（0）的最小正周期为，则函数f（x）的图象（）A可由函数 g（x）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B可由函数 g（x）=cos2x 的图象向右平移个单位而得C可由函数 g（x）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D可由函数 g（x）=cos2x 的图象向右平移个单位而得5已知数列a n满足： = ，且 a2=2，则 a4 等于（）A B23 C12 D116已知角的终边过点（2sin 2 1，a），若 sin=2 sin cos ，则实数a 等于（）A B C D7执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3

3、，则输出 S 的值为（）A10 B15 C18 D218已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 MF 相交于点 A，若 =2，则 p 等于（）A1 B2 C2 D49已知非零向量、满足| |=| +2 |，且与的夹角的余弦值为，则等于（）A B C D210如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A12 B15 C18 D2111已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左焦点为 F（c，0），M 、N 在双曲线 C 上， O 是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OF

4、MN的面积为 cb，则双曲线 C 的离心率为（）A B2 C2 D212已知函数 f（x ）=x 26x3，设 maxp，q 表示 p，q 二者中较大的一个函数 g（ x）=max（） x2，log 2（x +3）若 m 2，且 x1m， 2），x2（0，+ ），使得 f（ x1）=g（x 2）成立，则 m 的最小值为（）A 5 B4 C2 D 3二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13如果实数 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为 14在区间1，5上任取一个实数 b，则曲线 f（ x）=x 32x2+bx 在点（1，f（1）处切线的倾斜角为钝角的

5、概率为 15我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为ai（i=1，2，10），且 a1a 2 a 10，若 48ai=5M，则 i= 16在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=3，点 E 在棱 AB 上，点 F 在棱 C1D1 上，且平面 B1CF平面 A1DE，若 AE

6、=1，则三棱锥 B1CC1F 外接球的表面积为三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17（12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且accosBbccosA=3b2（1）求的值；（2）若角 C 为锐角，c= ，sinC= ，求ABC 的面积18（12 分）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 22 列联表：非优良优良总计未设立自习室

7、25 15 40设立自习室 10 30 40总计 35 45 80（1）能否在在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取 5 个成绩，再从这 5 个成绩中随机抽取 2 个，求这 2 个成绩来自同一次月考的概率下面的临界值表供参考：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K 2= ，其中 n=a+b+c+d）19（12

8、分）如图，在四棱锥 ABCED 中，AD底面BCED，BDDE，DBC= BCE60，BD=2CE（1）若 F 是 AD 的中点，求证：EF平面 ABC；（2）M 、N 是棱 BC 的两个三等分点，求证：EM 平面 ADN20（12 分）已知 F1（c，0）、F 2（c、0 ）分别是椭圆 G： + =1（0ba 3）的左、右焦点，点 P（2，）是椭圆 G 上一点，且|PF1|PF2|=a（1）求椭圆 G 的方程；（2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、B 两点，若，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21（12 分）已知函数

9、f（x ）=x ，mR，且 m0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若 m=1，求证：函数 F（x）=x 有且只有一个零点请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 =4cos，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为（t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积选修 4-5：不等式选讲23设实数 x，y 满足 x+ =

11、复数 z= 的虚部为（）A B1 C D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z= = ，复数 z= 的虚部为故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为80，82），82 ，84），84，86 ），86，88），88，90），90 ，92），92，94），94 ，96，则样本的中位数在（）A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组【考点】频率分布直

12、方图【分析】根据频率分布直方图求出前 4 组的频数为 22，且第四组的频数 8，即可得到答案【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1 ）2=0.55，则其频数为 400.55=22，且第四组的频数为 400.12=8，故中位数落在第 4 组，故选：B【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查频率、频数的关系：频率=频数数据总和，以及中位数的定义，属于基础题4已知函数 f（x）=cos（x ）（0）的最小正周期为，则函数f（x）的图象（）A可由函数 g（x）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B可由函数 g（x）=cos2x 的图象向右平移

13、个单位而得C可由函数 g（x）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D可由函数 g（x）=cos2x 的图象向右平移个单位而得【考点】余弦函数的图象【分析】根据函数 f（x）的最小正周期为，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可【解答】解：函数 f（x） =cos（x ）（0 ）的最小正周期为，即 T= ，=2，则 f（x）=cos（2x ）的图象可有函数 g（x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得故选：D【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用属于基础题5已知数列a n满足： = ，且 a2=2，则 a4 等于（）A B23 C12

14、D11【考点】等比数列的通项公式【分析】数列a n满足： = ，可得 an+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列a n满足： = ，a n+1+1=2（a n+1），即数列an+1是等比数列，公比为 2则 a4+1=22（a 2+1）=12，解得 a4=11故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知角的终边过点（2sin 2 1，a），若 sin=2 sin cos ，则实数a 等于（）A B C D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论

15、【解答】解：2sin 2 1=cos = ，2 sin cos = ，角的终边过点（2sin 2 1，a），sin=2 sin cos ， = ，a= ，故选 B【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题7执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（）A10 B15 C18 D21【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当n=5，S=15 时，不满足条件 Skn=15，退出循环，输出 S 的值为 15，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件 Skn，执行循环体，n=2 ，S=3满足条

16、件 Skn，执行循环体，n=3 ，S=6满足条件 Skn，执行循环体，n=4 ，S=10满足条件 Skn，执行循环体，n=5 ，S=15此时，不满足条件 Skn=15，退出循环，输出 S 的值为 15故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题8已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，点 M（x 0，2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 MF 相交于点 A，若 =2，则 p 等于（）A1 B2 C2 D4【考点】抛物线的简单性质【分析】设 M 到准线的距离为 |MB|，则|MB|=|MF|，利用 =2，得

17、x0=p，即可得出结论【解答】解：设 M 到准线的距离为 |MB|，则|MB |=|MF|， =2，x 0=p，2p 2=8，p0，p=2故选 B【点评】本题考查抛物线定义的运用，考查学生的计算能力，比较基础9已知非零向量、满足| |=| +2 |，且与的夹角的余弦值为，则等于（）A B C D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量的平方即为模的平方可得 = 2，再由向量的夹角公式：cos ， = ，化简即可得到所求值【解答】解：非零向量、满足| |=| +2 |，即有（） 2=（ +2 ） 2，即为 2+ 22 = 2+4 +4 2，化为 = 2，由与的夹角的余弦

18、值为，可得 cos ， = = = ，化简可得 =2故选：D【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题10如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A12 B15 C18 D21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4，3，3 的长方体，切去一半得到的，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为： 433=18，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档1

19、1已知双曲线 C： =1（a0，b0）的左焦点为 F（c，0），M 、N 在双曲线 C 上， O 是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN的面积为 cb，则双曲线 C 的离心率为（）A B2 C2 D2【考点】双曲线的简单性质【分析】设 M（x 0，y 0），y 00，由四边形 OFMN 为平行四边形，四边形OFMN 的面积为 cb，由 x0= ，丨 y0 丨= b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线 C 的离心率【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b0）焦点在 x 轴上，设 M（ x0，y 0），y 00，由四边形 OFMN 为平行四边形，x 0= ，四

20、边形 OFMN 的面积为 cb，丨 y0 丨 c= cb，即丨 y0 丨= b，M（， b），代入双曲线可得： =1，整理得：，由 e= ，e 2=12，由 e1，解得：e=2 ，故选 D【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题12已知函数 f（x ）=x 26x3，设 maxp，q 表示 p，q 二者中较大的一个函数 g（ x）=max（） x2，log 2（x +3）若 m 2，且 x1m， 2），x2（0，+ ），使得 f（ x1）=g（x 2）成立，则 m 的最小值为（）A 5 B4 C2 D 3【考点】函数的图象【分析】求出 g（x）

21、，作函数 y=f（x）的图象，如图所示，f（x ）=2 时，方程两根分别为5 和1，即可得出结论【解答】解：由题意，g（ x）= ，g（x） min=g（1）=2，f（x）=（x 3） 2+6 6，作函数 y=f（x）的图象，如图所示，f（x）=2 时，方程两根分别为5 和1，则m 的最小值为5故选 A【点评】本题主要考查了函数的等价转化思想，数形结合的数学思想，以及函数求值域的方法，属中等题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13如果实数 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为 7 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的

22、斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（1，2），化目标函数 z=3x+2y 为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 7故答案为：7【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14在区间1，5上任取一个实数 b，则曲线 f（ x）=x 32x2+bx 在点（1，f（1）处切线的倾斜角为钝角的概率为【考点】几何概型【分析】利用曲线 f（x） =x32x2+bx 在点（1，f（1）处切线的倾斜角为钝角，求出 b 的范围，以长度为

23、测度，即可求出所求概率【解答】解：f（x）=x 32x2+bx，f（x）=3x 24x+b，f（1）=b 10，b1由几何概型，可得所求概率为 = 故答案为【点评】本题考查概率的计算，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题15我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为ai

24、（i=1，2，10），且 a1a 2 a 10，若 48ai=5M，则 i= 6 【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为a n且设公差为 d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出 a1 和 d 值，由等差数列的前 n 项和公式求出该金杖的总重量 M，代入已知的式子化简求出 i 的值【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为a n，设公差为 d，则，解得 a1= ，d= ，所以该金杖的总重量 M= =15，因为 48ai=5M，所以 48 +（i 1） =25，即 39+6i=75，解得 i=6，故答案为：6【点评】本题考查等差数列的通项

25、公式、前 n 项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力16在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=3，点 E 在棱 AB 上，点 F 在棱 C1D1 上，且平面 B1CF平面 A1DE，若 AE=1，则三棱锥 B1CC1F 外接球的表面积为 19 【考点】球的体积和表面积【分析】根据平面 B1CF平面 A1DE，得到 C1F=AE=1，再求出三棱锥 B1CC1F 外接球直径，问题得以解决【解答】解：当 C1F=AE=1 时，可得 CFA 1E，又 A1D1B 1C，且 CFB 1C=C，平面 B1CF平面 A1DE，三棱锥 B1CC1F 外接球的直径为 = ，其表面积为（

26、） 2=19，故答案为：19【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17（12 分）（2017南宁一模）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ，且 accosBbccosA=3b2（1）求的值；（2）若角 C 为锐角，c= ，sinC= ，求ABC 的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由 accosBbccosA=3b2，利用余弦定理可得 =3b2，化简即可得出（2）由角 C 为锐角，sinC= ，可得 cosC= 利用余弦定理可得=a2+b22ab ，与 a=2b 联立解得

27、b，a，即可得出【解答】解：（1）accosB bccosA=3b2， =3b2，化为：a=2b，因此 =2（2）角 C 为锐角，sinC= ，cosC= = =a2+b22ab ，化为：3a 2+3b22ab=33，又 a=2b，联立解得 b2=3，S ABC = sinC= = =2 【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）（2017南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学

28、期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 22 列联表：非优良优良总计未设立自习室 25 15 40设立自习室 10 30 40总计 35 45 80（1）能否在在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取 5 个成绩，再从这 5 个成绩中随机抽取 2 个，求这 2 个成绩来自同一次月考的概率下面的临界值表供参考：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072

29、 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K 2= ，其中 n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由 22 列联表，计算 K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的 5 个成绩，利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值【解答】解：（1）由 22 列联表，计算 K2 的观测值为k= = 7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取 5=3 个，记为 A、B

30、、C；从第二次月考数学优良成绩中抽取 5=2 个，记为 d、e；则从这 5 个成绩中抽取 2 个，基本事件是AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce 、de 共 10 个，其中抽取的 2 个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de 共 4 个，故所求的概率为 P= = 【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题19（12 分）（2017南宁一模）如图，在四棱锥 ABCED 中，AD底面BCED，BDDE，DBC= BCE60，BD=2CE（1）若 F 是 AD 的中点，求证：EF平面 ABC；（2）M 、N 是棱 BC 的两个三等分点，求证：E

31、M 平面 ADN【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）取 BD 的中点 G，连接 EG，FG，证明平面 EFG平面 ABC，即可证明：EF平面 ABC；（2）M 、N 是棱 BC 的两个三等分点，证明 EMND，AD EM，即可证明：EM平面 ADN【解答】证明：（1）取 BD 的中点 G，连接 EG，FG，F 是 AD 的中点，FGAB，BD=2CE， BG=CE，DBC=BCE，E ，G 到直线 BC 的距离相等，则 EGCB，EGFG=G ，平面 EFG平面 ABC，EF 平面 EFG，EF 平面 ABC；（2）BD DE，DBC=BCE60，BD=2CE，BC

32、=3CE，M、 N 是棱 BC 的两个三等分点，MN=CE，BD=BN，DBC=60，BDN 是正三角形，即BND=60 ，BCE=60 ，CEND，CEM 中，CM=2CE，BCE=60，CEM=90，EMCE，EMND，AD平面 BCED，ADEM，ADND=D，EM平面 ADN【点评】本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12 分）（2017南宁一模）已知 F1（ c，0）、F 2（c、0 ）分别是椭圆 G：+ =1（0ba3）的左、右焦点，点 P（2，）是椭圆 G 上一点，且|PF1|PF2|=a（1）求椭圆 G 的方程；（

33、2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、B 两点，若，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨 PF1 丨= a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，则求得 a 的值，b 2=a2c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线 lx 轴，将直线 x=m 代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的

34、距离公式，即可求得 O 到直线 l 的距离为定值【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF2|=2a由|PF 1|PF2|=a丨 PF1 丨= a=3|PF2|，则 =3 ，化简得：c 25c+6=0，由 c a3，c=2，则丨 PF1 丨=3 = a，则 a=2 ，b2=a2c2=4，椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线 l 不过原点，设 A（x 1，x 2），B（x 2，y 2），当直线 lx 轴，直线 l 的方程 x=m，（m0），且2 m 2 ，则 x1=m，y 1= ，x 2=m，y 2= ，由，x 1x2+y1y2=0，即 m2（4 ）=0 ，解得：m= ，

35、故直线 l 的方程为 x= ，原点 O 到直线 l 的距离 d= ，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+n，则，消去 y 整理得：（1+2k 2）x 2+4knx+2n28=0，x1+x2= ，x 1x2= ，则 y1y2=（kx 1+n）（kx 2+n）=k 2x1x2+kn（x 1+x2）+n 2= ，由，x 1x2+y1y2=0，故 + =0，整理得：3n 28k28=0，即 3n2=8k2+8，则原点 O 到直线 l 的距离 d= ，d 2=（） 2= = ，将代入，则 d2= = ，d= ，综上可知：点 O 到直线 l 的距离为定值【点评】本题考查椭

36、圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题21（12 分）（2017南宁一模）已知函数 f（x）=x ，mR，且 m0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若 m=1，求证：函数 F（x）=x 有且只有一个零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分 m0 和 m0 两种情况讨论原函数的单调性；（2）把 m=1 代入函数解析式，求出导函数 F（x）= ，设 h（x）=x21+lnx，利用导数可得 h（x ）=x 21+lnx 在（0，+）上为增函数，

37、结合h（1 ）=0，可得 F（1）=0 且 F（x）有唯一的零点 1从而得到 0x1 时，F（ x）0，x1 时，F（x ）0可得 F（x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，结合 F（x）的最小值为 F（1）=0 可知函数 F（x）=x有且只有一个零点【解答】（1）解：f（x）=1 = ，x0，当 m0 时，f（x ）0，则 f（x）在（0，+）上单调递增；当 m0 时，由 f（x ）0，解得 x ，由 f（x ）0，得 0x f（ x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）证明：由已知，F（ x）=x ，则 F（x ） = ，设 h（x）=x 21+lnx

38、，则 h（x）=2x+ 0（x0），故 h（x）=x 21+lnx 在（0， +）上为增函数，又由于 h（1）=0，因此 F（1）=0 且 F（x）有唯一的零点 1当 0x1 时，F（x）0，当 x1 时，F（x）0F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，F（x）的最小值为 F（1 ）=0 函数 F（x）=x 有且只有一个零点【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点存在性定理的用法，考查逻辑思维能力与运算能力，是压轴题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10 分）（2017南宁一模）已知曲线

39、C 的极坐标方程为 =4cos，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为（t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P，Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）对于曲线 C：由 =4cos 可得 2=4cos，坐标化即可，对于 l，消去 t 整理可得；（ 2）由（ 1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积【解答】解：（1）对于曲线 C：由 =4cos，得 2=4cos，x 2+y2=4x对于

40、 l：由（t 为参数），消去 t 可得，化为一般式可得；（2）由（1）可知 C 为圆，且圆心为（2，0），半径为 2，弦心距，弦长，以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，属基础题选修 4-5：不等式选讲23（2017南宁一模）设实数 x，y 满足 x+ =1（1）若|7y|2x+3，求 x 的取值范围；（2）若 x0，y0，求证： xy【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】（1）根据题意，由 x+ =1，则 y=44x，则 |7y|2x+3，可得|4x+3|2x+3，解可得 x 的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得 1=x+ 2 = ，即 1，用作差法分析可得 xy= （1 ），结合的范围，可得 xy0，即可得证明【解答】解：（1）根据题意，若 x+ =1，则 4x+y=4，即 y=44x，则由|7y|2x+3，可得|4x+3|2x+3 ，即（2x+3）4x+32x+3，解可得1x0；（2）证明：x0，y0，1=x+ 2 = ，即 1，xy= （1 ），又由 0 1，则 xy= （1 ）0，即 xy 【点评】本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用 x+ =1 分析变量 x、y 之间的关系

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