1、12010 学年第一学期上海重点中学期中考试高三数学试卷（文）考生注意：本试卷共有 20 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一.填空题（本大题满分 40 分）本大题共有 10 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1.若集合 ， 满足 ，则实数 5 5AxaxB5ABa2.若 ，则正整数 的值为_10_.31nCPn3.记 的展开式中第 m 项的系数为 ，若 ，则 的值为_5_.x)(mb432bn4.方程 的解集为 .2coslg16lg4|,6xkZ5.在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 , ，它们的终边分别与单位
2、圆相yox交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 则 tan( )的值为_ _.25,1036.已知函数 ，若存在 使 成立，则实数 的取值21fx,gxRxfxbg b范围是_ _.(0)(4)7.不等式 的解集是_ _.9lox1,0)8.若函数 ，则不等式 的解集为_-1,1_.2,0f2fx9.已知函数 ，若关于 x 的方程 在区间2()4sincos1fxxa()0f上有实数解，则实数 a 的取值范围是_ _.324， 4,510.设 是定义在 上的奇函数，且对于任意的 ， 恒成立，fxRxR1fxf当 时， .若方程 恰好有 5 个不同的解，则实数 的取值范围0,12fx
3、fxa是_ _.,375二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.211若 ，则 M，N 两个集合的关系是（ D ）|,12|2xyNxyMA B ()C D12 “ 成立”是“ 成立”的（ A ）(5)0x4A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件13.在三角形 ABC 中，若 则此三角形必是（ B ）sin()2cosin,CBA正三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形14.已知二次函数 （其中 ）的图像如下面右图所示，则函数()(fxaxbab
4、的图像是 ( A ) ()xgab三.解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤15 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分.已知集合 ，集合 ，集1|xA|xB合 |Ca（1）求 AB；（2）若 ，求实数 的取值范围a解：（1） 或 ， 2 分|2|1|xx3= 4 分|5所以 AB= 6 分x或（2）因为 ，所以 ，10 分BC21a或因此实数 a 的取值范围是 12 分5或16.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6
5、 分.在 中， AB0cos,cs,5BA（1）求角 C； （2）求 的面积f (x)3解：（1）由 ， ，得 ，5cosA10cosB02AB、 ，所以 4 分23ini.，因为 ，6 分2cos()cos()cossinCABAB又 ， 故 8 分0.4（2）根据正弦定理得 ， 11 分sin6 sini 10CBC所以 的面积为 14 分ABCACS1i.25A17 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.已知函数 2()sinco3sin44xxf（1）求函数 的最小正周期及最值；（2）令 ，判断函数 的奇偶性，并加以证明()3g
6、xf()gx解：（1） 4 分2()sin(1sin)24xfi3cos2xin3的最小正周期 6 分()fxT当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值sin123()fx2sin13x()fx28 分（2）由（1）知 又 ()2sin3xf()3gxf 11 分1()sigxi2cos24B CDA 13 分()2cos2cos()xgxgx函数 是偶函数 14 分18 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 9 分，第 2 小题满分 5 分.现建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 06（如图） ，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为 3
7、平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小.（1）求外周长 的最小值，此时防洪堤高 h 为多少？l（2）如防洪堤的高限制在 范围内，则外周长 的最小应32, l为多少米？【解】 （1）依题意有 6)(1hBCAD， hhBCAD3260cot2所以 hBC3),32( 3 分所以 26360sinhhAl6 分当 h3，即 时等号成立.所以外围的周长的最小值为 26米，此时堤高 6h米.-9 分（2）由（1）知 )(3hl， 因为函数 在 递增 11 分6,所以当 时， （米） 13 分hmin()53l故外周长最小应为 米. 14 分53
8、19.（本题满分 18 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 10 分，第 2 小题满分 8 分.请认真阅读并思考以下五个命题：函数 的图像与其反函数 的图像有公共点，且公共点必在直线xf16)( )(1xf上.xy5函数 是奇函数的充要条件是 .1()2xfm12m若定义在 R 上的函数 满足 和 ，则函数()f()(fxf)(1)fxf一定是偶函数.()fx已知函数 在 上是增函数，若 ，且 ，则)(xf,Rba， 0ab.()fabafb设函数 的图像关于直线 对称，则函数 在区间 上是12)(mf xy)(xf)1(，减函数.（1）请你将五个命题中真命题的序号全部选择出来，并选择
9、其中一个加以证明；（2）请你将五个命题中假命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明.解：（1）真命题的序号是. 3 分的证明：因为 ，(1)(fxf所以 .1)()f xfxf又由 得 ，(2f ，()函数 是偶函数.fx故命题是真命题.的证明：因为 在 R 上是增函数，且 ，所以 .)(f ab)()afb同向相加得 . 故命题是真命题.)()(ffa的证明：由 得 .12)(xmf mxf2)(1依题意知，函数 与其反函数 是同一函数， . .112)(xf设 ，则且 ,)1(, 212xx1221213() 0()xffx函数 在 上是减函数.f,故命题是真命题. 10 分（2）假
10、命题的序号是. 12 分的证明：由 ，得 .xf16)( xf161log)(函数 的图像与其反函数 的图像有三个公共点，且只有一个公共点在直线xf上，而另外两个公共点 和 都不在直线 上.所以命题是假命题.y)4,2(),(xy6的证明：当 时， .12m1()2xf由 ， ，得 .15()f12f(1)(ff所以函数 不是奇函数. 故命题是假命题. 18 分fx20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分.已知函数 定义在 R 上.1()2xf（1）若函数 的反函数为 ，且 ，求实数 的值；1()fx1()f
11、aa（2）若 可以表示为一个偶函数 与一个奇函数 之和，设 ，g()hx()hxt，求出 的解析式；2()ptgxmhpt（3）若对任意 都有 成立，求实数 m 的取值范围.,()pt解：（1）依题意有 . 4 分21a（2）假设 ，其中 为偶函数， 为奇函数，()()fxghx()gx()hx则有 ，即 ，f由解得 ， . 6 分2f 2fh 定义在 R 上， ， 都定义在 R 上.()fx()gx ， .)ffg()()()fxfhx满足 是偶函数， 是奇函数， 又 ，()h1x ，1)22xxxfx. 8 分(xxxh由 ，则 ，12xtR平方，得 ， ，221()xx221()xgt故 . 11 分ptmt（3） 在 上是增函数， 12 分)th1, . 13 分524 对于 恒成立，22() 1ptt35,24t 对于 恒成立， 15 分21()mtt35,47令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，1()2t2t 2t而 ，函数 在 上是减函数，35,41()t35,4 ， 17 分max17()()2t故 . 18 分
