1、2005 年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 ，则 = .xy)sin(xdy（2） 曲线 的斜渐近线方程为.231（3） 1022)(xd（4） 微分方程 满足 的解为xyln 91)(y（5）当 时， 与 是等价无穷小，则0x2)(kxxcosarsink= .（6）设 均为 3 维列向量，记矩阵21,， ，),(321A )93,42,( 32131321 B如果 ，那么 .二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填
2、在题后的括号内）（7）设函数 ，则 f(x)在 内nxxf31lim)(),(A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要条件是“NN”，则必有(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 . （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. （9）设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与)1ln(,2tyxx 轴交点的横坐标是 (
3、A) . (B) . 32ln813l8(C) . (D) . 2n（10）设区域 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，0,4),(2yxyxDa,b 为常数，则 dyfxfbaD)()(A) . (B) . (C) . (D) . b2)ba2ba（11）设函数 , 其中函数 具有二阶导数，yxdtyxu)()(),( 具有一阶导数，则必有(A) . （B ） .22yx22yux(C) . (D) . 2u2（12）设函数 则,1)(xef(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.(C) x=0 是 f(x)的第一类间断点
4、，x=1 是 f(x)的第二类间断点 .x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. （13）设 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ，21, 21,1线性无关的充分必要条件是)(21A(A) . (B) . (C) . (D) . 0102102（14）设 A 为 n（ ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, 分 *,BA别为 A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换 的第 1 列与第 2 列得 . (B) 交换 的第 1 行与第 2 行得 . *B*(C) 交换 的第 1 列与第 2 列得 . (D) 交换 的第 1 行与
5、第 2 行得 . 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf（16） （本题满分 11 分）如图， 和 分别是 和 的图象，过点1C2)1(xeyxy(0,1)的曲线 是一单调增函数的图象. 过 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的3C直线 和 . 记 与 所围图形的面积为 ； 与 所围图形的面积为xly21,xl )(1xS32,Cyl如果总有 ，求曲线 的方程).(2yS)(21ySx3C).(yx（17） （本题满分 11 分
6、）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为 (2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续1l2导数，计算定积分 302.)(dxfx（18） （本题满分 12 分）用变量代换 化简微分方程)0(cost，并求其满足 的特解.)1(2yx 2,10xxy（19） （本题满分 12 分）已知函数 f(x)在 0，1上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得 ；),10()(f（II）存在两个不同的点 ，使得1,0,.1)(f（20） （本题满分 10 分）已知
7、函数 z=f(x,y) 的全微分 ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域ydxdz2上的最大值和最小值.14),(2yxD（21） （本题满分 9 分）计算二重积分 ，其中 .dyxD12 10,),(yxyD（22） （本题满分 9 分）确定常数 a,使向量组 可由向量组,)(1Ta,)1(2TTa),(3线性表示，但向量组 不能由向,)1(Ta,42(3 321,量组 线性表示.32（23） （本题满分 9 分）已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 不全为零，矩阵 （k 为常数） ，且 AB=O, 求线性cba,),( B63421方程组 Ax=0 的通解.以下题型均在 05
8、年考研文登数学辅导班中讲过1【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： = ，于是xy)sin1()sin1l(xe，icol)sinl(ex从而 =xdy.d方法二： 两边取对数， ，对 x 求导，得)sin1l(lnxy，yico)si1l(于是 ，故sin1nlinxxx=xdy.)(d【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.55【例 2.15】2【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
9、.【详解】 因为 a= ,1)(lim)(li23xxf，2)(li)(li32afbxx于是所求斜渐近线方程为 .3y【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 时，极限x不存在，则应进一步讨论 或 的情形，即在右或左侧是否存xfa)(limx在斜渐近线，本题定义域为 x0，所以只考虑 的情形.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.192【例 7.32】3【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令 ，则txsin1022)(d02cos)i(dtt= .4)artn(s120 202 t
10、td【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.130【例 4.54】4.【分析】直接套用一阶线性微分方程 的通解公式：)()(xQyP， )()()( CdxeQeydxP再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，xyln2于是通解为 ln1l 22 CxdCdeeyxdx= ，291ln3由 得 C=0，故所求解为91)(y .91ln3xy【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即 ，两边积分得xyxl22 xyl22，Cd3391ln再代入初始条件
11、即可得所求解为 .xy完全类似公式见数学复习指南 （理工类）P.1545【分析】 题设相当于已知 ，由此确定 k 即可.1)(lim0x【详解】 由题设， 200 cosarsinli)(li kxxx = )csarsi1(cnli20 xkx= ，得143olim20 kxx .43【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.38【例 1.6263】6【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,( 32131321 = ，94),(
12、321于是有 .1AB【评注】 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若，naa1211，22，nmmmaa21则有 .,2121212121 mnnmnm aa 完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.356【例 1.5】7.【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形 .【详解】 当 时， ；1x1li)(3nxxf当 时， ；mn当 时，1x .)1(li)( 33xxxf nn即 可见 f(x)仅在 x= 时不可导，故应选(C)1,)(3xf 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.完全类似例
13、题见数学复习指南 （理工类）P.56【例 2.20】8. 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ，且xCdtfF0)()( ).(xfF当 F(x)为偶函数时，有 ，于是 ，即 )(xF1，也即 ，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，)(xffff则 为偶函数，从而 为偶函数，可见(A)为正确选项.xdt0 xCdt0)()(方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= , 排除(D);21x故应选(A).【评注】 函数 f(x)与其原函数
14、 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系？完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.10【例 1.51.7】9【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当 x=3 时，有 ，得 （舍去，此时 y 无意义） ，于是32t3,1t，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：811ttdxy，)3(2lnx令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： , 故应(A).2ln8【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别
15、小心，稍不注意答案就可能出错.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.53【例 2.9】10【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 . 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有dyfxfbaD)()( dxfyfbaD)()(= ffff )()()()(21= 应选(D)2412babadbaD【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对称性（x,y 互换，D 保持不变）时，往往用如下方法：DDdxyfyxfdxyfdxyf .),(),(21),(),(公式见 P.285, 完全类似方法见数学复习指南 （理工类）
16、P.300【例 11.26】11【分析】 先分别求出 、 、 ，再比较答案即可.2xuyxu2【详解】 因为 ，)()()()( yx，yxyu于是 ，)()()()(2 yxx ，)()()()(yxyu ，)()()()(2 yxx 可见有 ，应选(B).22yux【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取 ，则 ，容易验算只有1)(,)(2ttyxyu2),(2成立，同样可找到正确选项(B).22yux完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.267【例 10.16】及习题十（第 11 题）12.【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，
17、其分类主要考虑左右极限 .【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以 x=0 为第二类间断点；)(lim0xf， ，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D).1x 1)(li1xf【评注】 应特别注意： ， 从而 ，li1x .1limx1limxe.0lim1xe完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.41【例 1.68】13.【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则0)(2121Ak， .02121k 021k由于 线性无关，于是有2,.0,21k当 时，显然有 ，此时 ， 线性无关；反过来
18、，0,21k1)(2A若 ， 线性无关，则必然有 (,否则， 与 = 线性相关)，1)(2A11故应选(B).方法二： 由于 ，21212121 0,)(, A可见 ， 线性无关的充要条件是 故应选(B).1)(2 .021【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.407【例 3.17】14【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得） ，12E使得 ，于是 ，即BAE12 *
19、21*12*)( EAEA,可见应选(C).*【评注】 注意伴随矩阵的运算性质：，当 A 可逆时，* ,1*.)(BA完全类似例题及性质见数学复习指南 （理工类）P.381【例 2.14，例 2.29】15 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于 ,于是000 )()()(xxxut duffdfxxx ftttf 000 )(lim)(lim= =xx xfduft0)()(li xxfduft0)()(li= =)()(lim0xfduftxx.21)(f【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则=xxfdu
20、ft0)()(li .21)()(li0xff错误的原因：f(x)未必可导.完全类似处理方法见数学复习指南 （理工类）P.5【例 10】16. 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积 ，再根据)(,21ySx建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.)(21ySx【详解】 如图，有，x xtt ede01 )1(2)1(2)(，yttS2ln由题设，得 ，yx te1)(l)(而 ，于是xy dyl21两边对 y 求导得 ， )(ln)(y故所求的函数关系为： .21l)(yx【评注】 本题应注意点 M(x,y)在曲线 上，因此满足 .2Cxey17【分析】 题设图形相当于已
21、知 f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, )0(f .0)3(,2)(ff由分部积分，知 030 322302 )1()()()( dxfxfxfddxfx= fff 3030 )(2)(1()1(= .2026【评注】 本题 f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.118【例 4.36,4.30】18.【分
22、析】 先将 转化为 ，再用二阶常系数线性微分方程的方法y,2,dty求解即可.【详解】 ，tdxtysin1，)sin1(siico22 tdtytt 代入原方程，得 .02ydt解此微分方程，得 ，2121sincoxCttC将初始条件 代入，有 . 故满足条件的特解为,00xxy,2.122y【评注】 本题的关键是将 转化为 ，而这主要是考查复合函数求一、二y,2,dty阶导数.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.52【例 2.8】19.【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ）
23、 令 ，则 F(x)在0 ，1 上连续，且 F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得 ，即 .,00)(F1)(f（II） 在 和 上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点,0,，使得 ，)1,(),(0)()(ff 1)()ff于是 .1)( fff【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.128【例 5.4】,P.151【例 5.25】20【分析】 根据全微分和初始条件可先确定 f(x,y)的表达式. 而 f(x,y)在椭圆域上的最大值和最
24、小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.【详解】 由题设，知 ， ，xf2yf于是 ，且 ，从而 ，)(),(2yCxyf)( Cy2)(再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 .2,2yxf令 得可能极值点为 x=0,y=0. 且 ，0,yfxf 2)0,(2xfA， ，)0,(2fB2)0,(2yfC，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.42A再考虑其在边界曲线 上的情形：令拉格朗日函数为12yx，)4(),(),( 2fyF解 ,014,2)(2yxFfxyx得可能极值点 ； ； ；,04,yx 1,01yx代入 f(x,y
25、)得 ，可见 z=f(x,y)在区域.1,1yx 2)0(f 3),(f内的最大值为 3，最小值为-2.4),(2D【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.279【例 10.33】21【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记 ，),(1),(21 DyxxyD，2于是 =dyxD1)(2Ddxyx2)1(2Ddxy= 202)r)(21)(2= + =82012210 )()(rddyxd .34【评注】
26、 形如积分 、 、xfD,Ddyxgf),(,ma、 、 等的被积函Ddyxgf),(,mindyf),(yf)(),(sgn数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.295【例 11.16】22【分析】向量组 可由向量组 线性表示，相当与方程组：321,321,.,3ixxi均有解，问题转化为 = 是否均成立？这通过初),(321r ,),(21ir等变换化解体形讨论即可. 而向量组 不能由向量组 线性表示，相当于321,321,至少有一个向量 不能由 表示，即至少有一方程组)3,21(j，无解.21xxj 【详解】 对矩阵 作初等行变换
27、，有),(321321A=),(321321 14aa a103240，aa)(01当 a=-2 时， , 显然 不能由 线性表A30602122321,示，因此 ；当 a=4 时，2a，然 均不能由 线性表示，因3900641132, 321,此 .4a而当 且 时，秩 ，此时向量组 可由向量组24a),(321r 321,线性表示.321,又 aaB41),(321321 a320102， 243602012aaa由题设向量组 不能由向量组 线性表示，必有 或321,1,01，即 a=1 或 .22a综上所述，满足题设条件的 a 只能是：a=1.【评注】 1)向量组 不能由向量组 线性表示
28、，必有行列式：321,321,，由此也可确定 a .0,3212) 向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题.完全类似处理思路见数学复习指南 （理工类）P.442【例 4.13】23.【分析】 AB=O, 相当于告之 B 的每一列均为 Ax=0 的解，关键问题是 Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵 A 的秩.【详解】 由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 .3)(Br（1）若 k , 则 r(B)=2, 于是 r(A) , 显然 r(A) , 故 r(A)=1. 可见此时 Ax=0 的911基础解系所含解向量的个数为 3-r(
29、A)=2, 矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： 为任意常数.2121,63kkx(2) 若 k=9，则 r(B)=1, 从而 .)(Ar1） 若 r(A)=2, 则 Ax=0 的通解为： 为任意常数.1,32kx2） 若 r(A)=1,则 Ax=0 的同解方程组为： ,不妨设 ,则其通解0321cxbaa为 为任意常数.2121,0kckabx【评注】 AB=O 这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为 Ax=0 的解； 2） .)(nrA本题涉及到对参数 k 及矩阵 A 的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P.438【例 4.21】, P.389【例 2.36】
