1、一个屋里有50个人，每人带一条狗，其中部分是病狗。主人只能通过对其它狗的观察得知自己的狗是否是病狗，并在发现当天用枪打死自己的狗，第一天没有听到枪声，第二天没有听到枪声直至第十天听到一片枪声，问屋里有多少病狗。,给大家看一道微软公司招聘员工的考题。,第n天就有n条病狗,1,巧排顺序(扑克牌中的数学) 将1K共13张牌，表面上看顺序已乱（实际上已按一定顺序排好），将其第1张放到第13张后面，取出第2张，再将手中的牌的第1张放到最后，取出第2张，如此反复进行，直到手中的牌全部取出为止，最后向观众展示的顺序正好是1，2，3，10，J, Q, K. 请你试试看！ 扑克牌的顺序为：7，1，Q，2，8，3
2、，J，4，9，5，K，6，10. 你知道这是怎么排出的吗？,2,这是“逆向思维”的结果，将按顺序1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K排好的扑克牌按开始的操作过程反向做一遍即可.,3,数独,4,跑步问题：每5分钟不跑500米，10分钟能跑1000米吗？,5,跑步问题：设,6,为了培养想像力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考。试尽可能迅速地回答下面的问题： （1）某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么
3、?,互动：,（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是n支球队比赛呢。 （3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。,（4）某人家往T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站
4、，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间。 （5）一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。 如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处。,(6)甲乙两人同时从A、B两地出发，中午12点相遇，然后分别过4小时、9小时后到达对方的出发点，问他们两人几点出发的？,推理：,甲、乙、丙三人中两人进行乒乓球单打比
5、赛，一人当裁判，输方当下一局的裁判比赛结束后发现甲打了12局，乙打了21局，而丙当裁判8局那么比赛的第12局输方是( ),小刚，小强，小冬，小朱四个人参加百米赛跑决赛。赛前三位体育老师对比赛做了预测： 王老师说：小刚第二名，小朱第四名； 张老师说：小强第一名，小冬第三名； 李老师说：小刚第一名，小强第三名。 赛后发现每位老师对名次的确定只猜对一人。请问正确的名次是什么样的？,甲、乙、丙、丁小朋友在踢球，不小心把邻居家的玻璃打裂了；甲说：“是乙不小心闯的祸”；乙说：“是丙闯的祸”；丙说：“乙说得不是实话”；丁说：“反正不是我闯的祸”；四人中只有一人说了实话，说实话的人是谁？是谁闯了祸？,【15，
6、1，3，1】4【20，5，2，3】5【16，20，4，？】6 【？】处应该填什么数字？,小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是以下10组中的某一天，张老师把月份告诉了小明，把日子告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？ 3月4日 3月5日 3月8日 6月4日 6月7日 9月1日 9月5日 12月1日 12月2日 12月8日 小明说：“如果我不知道，小强肯定也不知道。” 小强说：“本来我也不知道，但是现在我知道了” 小明说：“哦，那我也知道了。” 请根据以上对话推断出张老师的生日。,设赌博双方A、B各出相等的赌注，以掷骰子来决定一局的胜负。例如，A以出现偶数点为胜，B以出现奇数点为胜
7、。胜1局得1分。约定先得若干分者为赢，赢者赢得全部赌注。,赌徒的困惑,若约定谁先得4分就赢得全部赌注。当A得2分、B得1分的时候，赌博必须中止，那么A和B应按什么比例来分割赌注？,分析：不能仅看谁胜了几局，应该考虑谁还要胜几局才能赢得全部赌金。在A已经得到2分，B得到1分的情况下，若再进行4局，便一定可以决定输赢。,假定A和B余下的4局全部赛完，胜负的各种可能情况有（以a,b分别表示两人的胜局）：,（1）A胜4局（B全负），这只有1种情况：aaaa,（2）A胜3局（B胜1局），这有4种情况：aaab aaba abaa baaa,（3）A胜2局（B胜2局），这有6种情况：aabb abba a
8、bab baab bbaa baba,（4）A胜1局（B胜3局），这有4种情况：abbb babb bbab bbba,（5）A胜全负（B胜4局），这有1种情况：bbbb,以上一共有16种可能的情况。在前11种情况下，A至少胜2局，连同已经获胜的2局，至少胜了4局，而B至多胜2局，连同已经获胜的1局，才至多胜3局。所以这11种情况都是A胜，只有后5种情况B才获胜。,A和B获胜的可能性是11：5。只有按照这个比例来分割赌金才合理。,金币的称量问题,设有三堆金子，每堆中一个金子的重量为9,10,11这三个数字中的一个，但不知其精确值，每堆中单个金子的重量相等。如何称量一次可知每堆中每个金子的单重量
9、？,公式,中的数学美,在单位圆,上任取3个点，,求这3个点构成锐角三角形的概率.,(2011年复旦大学自主招生考试试题),分析我们分两步走：先设圆周上有2n个等分点，求三点构成锐角三角形的概率；再对所得的结果求趋向于无穷大时的极限.,如图，对每一个固定的k ( )， 为锐角三角形，这样的锐角三角形共有： . 由点的等可能性，所有锐角三角形的总数为 ，因此任取3个点构成锐角三角形的概率为：,（1） 2，4，6，8，10（2） 1、3、5、7、9（3） 1 2 3 4 5 6 9（4） 1+2+3（5） 3 3 3，5 5 5,数学成语谜语,无独有偶,无奇不有,七零八落,接二连三,三五成群,（6）
10、1 2 5 6 7 8 9（7） 7/2（8） 5 ，10（9） 9寸 +1寸=1尺（10）7/8,丢三落四,不三不四,一五一十,得寸进尺,七上八下,（11）0+0=0（12）0+0=1（13）11=1（14）1的n次方（15）1：1,一无所获,无中生有,一成不变,始终如一,不相上下,（16）1/2（17）2/2（18）33.22（19）20/3（20）4，3,一分为二,合二为一,三三两两,陆续不断,颠三倒四,（21）1,2,3,4,5（22）1,2,4,6,7,8,9（23）2,3,4,5,6,7,8,9（24）1=365（25）1/100,屈指可数,隔三差五,缺衣少食,度日如年,百里挑一,
11、甲、乙、丙三个人玩“石头、剪刀、布”,则三个人都不胜的概率为( ), 甲胜出的概率为( ).,有2 张100 元纸币,3 张50 元纸币和4 张10元纸币,可以使用1 张或n 张纸币来进行价格组合,则共可凑成( )种金额.,2015!=122015的末尾有连续几个零?,把一张十元钱破成1元、5角、1角的零钱，共有多少种方法？,甲、乙、丙三个人玩“石头、剪刀、布”,则三个人都不胜的概率为( ), 甲胜出的概率为( ).,有2 张100 元纸币,3 张50 元纸币和4 张10元纸币,可以使用1 张或n 张纸币来进行价格组合,则共可凑成( )种金额.,2015!=122015的末尾有连续几个零?,把
12、一张十元钱破成1元、5角、1角的零钱，共有多少种方法？,36,数字中的美学,完美数：,6,28,496,8128,33550336,8589869056,欧几里得：,欧几里得：,几何无王者之道,辗转相除法,37,回文素数：,314159, 951413,无理数：代数无理数和超越无理数,孪生素数：,素数的个数及分布：,38,39,40,无限世界的一面,整数和偶数一样多；,整数和有理数一样多；,(0,1)与(0,+)实数一样多；,(a,b)与(-,+)实数一样多；,41,42,43,首先我看如下一道题：假设买某种彩票中奖的概率为 ,如下两件事，哪一件发生的可能性更大？(1)只买一张就中奖； (2)
13、 连续买了20张，全都不中奖。,44,（1）买一张就中奖的概率当然就是 ；,（2）买了20张全都不中奖的概率是：,45,若中奖率为千分之一，买两千张都不中奖的概率；以及中奖率为万分之一，买两万张都不中奖的概率。两种情况的概率分别为：,计算机算得其近似值分别为：0.1352，0.1353。,46,若中奖率为1/n，买2n张都不中奖的概率为：,当n的值趋近于无穷大时，这个值趋近于：,47,选举的公平问题,问题：,三个系共200名学生（甲系100，乙系60，丙系40），会议代表共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,4
14、8,比例加惯例,对丙系公平吗,49,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,当 p1/n1 p2/n2 时，对A不公平,p1/n1 p2/n2=5,50,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小, 对A的相对不公平度,将绝对度
15、量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配.,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,51,一个数列的前99项依次为1,2,99,第100项为多少？能为2015吗？,52,算24,5,5,5,1; 3,3,7,7; 4,4,7,7;,4,4,8,8; 3,3,8,8.,53,出生8年才第一次过生日?,54,金币的称量问题,设有三堆金子，每堆中一个金子的重量为9,10,11这三个数字中的一个，但不知其精确值，每堆中单个金子的重量相等。如何称量一次可知每堆中每个金子的单重量？,55,分析我们分两步走：先设圆周上有2n个等分点，求三点构成锐角
16、三角形的概率；再对所得的结果求趋向于无穷大时的极限.,56,如图，对每一个固定的k (,)，,为锐角三角形，这样的锐角三角形共有：,由点的等可能性，所有锐角三角形的总数为,因此任取3个点构成锐角三角形的概率为：,57,我们知道，一年就是地球绕太阳公转一圈的时间。一天是地球一昼夜的时间。平均起来，一年等于365.2422天。在制定历法时，只能让一年的天数是整数，最接近一年的当然就365天，所以只能规定一年365天。但这样一来，每年就少了0.2422天，由1/0.2422 = 4.12882 知道:差不多每4年就少了一天。因此每4天就补充1天。历法规定:如果年份数是4的整数倍，就在这一年的2月份末
17、尾补充1天，就是2月29日，这一年就称为闰年。,58,但是，每4年少的天数实际上是 0.24224=0.9688，每4年补充1天其实是多补了 1-0.9688=0.0312天。经过 1/0.0312=32.0513 个闰年之后，就多补了1天，应当将这1天扣除，也就是扣除一个闰年。每4年闰一次，经过32个闰年就是432=128 年。这128年本来应当有32个闰年，应当扣除1个闰年，只保留31个闰年。,59,如果规定每128年扣除1个闰年，这样的规定不容易记忆，使用起来不方便。 所以采用了另一个方法:以400年为单位来计算闰年的天数。400年包含3个128年零16年。3个128年应当去掉3个闰年。
18、因此，现行的历法规定，在这400年中，年份数是100的倍数的4个闰年中，只保留其中是400的倍数那一年仍然作为闰年，将其余3个去掉，也就是将年份数是100的倍数但不是400的倍数的3个闰年去掉。,60,400年除了包括3个128年之外还剩16年没有加以考虑。经过128/16=8个400年之后，积累起128年，从这128年的闰年之中应当再扣除1个。8个400年也就是3200年。不过，人类迄今为止使用公历的历史还远不到3200年。而且，真的经过两三千年之后地球的转动速度也可能还会有微小的变化，一年是否仍等于365.2422天尚不清楚，所以现在去考虑那么遥远的未来的事情还为时过早，到时候自然会有办法
19、。,61,世界三大数学家,世界公认的三大著名数学家：阿基米德 数学之神牛顿 数学巨人高斯 数学王子,62,世界三大数学危机,第一次数学危机：无理数的发现 2,63,第二次数学危机：无穷小是0吗？微积分的严密,第三次数学危机：悖论的产生,罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。,罗素悖论：,64,请构造无穷多不成比例的满足勾股定理的正整数.,
20、65,1直线将平面划分为块；2直线将平面最多划分为块；3直线将平面最多划分为块；4直线将平面最多划分为块；5直线将平面最多划分为块；,66,1平面将空间划分为块；2平面将空间最多划分为块；3平面将空间最多划分为块；4平面将空间最多划分为块；5平面将空间最多划分为块.,67,直线数量 1, 2, 3, 4，n把平面分成的块数 2, 4, 7, 11，,68,1+11+1+2 1+1+2+3 1+1+2+3+4 1+1+2+3+4+ +n1+1+2+3+4+ +n=1+(1+n)n/2,直线数量 1, 2, 3, 4，n把平面分成的块数 2, 4, 7, 11，,69,考虑n个平面最多把空间分成b
21、n个部分，于是b0=1，b1=2，b2=4，对于已经有n个平面将空间分成了最多的bn块，那么加入一个平面，它最多与每个平面相交，在它的上面就会得到至多n条交线，同时被它穿过的空间区域也被它一分为二，那么增加的区域数就是是它穿过的区域数，也就是这个平面自身被直线分割成的块数 ，就是,70,71,72,1.(2007年武汉大学自主招生)运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌，1人得银牌，1人得铜牌，王老师猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不分别获得、牌.2.(2009年上海交大得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙自主招生)珠宝店丢失了一件珍贵珠宝.以下四人只有一个人说真
22、话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.则说真话的人是 ，偷珠宝的人是.,73,3.将正奇数集合1,3,5,由从小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组：1，3,5,7,9,11,13,15,17,则2015位于第组.4.今有物不知其数，五五数之剩a，七七数之剩b，九九数之剩c，问物至少几何？,74,1.(2007年武汉大学自主招生)运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌，1人得银牌，1人得铜牌，王老师猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不分别获得、牌.铜、金、银2.(2009年上海交大得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙自主招生)珠宝店丢失了一件珍贵珠宝.以下四人只有一个人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.则说真话的人是 ，偷珠宝的人是.丁，甲,75,3.将正奇数集合1,3,5,由从小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组：1，3,5,7,9,11,13,15,17,则2015位于第组.324.今有物不知其数，五五数之剩a，七七数之剩b，九九数之剩c，问物至少几何？,76,
